NACRTNA GEOMETRIJA - PEDESET REŠENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE - isečak (deo e-knjige)

  • Published on
    01-Dec-2015

  • View
    15.507

  • Download
    15

Embed Size (px)

DESCRIPTION

NACRTNA GEOMETRIJAPEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE[Opanarev, Stevan] cena: 505 dinaraISBN: ISBN 978-86-914831-2-8izdava: samostalnogodina izdanja: 2013.izdanje: 1.format: A4, .pdf format e-knjigepismo: Latinicajezik: srpskibroj strana: 277komentar izdavaaElektronska knjiga predstavlja bogatu zbirku geometrijskih problema, koja svojim zanimljivim zadacima inspirie uenike i pribliava im logiku prostornog razmiljanja.Zadaci su podeljeni po oblastima i reavani su postupno, da bi itaocu bilo lake da ih razume. Nain reavanja zadataka, slui da itaoca dovede do samostalnosti u reavanju zadataka iz ove oblasti. Najvei problem moe predstavljati nerazumevanje prostora (3-D) i njegovo predstavljanje u dve dimenzije (2-D). Zbog toga je autor vodio rauna da svaki zadatak bude jednostavno objanjen i razumljiv.Sadraj: 1.Uvod2.Napomene za crtanje3.Pedeset reenih zadataka iz nacrtne geometrijei)Zadaciii)ReenjaDeo 1OktantiDeo 2Taka, prava i ravanDeo 2.1 TakaDeo 2.2 Prava i duDeo 2.3 RavanDeo 3TransformacijaDeo 4RotacijaDeo 5Obaranje u projekcijskim ravnima4.Literatura5.Elaborati za vebenov naslovoblasti: [NACRTNA GEOMETRIJA]kupovina e-knjige:http://www.kupindo.com/Gradjevinarstvo-i-arhitektura/13740341_NACRTNA-GEOMETRIJA-PEDESET-RESENIH-ZADATAKAhttp://www.amazon.com/dp/B00D2DKGTW

Transcript

  • Stevan Opanarev, struk. in. spec.

    NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

    Srbobran, 2013.

  • Stevan Opanarev, strukovni inenjer specijalista

    NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

    Elektronska knjiga (E knjiga)

    autor, urednik, tehniki urednik i grafiki dizajn

    Stevan Opanarev, struk. in. spec.

    recenzenti

    prof. dr Katarina Jevti Novakovi, dipl. in. arh., profesor na Visokoj graevinsko - geodetskoj koli u Beogradu

    Milenko Petkovi, dipl. in. arh., urednik i autor internet portala koji je posveen nacrtnoj geometriji http://nacrtna-geometrija.blogspot.com/

    lektor

    prof. Pavle Papulin

    prodaja E knjige

    Amazon Digital Services, Inc. (web sajt http://www.amazon.com/ )

    IZDANJE U BOJI

    Umnoavanje i tampa cd-a

    Copy Centar

    Beograd

    web sajt

    Zdravka elara 12 http://www.copy.rs

    tira

    100 primeraka

    CIP - ,

    514 . 18 ( 075 . 8 ) ( 076 )

    ,

    Nacrtna geometrija [Elektronski izvor] : pedeset reenih zadataka sa elaboratima za vebe / Stevan Opanarev . - Srbobran : S. Opanarev , 2013 (Beograd : Copy Centar) . - 1 elektronski optiki disk (CD-ROM) : tekst , slika ; 12 cm

    Tira 100 .

    ISBN 978-86-914831-2-8

    a ) -

    COBISS . SR - ID 277788167

    NAPOMENA: Svako neovlaeno korienje, umnoavanje, izmena, prodaja i distribuiranje materijala, u celini ili delimino, sa

    ovog CD medija je nezakonito. Svako krenje autorskih prava bie sankcionisano u skladu sa zakonom.

    izdava samostalno

  • RECENZIJA ELEKTRONSKE KNJIGE

    NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

    autor: Stevan Opanarev, struk. in. - spec.

    recenzent: dr Katarina Jevti Novakovi, dipl. in. arh.

