newbold solved exercises

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    11-Aug-2015

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<p>1 Statistica codice 30001 Soluzioni degli esercizi del libro di testo P. Newbold, W.L. Carlson, B. Thorne, Statistica Capitolo 6 2 CAPITOLO 6 6.6 Larea di competenza di una squadra di soccorso comprende un tratto di fiume lungo 4 km. Lesperienzapassatahadimostratocheilluogodiintervento,misuratocomedistanzainkmdal punto pi a nord, pu essere misurato da una variabile uniforme nellintervallo da 0 a 4 chilometri. X = distanza dal punto pi a nord &lt; s s + = = = = + &lt; = &gt;}+ X P X PF X P X PF x f X PX P X P Y P 6.7 SiaXlavariabilealeatoriacheregistrailredditodiunafamigliadiunacertaregione;Xuna variabile numerica, quantitativa continua. Reddito mediano uguale a 60000$ si traduce in P(X60000) = P(X60000) = 0,5 (si ricorda che P(Xx)=P(X =))]-P(X -P(X [b.SullabasedelleinformazionidisponibilicircaladistribuzionediX,sipudire che )P(X 65000 s superiorea5 , 0 60000 = s ) P(X einferiore6 , 0 4 , 0 1 72000 = = s ) P(X ; quindi ) P(X . 6 , 0 65000 5 , 0 s s s 6.8 Allinizio della stagione, un proprietario valuta 0,4 la probabilit di spendere complessivamente, nei tre mesi invernali, meno di 380$ nel riscaldamento e 0,6 quella di spendere meno di 460$. X=spesa in riscaldamento a.Qual la probabilit che la spesa sia compresa tra 380 e 460? b.Senza ulteriori informazioni, cosa si pu dire della probabilit che la spesa sia minore di 400$? 6.13 Sia X il numero di copie del libro vendute e Y la somma pagata dalleditore alla scrittrice. Tra X e Y sussiste la seguente relazione : Y = 10000 + 1,5X. Si sa che E(X) = 30000e X = 8000. Allora$ 55000 30000 5 , 1 10000 ) ( 5 , 1 10000 ) 5 , 1 10000 ( ) ( = + = + = + = X E X E Y E $. 12000 8000 5 , 1 5 , 1 ) 5 , 1 10000 ( = = = + =X YX o o o 6.16 Un agente di commercio ha uno stipendio di 6000$ pi l8% del valore delle ordinazioni che riceve. Il valore delle ordinazioni pu essere rappresentato da una variabile aleatoria con media 600.000$ e deviazione standard 180.000$. Trovare media e deviazione standard dello stipendio. X = vendite Y = stipendio E(X) = 600.000$ 4 Y = 6.000+0.08X V(Y)=V(6000+0.08X)= 6.17 Sfruttando la simmetria della distribuzione Normale standard e le sue tavole: a.8849 , 0 ) 20 , 1 ( ) 20 , 1 = = &lt; F P(Zb.0918 , 0 9082 , 0 1 ) 33 , 1 ( 1 ) 33 , 1 ( 1 ) 33 , 1 = = = &lt; = &gt; F Z P P(Zc.0446 , 0 9554 , 0 1 ) 70 , 1 ( 1 ) 70 , 1 ( 1 ) 70 , 1 ( ) 70 , 1 = = = &lt; = &gt; = &lt; F Z P Z P P(Zd.8413 , 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 = = &lt; = &gt; F Z P P(Ze.0233 , 0 8849 , 0 9082 , 0 ) 20 , 1 ( ) 33 , 1 ( ) 20 , 1 ( ) 33 , 1 ( ) 33 , 1 20 , 1 = = = &lt; &lt; = &lt; &lt; F F Z P Z P Z P(f.8403 , 0 ) 9554 , 0 1 ( 8849 , 0 )] 70 , 1 ( 1 [ ) 20 , 1 ( ) 20 , 1 70 . 