Notes de cours provisoires - e ?· Formulaire 3.1. Triangles rectangles $ $ $ sin $ cos $ sin $ cos…

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    14-Sep-2018

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  • VILLE DE LIEGE INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS Enseignement de promotion sociale

    Mathmatiques orientes construction

    Notes de cours provisoires

    Jean-Luc Becker

  • Trigonomtrie

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

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    1. Nombres trigonomtriques des angles aigus Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.

    1.1. Dfinitions

    On appelle SINUS dun angle aigu le rapport entre le ct oppos langle et lhypotnuse, COSINUS de cet angle le rapport entre le ct adjacent langle et lhypotnuse, TANGENTE le rapport entre le ct oppos langle et le ct adjacent langle, et COTANGENTE le rapport entre le ct adjacent langle et le ct oppos langle. En rsum :

    sin cos = = =

    cot oppos cot adjacent cot opposcot adjacenthypotenuse hypotenuse

    tg

    On peut facilement montrer laide des triangles semblables que ces nombres sont indpendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dpendent donc que de langle ( ou de son amplitude ) et son appels nombres trigonomtriques de langle aigu .

    Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc

    sin $ cos $ $ sin $ cos $ $Cca

    Cba

    tg Ccb

    ba

    Bca

    tg Bbc

    = = = = = =B

    1.2. Proprits En observant les dfinitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :

    ( ) ( )sin $ cos $ cos $ sin $ cos $ cos $B C B C B C= = = = 90 90 Le thorme de Pythagore a une consquence remarquable appele relation fondamentale de la trigonomtrie. En effet, on a

    ( ) ( )

    AB AC BC

    ABBC

    ACBC

    ABBC

    ACBC

    sin cos

    + =

    + =

    +

    =

    + =

    1

    1

    1

    2 2

    2 2

    ce que les mathmaticiens crivent souvent

    sin cos + = 1

    A

    B

    C

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

    4

    2. Units de mesure des angles 2.1. Le degr

    Le degr est par dfinition la nonantime partie de langle droit. Ainsi, un angle plat a pour mesure 180. Le degr est subdivis en 60 minutes et une minute en 60 secondes : 1 = 60, 1 = 60, donc 1 = 3600. Notons cependant quen pratique, on utilise de moins en mois les degrs-minutes-secondes au profit des degrs dcimaux. 2.2. Le grade Le grade est par dfinition la centime partie de langle droit. Ainsi, un angle plat a pour mesure 200 g. Le grade est subdivis dcimalement comme beaucoup d'autres units du systme international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilis en topomtrie : le dcimilligrade (dmg) qui vaut bien entendu un dix-millime de grade :

    1 dmg =1

    10000g g g= =10 0 00014 ,

    2.3. Relation entre les units

    La relation entre ces deux unit dcoule d'une simple rgle de trois. En effet, on a

    100 g = 90 1 g = 0,9 1 = 109

    g

    3. Formulaire

    3.1. Triangles rectangles $ $ $

    s in $ c o s $

    s in $ c o s $

    $ c o t $

    $ c o t $

    A B C g

    Bba

    C

    Cca

    B

    t g Bbc

    g C

    t g Ccb

    g B

    a b c

    + + + =

    = =

    = =

    = =

    = =

    = +

    2 0 0

    2 2 2

    3.2. Triangles quelconques

    $ $ $

    sin $ sin $ sin $

    cos $

    cos $

    cos $

    A B C g

    a

    A

    b

    B

    c

    C

    a b c bc A

    b c a ca B

    c a b ab C

    + + =

    = =

    = +

    = +

    = +

    200

    2

    2

    2

    2 2 2

    2 2 2

    2 2 2

    A

    B

    C

    a

    b

    c

    A

    B C a

    b c

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

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    4. Exercices 1/ Un point O est situ 5 m au-dessus du plan horizontal passant par le pied dune tour. De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de lhorizontale passant par O et le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la mme horizontale. Calculer la hauteur de la tour.

    55g

    11g

    5,0

    0

    H ?

    2/ Un observateur est 30 m du pied dune tour verticale de 25 m de hauteur. On demande sous quel angle il voit la tour, son il tant 1 m 50 du sol suppos horizontal.