    Elektronska knjiga NACRTNA GEOMETRIJA - PEDESET REENIH

    ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE predstavlja bogatu zbirku

    geometrijskih problema, namenjenu ne samo studentima tehnikih fakulteta i

    grafikog dizajna nego i iroj italakoj publici. Moemo je preporuiti i

    profesorima srednjih kola, koji bi zanimljivim zadacima inspirisali uenike i

    pribliili im logiku prostornog razmiljanja. Redosled zadataka, u okviru svakog

    poglavlja odraava iskustvo autora za prirodan tok i razvoj ideja u okviru jednog

    uvodnog kursa nacrtne geometrije.

    Kroz pet poglavlja - 1. OKTANTI, 2. TAKA, PRAVA I RAVAN,

    3. TRANSFORMACIJA, 4. ROTACIJA i 5. OBARANJE U PROJEKCIJSKIM

    RAVNIMA, na 263 strane, bogato ilustrovane grafikim prikazima i 14 strana

    elaborata, namenjenih za samostalnu vebu, autor postupno, reavajui

    zadatke, korak po korak, omoguava itaocu lako praenje materije. Detaljnim

    reavanjem svakog zadatka autor je eleo da pomogne studentu da samostalno

    naui ili ponovi onu nastavnu celinu koja e mu biti odlina priprema za ispit.

    Ova knjiga e popuniti prazninu na opustelom tritu knjiga iz oblasti nacrtne

    geometrije i recenzent je preporuuje za objavljivanje.

    U Beogradu, 15. mart 2013. god.

    _________________________________

    dr Katarina Jevti Novakovi,

    dipl. in. arh.

  • RECENZIJA ELEKTRONSKE KNJIGE

    NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

    Gospodina Stevana Opanareva

    U vremenu kad se uopte ne izdaju ovakve knjige ova knjiga predstavlja pravo

    otkrovenje. Zadaci su paljivo odabrani tako da svaki predstavlja mea u odreenoj

    oblasti iz same nacrtne geometrije. Autor knjige ih je poreao stepenasto po teini,

    od najlakeg do najteeg, i naravno uz svaki dao detaljno objanjenje. itajui ovu

    zbirku moete da uete u ceo taj proces reavanja zadataka iz nacrtne geometrije,

    iako moda ranije i niste bili vini tome.

    Zadaci su detaljno opisani i osmiljeni od strane samog autora a to je sasvim novo u

    ovoj vrsti literature. To kaem zbog toga to veina ovakvih udbenika ipak

    implementira tue zadatke. No sa ovom knjigom to nije sluaj.

    Crtei su nacrtani kompjuterski i u jasnim i jarkim bojama. Take su definisane

    prostorno bez ikakvih dvosmislenosti. Svaki zadatak je jedinstven u svojoj oblasti.

    Moda da su raeni u malo veoj rezoluciji i to kao mape na formatu A3 bili bi jo

    instruktivniji.

    Smatram da je ova knjiga podjednako dobra i acima srednjih kola i studentima

    tehnikih fakulteta.

    U Beogradu, 17. maj 2013. god.

    ____________________

    Milenko Petkovi,

    dipl. in. arh.

    http://nacrtna-geometrija.blogspot.com

  • | SADRAJ | strana i

    SADRAJ

    PREDGOVOR............................................................................................. str. ii

    UVOD.......................................................................................................... str. 3

    NAPOMENE ZA CRTANJE.........................................................................str. 8

    PEDESET REENIH ZADATAKA IZ NACRTNE GEOMETRIJE

    ZADACI............................................................................................ str. 12

    REENJA......................................................................................... str. 18

    Deo 1 OKTANTI..................................................................... str. 19

    Deo 2 TAKA, PRAVA I RAVAN .......................................... str. 27

    Deo 2.1 TAKA.............................................................. str. 27