1 = = = &lt; &lt; F F Z P(g.1141 , 0 8413 , 0 9554 , 0 ) 1 ( ) 70 , 1 ( ) 70 , 1 1 ) 1 70 . 1 = = = &lt; &lt; = &lt; &lt; F F Z P( Z P( 6.18 Sfruttando la simmetria della distribuzione Normale standard e le sue tavole: a. Se70 , 0 ) = &lt; z P(Z , allora70 , 0 ) ( = z F . Nella tavola il valore F(z) pi vicino a 0,7000 0,6985 che corrisponde a52 , 0 = z ; quindi52 , 0 = z . b.Se25 , 0 ) = &lt; z P(Z ,allora25 , 0 ) ( = z F .Certamentezdeveessereunvalorenegativoinquanto corrisponde a un valore della funzione di ripartizione di Z inferiore a 0,5.Poichlatavolariportasolamentevaloripositividiz,occorresfruttarelasimmetriadella distribuzione Normale standard e operare come segue: se25 , 0 ) ( = &lt; z Z P , allora 25 , 0 ) ( = &gt; z Z P , ossia25 , 0 ) ( 1 = &lt; z Z P , ossia25 , 0 ) ( 1 = z F , ossia75 , 0 ) ( = z F .NellatavolailvaloreF(-z)pivicinoa0,75000,7486checorrispondea67 , 0 = z ;quindi 67 , 0 = z . c. Se20 , 0 ) = &gt; z P(Z , allora20 , 0 ) 1 = &lt; z P(Z , ossia80 , 0 ) = &lt; z P(Z , ossia80 , 0 ) ( = z F .NellatavolailvaloreF(z)pivicinoa0,80000,7995checorrispondea84 , 0 = z ;quindi 84 , 0 = z . d.Se60 , 0 ) = &gt; z P(Z ,allorazdeveessereunvalorenegativo.Sfruttandolasimmetriadella distribuzioneNormalestandard60 , 0 ) = &gt; z P(Z equivalea60 , 0 ) = &lt; z P(Z ,ossia60 , 0 ) ( = z F . NellatavolailvaloreF(-z)pivicinoa0,60000,5987checorrispondea25 , 0 = z ;quindi 25 , 0 = z . 6.19 Con lausilio della tavola della funzione di ripartizione della distribuzione Normale standard: a.1056 , 0 8944 , 0 1 ) 25 , 1 ( 1 ) 25 , 1 (6450 60) 60 = = = &gt; = |.|</p> <p>\| &gt; = &gt; F Z P Z P P(X . b.= = &lt; &lt; = |.|</p> <p>\| &lt; x P(X ,allora20 , 06450= |.|</p> <p>\| &gt; xZ P ,ossia 20 , 064501 = |.|</p> <p>\| &lt; xZ P ,ossia 80 , 06450= |.|</p> <p>\| xF .Nellatavolailvaloredellafunzionediripartizionepivicinoa0,80000,7995e ( ) 7995 , 0 84 , 0 = F ; quindi si risolve 84 , 06450= x da cui72 , 56 64 84 , 0 50 = + = x . e. Per un fissato valore k, un intervallo simmetrico rispetto alla media 50 di X si pu rappresentare come segue:[50-k, 50+k].Poichla probabilit su ciascuna coda vale 0,05/2 = 0,025, si ha975 , 0205 , 01 ) 50 = = + &lt; k P(X . = + &lt; 975 , 0 ) 50 k P(X( ) = |.|</p> <p>\| + = |.|</p> <p>\| &gt; = &gt; Z P Z P P(XIn 14,01 % delle societ ha avuto un tasso di rendimento superiore al 20%. b.0455 , 0 9545 , 0 1 ) 69 , 1 ( 1 ) 69 , 1 (2 , 72 , 12 0) 0 = = &lt; = &lt; = |.|</p> <p>\| &lt; = &lt; Z P Z P Z P P(XIl 4,55 % delle societ ha avuto un tasso di rendimento negativo. c.= = &lt; &lt; = |.