    ?

    25

    ,00

    30,00

    1,5

    0

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

    6

    3/ Deux observateurs, distants de 1750 m sur une horizontale, mesurent au mme instant les angles dlvation dun point remarquable dun nuage, lorsque celui-ci traverse le plan vertical de la base dobservation; ils trouvent 80 g et 93 g. Quelle est la hauteur du nuage, si celui-ci passe entre les deux observateurs ?

    80g 93g

    1750

    4/ Une personne place au bord dune rivire voit dans une direction perpendiculaire la rivire, un arbre plant sur la rive oppose sous un angle de 53 g; elle recule de 50 m et cet angle nest plus que de 20 g. Quelle est la hauteur de larbre et la largeur de la rivire?

    50,00

    53g

    20

    g

    ?

    ?

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

    7

    5/ Sur un terrain horizontal, on observe une tour sous un angle dlvation de 78,6434 g. En reculant de 37,84 mtres, on observe alors la tour sous un angle d'lvation de 31,3733 g. Quelle est la hauteur de la tour sachant que lobservation a t faite 1,55 m du sol?

    37,84

    78,6

    434g

    31,

    373

    3g

    ?

    1,5

    5

    6/ Un bateau quitte son embarcadre pour prendre le large. Sachant que sa plus haute structure est 42 mtres au dessus du niveau de leau et que le rayon de la terre est de 6378 km, quelle distance du rivage le paquebot disparatra-t-il lhorizon ?

    ?

    42

    m6

    37

    8 k

    m

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

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    7/ Du sommet S dune colline de hauteur H, on observe deux points X et Y dans la plaine. Dterminer la distance d entre les points X et Y sachant que les lignes de vise SX et SY forment respectivement des angles et avec lhorizontale en S et que SX et SY forment une angle . Calculer la distance d sachant que = 28,5741 g, = 26,2957 g, = 73,2051 g et H = 290 m.

    8/ Un gomtre se trouve sur le bord dune rivire 63 m du pied dun pylne dun pont suspendu et observe le sommet de ce pylne sous un angle d'lvation de 44,5254 g par rapport lhorizontale. Un pylne identique, situ sur lautre rive, est vu sous un angle d'lvation de 12,6298 g. Calculer la porte du pont sachant que lcart entre les deux pylnes se voit sous un angle horizontal de 84,6377 g.

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

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    9/ Deux observateurs au sol sont situs dans laxe dun couloir arien une distance de 1 km lun de lautre. A lapproche dun avion, ces observateurs notent au mme moment langle dlvation de lavion par rapport lhorizon ( lavion nest pas entre les observateurs). Lobservateur le plus proche de lavion mesure 62,2875 g tandis que lautre 34 g. Sachant que lavion passe au-dessus du premier observateur 4 secondes plus tard, calculer sa vitesse horaire et son altitude.

    34g

    62,2875g

    1 km

    10/ Dun point P dune plaine, on vise les sommets A et B de deux collines. La colline de sommet A est situe au Nord-Ouest de P, a une altitude de 250 mtres et est vue sous un angle d'lvation de 70,4833 g. La colline de sommet B est situe au nord-est de P, a une altitude de 525 mtres et est vue sous un angle d'lvation de 73,7133 g. Quelle est la distance horizontale entre A et B (estime daprs une carte) et la distance relle entre A et B ?

  • Mathmatiques orientes construction - trigonomtrie

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    11/ On observe au NO une antenne de radio. Aprs avoir progress vers le NE sur 3055 m, on observe lantenne plein ouest sous un angle d'lvation de 8,6403 g. Quelle est la hauteur de lantenne si elle est vue 1,4 m du sol ?

    12/ On observe un rservoir sphrique depuis une base AB longue de 53 m. Les vises horizontales tangentes ce rservoir issues de A forment avec AB des angles de 33,6313 g et de 63,3547 g; celles issues de B des angles de 43,8206 g et de 79,4406 g. Quel est le volume de ce rservoir ?