    Deo 2.2 PRAVA I DU................................................... str. 35

    Deo 2.3 RAVAN............................................................. str. 72

    Deo 3 TRANSFORMACIJA................................................... str. 124

    Deo 4 ROTACIJA................................................................... str. 164

    Deo 5 OBARANJE U PROJEKCIJSKIM RAVNIMA.............. str. 201

    LITERATURA.............................................................................................. str. 261

    ELABORATI ZA VEBE ............................................................................ str. 264

  • | PREDGOVOR | strana ii

    NACRTNA GEOMETRIJA pEDESET reenih ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

    Predgovor

    Namera autora je da kroz pedeset izabranih i potpuno reenih zadataka upozna

    itaoca sa nacrtnom geometrijom i postupkom reavanja zadataka.

    Zadaci su podeljeni po oblastima i reavani su postupno, da bi itaocu bilo lake da

    ih razume. Autor preporuuje da italac prethodno dobro usvoji teorijska znanja iz

    nacrtne geometrije da bi mogao pravilno da razume ovu e-knjigu. Takoe, polo se

    od pretpostavke da italac ima osnovna znanja iz geometrije (planimetrija i

    stereometrija) i geometrijskih konstrukcija.

    Nain reavanja zadataka, slui da itaoca dovede do samostalnosti u reavanju

    zadataka iz ove oblasti.

    Najvei problem moe predstavljati nerazumevanje prostora (3-D) i njegovo

    predstavljanje u dve dimenzije (2-D)1. Zbog toga je autor vodio rauna da svaki

    zadatak bude jednostavno objanjen i razumljiv.

    Da bi se jedan predmet kao to je nacrtna geometrija pribliio studentima, potrebno

    je u zadacima predstaviti manji broj problema. Te zadatke reavati korak po korak, u

    interakciji student - profesor. Potrebno je studente obuiti da 3-D objekte znaju

    preneti u 2-D ravni. Korisno je uporediti tradicionalni (tabla, kreda, lenjiri, estar,

    uglomer) i novi (kompjuter, softver za crtanje CAD) metod i izabrati najpogodniji.

    Svako ko uspe da ovlada vetinama jedne nacrtne geometrije, imae znanja da

    razvija trodimenzionalni (3-D) pogled.

    Istakao bih da se specijalne sposobnosti2 najefikasnije razvijaju slobodnorunim

    crtanjem, potom tradicionalnim priborom, a tek na kraju primenom kompjuterskih

    softvera3.

    U eri napretka tehnologije i interneta i sve vee upotrebe kompjutera u uenju,

    izabrao sam da ovo bude elektronska verzija knjige (e-knjiga). Ve u aprilu 2011.

    god. prodaja elektronskih knjiga je premaila prodaju tampanih4.

    1 Prostorno razmiljanje na osnovu 2-D slike

    2 Vizuelizacije, prostornog razmiljanja i logike

    3 Prema istraivanjima Comany P., Piquer A., Contero M. and Naya F. A Survey on Geometrical

    Reconstruction as a Core Technology to Sketch Based Modeling, Computer & Graphics 29

    (2005.) 4 Kompanija za onlajn trgovinu Amazon.com

  • | PREDGOVOR | strana iii

    U Srbiji, najpoznatiji sajt koji se bavi prodajom elektronskih knjiga je

    http://www.naseeknjige.com/5. Bitno je naglasiti da u Srbiji prodaja elektronskih knjiga

    nije zaivela u potpunosti.

    Za prodaju elektronskih knjiga u svetu najpoznatiji je web sajt

    http://www.amazon.com/6.

    Postoji i web sajt http://www.korisnaknjiga.com/elektronske-knjige7 koji nudi

    besplatno preuzimanje e-knjiga.