|</p> <p>\| &lt; 30;np9si pu approssimare a una distribuzione normale: Nel nostro caso. 8 b. c. d.Senza svolgere calcoli, determinate quale dei seguenti intervalli per il numero di pezzi difettosi ha la maggiore probabilit: (38;39)(40;41)(41;42)(44;45)(46;47) NB: E(X)=40 Lintervallo : (40;41) 6.49 Isacchidiprodottichimicidiunacertaaziendahannouncontenutodiimpuritchepuessere rappresentato da una distribuzione normale con media 12,2 e deviazione standard 2,8. Scegliendouncampionecasualedi400sacchi,quallaprobabilitchealmeno100contengano meno di 10 grammi di impurit? X = contenuto di impurit ) a.Calcolare la probabilit che un sacco contenga meno di 10 grammi b.Y = numero di sacchi che contengono meno di 10 grammi su 400 ) 6.61 Due variabili aleatorie, X e Y, sono distribuite normalmente. La prima ha media 100 e varianza 100 mentrelasecondahamedia200evarianza400.Ilcoefficientedicorrelazionelinearetraledue variabili 0,5. Trovate media e varianza della variabile aleatoria:. 9 6.69 Si valuta che il numero di chilometri che un certo modello di automobile riesce a percorrere, con un litrodibenzinainautostrada,puessererappresentatodaunavariabilealeatoriaconmedia15e scartoquadraticomedio2.Siscelgonoinmodocasuale16automobilidiquelmodello,ciascuna con un litro di benzina e si guidano in autostrada. Trovate la media e lo scarto quadratico medio del numero di chilometri percorsi totali. X = numero di km percorsi da unauto Y = numero di km percorsi da 16 auto Y = X1+..+X16 E(Y) = E(X1+..+X16) = 16 E(X) = 16*15 = 240 V(Y) = V(X1+..+X16) = (poich le estrazioni sono indipendenti) = 16*V(X) = 64 6.71 Sia X la variabile produzione giornaliera ;) 625 ; 100 ( ~2= =X XN X o . Sia Y la variabile vendita giornaliera;) 8 ; 100 ( ~ = =Y YN Y o . La correlazione tra X e Y vale6 , 0 ) , ( = = Y X CorrXY . Sia R il ricavo totale giornaliero; alloraY R10 = . Sia C il costo totale giornaliero; allora250 7 + = X C . Sia G il guadagno totale giornaliero; allora250 7 10 = = X Y C R G . Si richiede di valutare) 0 ( ) 0 ( ) ( &gt; = &gt; = &gt; G P C R P C R P . La variabile G ha distribuzione normale con media E(G) e varianza V(G) cos calcolate: ( ) $ 50 250 100 7 100 10 250 ) ( 7 ) ( 10 ) 250 7 10 ( ) ( = = = = X E Y E X Y E G E( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 2$ 20225 120 7 10 2 625 7 8 10) , ( 7 10 2 ) ( 7 ) ( 10 ) 250 7 10 ( ) (= + + == + + = = Y X Cov X V Y V X Y V G V in quanto( )2$ 120 8 625 6 , 0 ) , ( ) , ( = = =Y XY X Corr Y X Cov o o . Allora) 20225 ; 50 ( ~2= =G GN G o e la probabilit richiesta vale . 6368 , 0 ) 35 , 0 ( ) 35 , 0 (2022550 0) 0 ( ) ( = = &gt; = |.