    33,6

    313

    g

    63,3

    547g

    43,

    8206g

    79,4

    406g

    53,00

    A B

    C

  • Gomtrie descriptive (mthode des plans cots)

  • Mathmatiques orientes construction gomtrie descriptive

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    1. Introduction La gomtrie cote a pour but de reprsenter dans un seul plan n'importe qu'elle figure dtermine gomtriquement dans l'espace. Ce plan unique est appel plan horizontal de comparaison. Dans la pratique, ce mode de reprsentation est utilis en topographie et en cartographie, pour dessiner le trac des routes et des canaux par exemple. 1.1. Plan de comparaison

    Le plan de comparaison est habituellement un plan horizontal au sens physique du terme. Il partage l'espace en deux rgions, savoir : une rgion positive, situe par convention au-dessus de ce plan; une rgion ngative, situe au-dessous de ce plan. Un point de l'espace est dfini par sa projection sur le plan de comparaison et par sa cote, nombre rel dont la valeur absolue est donne par la distance du point au plan de comparaison, et du mme signe que la rgion dans laquelle se trouve le point. Un point du plan de comparaison a videmment une cote nulle. Le plan de comparaison est souvent appel plan cot parce que on y inscrit les cotes des points projets. Nous le dsignerons par H0. 1.2. Echelle numrique Dans la pratique, les objets reprsents ont des dimensions trs grandes par rapport la feuille de dessin. Il y a donc lieu de rduire toutes les longueurs dans un mme rapport. De cette manire, la figure obtenue sur la feuille de dessin sera semblable celle existant dans la ralit; c'est l'pure de la figure de l'espace. Le rapport entre la reprsentation d'une longueur et la longueur relle porte le nom d'chelle numrique. On utilise habituellement les chelle 1/2, 1/5, 1/10, 1/20, 1/100, 1/1000, 1/2500.

    A

    B

    C

    Ah Ch Ch(60)

    Bh(0)

    Ah(-100)

  • Mathmatiques orientes construction gomtrie descriptive

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    1.3. Echelle graphique L'chelle graphique d'un plan cot est l'chelle de reproduction employe pour reprsenter les longueurs des segments en projection horizontale.

    0 1 2 3 4 5 6

    Elle doit toujours accompagner l'pure. Pour la construire, on se donne une unit arbitraire que l'on porte plusieurs fois bout bout sur une droite. On numrote 0, 1, 2, 3 ... de gauche droite les points obtenus. Pour mesurer les longueurs au dixime prs, on porte gauche de 0 l'unit choisie que l'on divise en 10 parties gales. Ce petit segment gradu porte le nom de talon.

    2. Etude de la droite 2.1. Reprsentation de la droite Une droite tant dfinie ds que l'on connat deux de ses points, il suffit donc pour en dresser l'pure de tracer les projections de deux points quelconques de la droite. Il s'en suit qu'une droite est parfaitement dtermine par les projections de deux de ses points A et B.

    Une droite horizontale est parallle au plan horizontal de projection. Tous ses points ayant la mme cote, elle est reprsente par sa projection et la cotes de ses points. Observons que tout segment AB pris sur cette droite horizontale est vu en vraie grandeur en projection horizontale. Une droite verticale est perpendiculaire au plan horizontal de projection. Tous les points de cette droite se projettent en un seul point qui est le point de perce de la droite dans le plan horizontal de projection. On la reprsente par ce point sans cote.

    2.2. Rabattement d'un plan vertical sur le plan horizontal de comparaison

    2.2.1 Figure de l'espace Le plan vertical , perpendiculaire au plan horizontal de comparaison, se reprsente par sa trace h sur le plan horizontal de comparaison. Une petite flche, mene

    A B

    Ah Bh

    v

    h

    Ah(7,5)

    Bh(5,3)

    hh(2,5) vh

  • Mathmatiques orientes construction gomtrie descriptive

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    perpendiculairement la trace h du plan vertical , indiquera le sens du rabattement. L'intersection du plan vertical avec le plan horizontal de comparaison est appele charnire du rabattement. Les points situs au-dessus du plan horizontal de comparaison, c'est--dire les points de cotes positives, se rabattront dans le sens de la flche; les autres dans le sens oppos celui de la flche. En pratique, un tel rabattement ne s'effectue pas dans le plan horizontal de comparaison mais plutt dans un plan horizontal de cote donne. L'intersection du plan vertical avec le plan horizontal sur lequel on rabat est la charnire du rabattement; sa projection est confondue avec la trace du plan . Ici encore, une petite flche, mene perpendiculairement la trace h du plan vertical , indiquera le sens du rabattement. Les points situs au-dessus du plan horizontal sur lequel on rabat, c'est--dire les points de cotes suprieures la cote de ce plan, se rabattront dans le sens de la flche; les autres dans le sens oppos celui de la flche.