    Knjiga je napisana u .pdf formatu. Preporuljivo je koristiti jedan od besplatnih

    programa:

    1. http://get.adobe.com/reader/ (Adobe Reader XI)

    2. http://www.foxitsoftware.com/Secure_PDF_Reader/ (Foxit Reader 6)

    Pomenuo bih i web sajt http://nacrtna-geometrija.blogspot.com/, web portal o nacrtnoj

    geometriji, nezaobilazno mesto za sve one koje zanima nacrtna geometrija. Autor

    gorepomenutog web sajta iskljuivo postavlja zadatke uraene na papiru, u olovci.

    Iskreno se zahvaljujem recenzentima ove e-knjige, prof. dr Katarini Jevti Novakovi i

    Milenku Petkovi, dipl. in. arh. na paljivo pregledanom tekstu i iznoenju strunog

    miljenja koje je pomoglo da knjiga koja se nalazi pred vama bude struno obraena.

    Profesor Pavle Papulin je lektorisao knjigu i na tome mu se zahvaljujem.

    Svoja zapaanja itaoci mogu da upute autoru elektronskom potom na adresu

    stevan.op@gmail.com.

    U Srbobranu, 07. jun 2013. god.

    Stevan Opanarev, struk. in. spec.

    ___________________________

    5 web sajt nastao krajem 2011. god., prva e-knjiga arko Lauevi Godina proe, dan nikada

    6 autor od 14.01.2013. god. prodaje svoje elektronske knjige na ovom web sajtu

    7 web sajt www.baneprevoz.com/e-knjige/ je takoe nudio besplatno preuzimanje e-knjiga. Ovaj web

    sajt koji je ve godinama bio dobro poznat svima u virtuelnom elektronskom prostoru Srbije da

    piraterie knjige, 18. IV 2012. god. stavljen je van funkcije.

  • Meu svim matematiarima, geometriari imaju prednost da mogu

    videti ono to prouavaju. 8

    8 Feliks Kristijan Klajn (nem. Felix Klein; Diseldorf, Nemaka, 25. april 1849. Getingen, Nemaka,

    22. jun 1925.) je bio nemaki matematiar, poznat po svome radu na teoriji grupa, teoriji funkcija,

    neeuklidskoj geometriji i na povezivanju geometrije sa teorijom grupa

  • | UVOD | strana 3

    UVOD

    Nacrtna geometrija je metoda za prouavanje 3-D geometrije preko 2-D slika. Ona

    nudi uvid u unutranju strukturu i metrika svojstva prostornih objekata, postupaka i

    principa. Kao takva ona omoguuje razvijanje intelektualnih sposobnosti studenata

    za prostornu percepciju. Crtei nas vode kroz geometriju ali nisu njen glavni cilj.

    Za NG je tipino uzajamno delovanje:

    a) izmeu 3-D situacije i njene 2-D

    reprezentacije,

    b) izmeu intuitivnog razumevanja i

    strogo logikog zakljuivanja.

    NG ima dva cilja:

    1) Ona odreuje metode po kojima

    se na crtaem papiru, mogu

    prikazati sve prostorne tvorevine,

    a uz pretpostavku da se te

    tvorevine mogu tano definisati.

    2) Odreuje postupak, po kojem se iz

    crtea neke prostorne tvorevine

    moe upoznati njen oblik. Tako se

    mogu izvesti svi zakoni koji su

    sadrani u predstavljenom obliku

    kao i meusobnim poloajem

    njegovih delova.

    To dokazuje da je dva glavna cilja

    nacrtne geometrije - zamiljanje i

    analiziranje 3-D objekata utvrdio ve

    njen osniva, Gaspard Monge (1746. -

    1818.).

    U poslednje vreme se runo crtanje u

    nacrtnoj geometriji sve vie zamenjuje sa

    CAD-om ili matematikim softverom sa

    grafikim outputom. Dobri poznavaoci

    nacrtne geometrije uglavnom se

    opredeljuju za ovo drugo reenje.

    slika u.1

    Spomenik G. Mongeu, Place de Monge,

    Beaune (mesto roenja), Dep. Cte-dOr,

    Francuska9

    9 Izvor fotografije: Stachel H. emu slui nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvati Baldasar),

    Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 39. str.