|</p> <p>\| &gt; = &gt; = &gt; F Z P Z P G P C R P 6.75 Sia X la variabile offerta inferiore tra quelle proposte ;) 20 ; 8 ( ~Uniforme X . Pro memoria sulla distribuzione Uniforme(a,b), dove a=8 e b=20: funzione densits s=s s=altrimenti 02 1 x 8 se121altrimenti 0b x a se1) (a bx f 10 funzione di ripartizione( ) ( )&gt;s s s s X P . c. Dalla risposta al punto b, la probabilit che la consulente si aggiudichi il contratto 0,6667; in tal caso il suo guadagno pari a 12-10 = 2 (migliaia di dollari). La probabilit che la consulente non si aggiudichi il contratto 1-0,6667 = 0,3333; in tal caso il suo guadagno pari a 0 (migliaia di dollari). Se ne deduce che il guadagno G una variabile aleatoria avente la seguente funzione di probabilit: Il guadagno attesopertanto: 3334 , 1 6667 , 0 2 3333 , 0 0 ) ( ) (21= + = == ii ix p x G E(migliaia di dollari). d. Sia y lofferta della consulente. Ovviamente lofferta deve essere compresa tra 8 e 20 e), qualora la consulente si aggiudichi il contratto, tale da coprire i costi di realizzazione del progetto, pari a 10 (migliaia di dollari). Pertanto deve essere. 20 10 s s yAnalogamente alla soluzione del quesito a., la probabilit di aggiudicarsi il contratto ( ) y y X P = &gt; 20121) (e quella di non aggiudicarselo ( ) 8121) ( = &lt; y y X P . La funzione di probabilit della variabile guadagno G la seguente: E il guadagno atteso vale 12200 30) 20 (121) 10 ( ) 8 (1210 ) ( ) (2 21 + = + = ==y yy y y x p x G Eii i Sitrattadideterminareloffertay(compresatra10e20)cherendemassimoilguadagnoatteso: occorre studiare E(G) come funzione di y. Si calcolano le prime due derivate:1230 212200 30 ) (2+ =||.|</p> <p>\| + =y y ydyddyG dE 1221230 2 ) (22 =|.|</p> <p>\| + =ydyddy G E d G02 P(G)0,33330,6667 G0y-10 P(G)( ) 8121 y ( ) y 20121 11 I valori candidati ad essere punti di massimo sono quelli che rendono nulla la derivata prima, ossia si risolve01230 2=+ ye si ottiene y = 15 . Poich la derivata seconda negativa, il valore y = 15 un punto di massimo per la funzione E(G). Se la consulente volesse fare unofferta che massimizzasse il guadagno, dovrebbe proporre 15000 $. 6.85 Sia X la variabile tempo di consegna ;) 4 ; 20 ( ~ = =X XN X o . a.7888 , 0 ) 8944 , 0 1 ( 8944 , 0 ) 25 , 1 25 , 1 (420 25420 15) 25 15 ( = = &lt; &lt; =|.|</p> <p>\| &lt; = &gt; Z P Z P X Pc. Sia Y la variabile aleatoria che vale 1 se una pizza gratuita perch consegnata in ritardo e 0 se non lo . Allora) 0062 , 0 ( ~ = p Bernoulli Y . Siano 5 4 3 2 1, , , , Y Y Y Y Y levariabilialeatorierelativeaicinquegiorniconsiderati;essesono indipendenti e distribuite come Y.Sia 5 4 3 2 1Y Y Y Y Y B + + + + = ilnumerodipizzegratuiteneicinquegiorniconsiderati;allora ) 0062 , 0 ; 5 ( ~ = = p n Binomiale B .La probabilit che lo studente riceva almeno una pizza gratuita 3,06% in quanto ( ) 0306 , 0 9694 , 0 1 ) 0062 , 0 1 ( 0062 , 0051 0 1 ) 1 (0 5 0= = ||.