    2.2.2. Epure

    Effectuons titre d'exemple un rabattement sur un plan horizontal de cote 3.

    0 1 2 3 4 5 6

    2,40,7

    h

    A

    Ah

    Ar

    Arh

    Ah(5,4)

    Arh

    h Bh(2,3)

    Brh

    A'

  • Mathmatiques orientes construction gomtrie descriptive

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    La distance |AA'| entre le point A de cote 5,4 et ce plan est alors de 5,4 - 3 = 2,4. Lors du rabattement, le point A subit une rotation et dcrit un cercle dans un plan vertical perpendiculaire la charnire dont la trace sur le plan horizontal de comparaison est perpendiculaire la trace h du plan que l'on rabat. Ce cercle est centr sur la charnire et de rayon |AA'| = 2,4. De plus, le point A est situ au dessus du plan sur le quel on rabat, on reporte donc la distance |AA'| dans le sens de la flche et perpendiculairement h, puisque |A'Ar| se projette en vraie grandeur suivant |A

    hAhr|. Pour le point B de cote 2,3, on procde videmment de mme en reportant 2,3 - 3 = -0,7 unit graphique, c'est--dire 0,7 unit graphique perpendiculairement h mais dans le sens contraire de la flche. 2.2.3 Vraie grandeur d'un segment de droite

    0 1 2 3 4 5 6

    2,4

    Soit un segment [AB] dont on connat les projections et cotes des extrmits. On se propose de calculer la vraie grandeur du segment [AB]. Pour ce faire, faisons passer un plan vertical par AB. Rabattons ce plan vertical sur le plan horizontal de comparaison. Aprs rabattement, le segment [AB] se trouve en [Ar

    h Brh]. Constatons que ce segment [Ar

    h Brh]

    est l'hypotnuse du triangle rectangle ArhIr

    hBrh.

    Il en rsulte la rgle :

    La distance entre deux points A et B est donne par l'hypotnuse d'un triangle rectangle dont les cts de l'angle droit sont respectivement la distance entre les projections de ces points et la diffrence entre les cotes des points.

    2.3. Pente, angle de pente et chelle de pente d'une droite

    2.3.1. Angle de pente

    On appelle angle de pente d'une droite l'angle aigu form par cette droite et sa projection sur le plan horizontal de comparaison . On le note souvent .

    A

    B

    I

    Arh

    Brh

    Irh

    Brh

    Bh (5,5)

    Ah (3,1) VG

    A

    Ah P

  • Mathmatiques orientes construction gomtrie descriptive

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    2.3.2. Pente d'une droite Rappelons que par dfinition, la pente d'une droite est le rapport entre la diffrence d'altitude et la distance des projections de deux quelconques de ses points. Sur la figure

    ci-dessus, la pente peut tre donne par le rapport AA

    PA

    h

    h. La trigonomtrie nous dit de plus

    que ce rapport vaut aussi la tangente de : pente d'une droite = tg

    2.3.3 Echelle de pente d'une droite

    L'chelle de pente d'une droite est la projection sur le plan horizontal de comparaison d'une suite de points de cote entire de cette droite. La distance sparant les projections horizontales de deux points dont la cote diffre de 1 unit s'appelle l'intervalle, souvent not i. En prenant comme points A de cote 0 et B de cote 1, on voit de suite que la pente s'crit BB

    A B i

    h

    h h=

    1 . L'intervalle est donc l'inverse de la

    pente : pente tgi

    = =1

    Il rsulte de toutes ces considrations qu'une droite est parfaitement dfinie : par la connaissance de deux de ses points...

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