  • | UVOD | strana 4

    to je snaniji i sofisticiraniji softver za modeliranje, to je potreban vii nivo

    geometrijskog znanja. Lo dizajner nee nikad postati dobar samo upotrebom CAD-a

    umesto tradicionalnih pomagala. Zbog slinih se razloga vanost matematike i dalje

    poveava, iako raunari preuzimaju deo raunanja.

    Druga pogrena interpretacija nacrtne geometrije je u tome to se ona smatra samo

    teoretskim, akademskim predmetom. F. Hohenberg10 uverljivo osporava to miljenje

    u svom udbeniku. Na mnogim je primerima pokazao da je za stvarni svet bitna

    primena nacrtne geometrije.

    Lekari esto cene svoje obrazovanje iz nacrtne geometrije. U anatomiji mnogo

    jednostavnije shvataju mreu krvnih ila ili ivaca. I u ortopediji geometrija pomae

    da se shvati kako ljudski zglobovi funkcioniu i zato iaenje uzrokuje razliite

    smetnje.

    slika u.2

    Objanjenje glavnih pogleda u udbeniku za stomatologe11

    U predoperativnom zahvatu ispravan poloaj kosti bio je oznaen na ekranu. U

    pretapanju slika taj je virtuelni poloaj kombinovan sa aktuelnim. Rad se hirurga,

    dakle, sastojao u tome da ta dva poloaja runo izjednai na pacijentu. Kako je hirurg

    kontrolisao svoj rad? Paljivo je ispitao tri glavna pogleda jer su oni omoguavali da

    se rastavi stvarni 3-D pomak u ravanske pokrete.

    Za detaljnu analizu 3-D objekta posebni pogledi esto (pomoni pogledi) otkrivaju

    stvarnu prostornu situaciju. Takvi pogledi esto su klju reavanja 3-D problema.

    Smatram da su ti posebni pogledi pravo umee nacrtne geometrije.

    10

    Hohenberg F. Konstruktive Geometrie in der Technik, 3. Aufl., Springer-Verlag, Wien 1966. 11

    Izvor fotografije: Stachel H. emu slui nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvati Baldasar),

    Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 40. str.

  • | UVOD | strana 5

    Sledei primer (slika u.3) predstavie poseban znaaj posebnih pogleda.

    Primer: Gde sunce ranije izlazi 21. juna, u Oslu ili u Beu?

    grad istona duina severna irina

    Oslo 10,6 59,9

    Be 16,4 48,2

    Na slici u.3 odreujemo pogled spreda sa

    sunevim zracima koji su paralelni s ravni

    slike. Tada pretpostavimo da je to pogled u

    trenutku kada sunce u Oslu izlazi 21. juna.

    im se Be prikae u tom pogledu, lako se

    uoava odgovor na postavljeno pitanje. Taj

    pogled je koristan jer moe razjasniti dodatne

    probleme kao i one s vie detalja, na primer:

    a) Moe li se dogoditi da u jednom danu,

    tokom jednogodinjeg razdoblja,

    sunce izae istovremeno u Oslu i u

    Beu?

    b) Obratite panju na injenicu da je

    sunce, zbog prelamanja svetlosti u

    atmosferi priblino 0,6 ispod lokalnog

    horizonta kada se posmatrau na

    zemlji ini da izlazi.

    c) U zoni astronomske zore sunce je

    izmeu 6 i 18 ispod lokalnog

    horizonta. Istraujui poseban pogled

    koji smo pre predstavili, lako je shvatiti

    zato je vreme dnevne zore krae to

    je posmatra blie ekvatoru.12

    slika u.3

    Gde sunce 21. juna ranije izlazi,

    u Oslu ili u Beu?13

    V...