|</p> <p>\| = = = &gt;B P B P . d.PoichladistribuzionediXnormale,ilpipiccolointervalloditempochecontieneil40% delleconsegnequellosimmetricorispettoa X :occorredeterminareunvalorektaleche 4 , 0 ) 20 20 ( = + &lt; &lt; k X k P . Questa espressione equivale alle seguenti: 7 , 0 2 / 4 , 0 5 , 0 ) 20 ( = + = + &lt; k X P ;7 , 0420 ) 20 (=|.|</p> <p>\| + &lt; &lt; = &lt; &lt; &gt; &lt; &lt; X P X P X P X Pf. [21; 23]. 12 6.86 Sia X la variabile spesa annua dei soci;) ; 100 ( ~2o = N X ; noto che. 10 , 0 ) 130 ( = &gt; X PIl valore di si determina come segue: 10 , 0 ) 130 ( = &gt; X P;10 , 0100 130=|.|</p> <p>\| &gt;oZ P ;90 , 0100 130=|.|</p> <p>\| = |.|</p> <p>\| &gt; = &gt; F Z P Z P X P 6.95 Sia X la variabile prezzo di una azione A;) 16 ; 10 ( ~2= =X XN X o . Sia Y la variabile prezzo di una azione B;) 9 ; 12 ( ~2= =Y YN Y o . La correlazione tra X e Y vale3 , 0 ) , ( = = Y X CorrXY . a. Sia P la variabile valore del portafoglio composto da 10 azioni A e 8 azioni B. La variabile P definita tramite la seguente combinazione lineare di X e Y:Y X P8 10 + = . Ne segue che P ha distribuzione normale con media E(P) e varianza V(P) cos calcolate: 196 12 8 10 10 ) ( 8 ) ( 10 ) 8 10 ( ) ( = + = + = + = Y E X E Y X E P E2752 6 , 3 8 10 2 9 8 16 10) , ( 8 10 2 ) ( 8 ) ( 10 ) 8 10 ( ) (2 22 2= + + == + + = + = Y X Cov Y V X V Y X V P V in quanto6 , 3 9 16 3 , 0 ) , ( ) , ( = = =Y XY X Corr Y X Cov o o . b.Sia X1 la variabile prezzo di una azione di tipo 1 : ) 25 ; 10 ( ~21 1 1= = o N Xe 2 , 0 ) , (1 = Y X Corr . Sia P1 la variabile valore del portafoglio composto da 10 azioni di tipo 1 e 8 azioni B. AlloraY X P 8 101 1+ = ha distribuzione normale con media E(P1) e varianza V(P1) cos calcolate: 196 12 8 10 10 ) ( 8 ) ( 10 ) 8 10 ( ) (1 1 1= + = + = + = Y E X E Y X E P E( ) 2596 3 8 10 2 9 8 25 10) , ( 8 10 2 ) ( 8 ) ( 10 ) 8 10 ( ) (2 212121 1= + + == + + = + = Y X Cov Y V X V Y X V P V in quanto3 9 25 2 , 0 ) , ( ) , (1 1 1 = = =YY X Corr Y X Cov o o . Sia X2 la variabile prezzo di una azione di tipo 2 : ) 9 ; 10 ( ~22 2 2= = o N X e 6 , 0 ) , (2= Y X Corr . Sia P2 la variabile valore del portafoglio composto da 10 azioni di tipo 2 e 8 azioni B. AlloraY X P 8 102 2+ = ha distribuzione normale con media E(P2) e varianza V(P2) cos calcolate: 196 12 8 10 10 ) ( 8 ) ( 10 ) 8 10 ( ) (2 2 2= + = + = + = Y E X E Y X E P E2340 4 , 5 8 10 2 9 8 9 10) , ( 8 10 2 ) ( 8 ) ( 10 ) 8 10 ( ) (2 222222 2= + + == + + = + = Y X Cov Y V X V Y X V P V in quanto4 , 5 9 9 6 , 0 ) , ( ) , (2 2 2= = =YY X Corr Y X Cov o o . LedueofferteP1eP2hannolostessovaloreattesodelportafoglioP;entrambeleoffertesono vantaggiose rispetto al portafoglio P in quanto hanno varianza inferiore rispetto alla varianza di P.Il gestore sceglier il portafoglio P2 in quanto ha minor varianza rispetto a P1 e P. </p>