numeros-complexos [Modo de Compatibilidade] e servomecanismos/Aulas/Numeros... · Divisão de números…

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    13-Dec-2018

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Nmeros Complexos

Controle de Sistemas Mecnicos 1

Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Jnior

AGENDA

Reviso de conceitos matemticos Nmeros complexos

Exerccios

2

Exerccios

Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

Objetivo: O objetivo desta seo fazer umapequena reviso de nmeros complexos, lgebrade nmeros complexos, variveis complexas efunes complexas .

3

funes complexas .

Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

A necessidade de manipular nmeros complexossurge da resoluo de equaes do tipo: s 2 + 1 = 0

Usando a notao , todos os nmerosencontrados em aplicaes de engenharia podemser escritos da forma : C= X + jY

1=j

4

ser escritos da forma : C= X + jY

C: nmero complexo X: parte real Y: parte imaginria

Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

Interpretao : Um nmero complexo C pode serconsiderado como um ponto no plano complexo oucomo o segmento unindo a origem at o ponto.

5Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

O ngulo de um nmero complexo C o nguloentre o segmento e a parte positiva do eixo real. considerado positivo no sentido anti-horrio.

O comprimento ou magnitude de C e o ngulo deC so calculados por:

+== YXZC 22

6

=

+==

XY

YXZC

arctan

22

Na forma polar o nmero complexo C dadopor: = ZC

Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

O conjugado complexo de C = X + jY definidopor: C* = X - jY

Possui a mesma parte real e a parte imaginriacom sinal trocado.

7Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

Forma Retangular: ( )

+=+=

jsenZCjYXC

cos

Forma Polar:

==

jZeC

ZC

8

A converso da forma polar para a retangular :

=+=XY

YXZ arctan; 22

A converso da forma retangular para a complexa :

ZsenYZX == ;cos

Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

Exemplo: C = X+jY = 3 + j4

Na forma polar: 543 2222 =+=+= YXZ

=

=

= 13533

4,arctanarctan

XY

13535 ,== ZC

9

Na forma polar: Z = 10 45Na forma retangular:

07174510

07174510

,sinsin

,coscos

======

ZY

ZX

07170717 ,, jjYXC +=+=

13535 ,== ZC

Controle de Sistemas Mecnicos

Nmeros complexos

jej =+ sencosFrmula de Euler:

jeje jj sencossencos =+=

10

j

eeee

jejejjjj

jj

2sen

2cos

sencossencos

=+=

=+=

Controle de Sistemas Mecnicos

Igualdade de nmeros complexos: Dois nmeros complexos z e w so iguais se esomente se a parte real e a parte imaginriadeles forem iguais.

lgebra de nmeros complexos

11

deles forem iguais.

VYjVUC

CC

UXjYXC

=+==

=+=

2

21

1

Controle de Sistemas Mecnicos

Adio de nmeros complexos :Dois nmeros complexos C1 e C2podem ser somados, somando-seseparadamente as partes reais eimaginrias.

lgebra de nmeros complexos

12

C1 + C2 = (X + jY) + (U + jV) C1 + C2 = (X + U) + j(Y + V)

Exemplo: C 1 = 2 + j4C2 = 3 + j1

C1 + C2 = 5 + j5

Controle de Sistemas Mecnicos

lgebra de nmeros complexos

Subtrao de nmeros complexos:

Dois nmeros complexos C1 eC2 podem ser subtrados,subtraindo-se separadamenteas partes reais e imaginrias

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C1 C2 = (X + jY) - (U + jV) C1 C2 = (X - U) + j(Y - V)

Exemplo: C1 = 4 + j6

C2 = 1 + j4C1 C2 = 3 + j2

Controle de Sistemas Mecnicos

lgebra de nmeros complexos

Multiplicao de nmeros complexos : A multiplicao de dois nmeros complexos C1 e

C2 dada por: C1.C2 = (X + jY)(U + jV) = X.U + jY.U + jX.V + j2Y.V C1.C2 = (X.U Y.V) + j(X.V + Y.U)

14

C1.C2 = (X.U Y.V) + j(X.V + Y.U)

Usou-se o fato que j2 = -1.

Na forma polar temos:

)(..;; +=== 21212211 ZZCCZCZC

Controle de Sistemas Mecnicos

lgebra de nmeros complexos

Exemplo: C1 = 3 + j4, C2 = 4 + j3

C1.C2 = (3.4 4.3) + j(3.3 + 4.4) = 0 + j25

Exemplo: C = 553,13 , C = 536,87

15

Exemplo: C1 = 553,13 , C2 = 536,87C1.C2 = 553,13 . 536,87 = 25 90

Controle de Sistemas Mecnicos

Diviso de nmeros complexos: a diviso de dois nmeros complexos C1 e C2 mais simples de ser realizada na forma polar:

lgebra de nmeros complexos

( ) =

= 111

ZZ

ZZ

CC

16

( )

=

=222 ZZC

Na forma retangular necessrio multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador:

( )( )

( )( ) 22222

1

VUXVYU

jVUYVXU

jVUjVU

jVUjYX

jVUjYX

CC

++

++=

++=

++=

Controle de Sistemas Mecnicos

lgebra de nmeros complexos

Exemplo: C1 = 3 + j4, C2 = 4 + j3

2809602616187365

13535

2

1 ,,,,,

jCC +==

=

17

873652 ,C

25

7

25

24

34

3344

34

34432222

2

1 jjCC +=

++

++= ....

Controle de Sistemas Mecnicos

Potenciao e razes :

lgebra de nmeros complexos

( ) nZZC nnn ==

18

( )

( )n

ZZC

nZZC

nnn

==

==111

Controle de Sistemas Mecnicos

Funes Complexas

Um nmero complexo possui, portanto,parte real e parte imaginria. Se a partereal ou a parte imaginria so variveis onmero complexo chamado de varivelcomplexa. Seja s = + j uma varivel

19

complexa. Seja s = + j uma varivelcomplexa.

Uma funo complexa F(s), funo davarivel complexa s, possui uma parte reale uma parte imaginria.

F(s) = Fx + jFy

Controle de Sistemas Mecnicos

Funes Complexas

O mdulo e o ngulo de F(s) so:

=+=

x

y

yx F

FsFFFsF arctan)(;)( 22

20

x

O complexo conjugado de F(s), denotado por F*(s) :

F*(s) = Fx jFy

Controle de Sistemas Mecnicos

Funes Complexas

As funes complexas mais comumente encontradas emanlise e projeto de sistemas lineares so funes do tipo:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )nn

mm

pspspsps

zszszszsksF

++++++++

=

121

121

...

...)(

21

As razes do denominador s = - p1; s = - p2; ; s = - pn so os plosde F(s). Se forem todas distintas, dizemos que a funo possuiplos simples e se forem repetidas F(s) possui plos mltiplos, demultiplicidade r (onde r o nmero de vezes que o mesmo plo serepete).

As razes do numerador s = - z1; s = - z2; ; s = - zm so os zeros deF(s), podendo ser simples ou mltiplos.

Controle de Sistemas Mecnicos

Exerccios

1) Converta os nmeros seguintes para a forma polar:a) 4+j3 b) 2+j2 c) 3,5+j16 d) 100+j800e) 1000+j400 f) 0,001+j0,0065 g)7,6-j9h) 8+j4 i) 15-j60 j) 78-j65

2) Converta os nmeros seguintes para a forma retangular:

22

2) Converta os nmeros seguintes para a forma retangular:

a) 630 b) 4080 c) 740070d)4.10-48 e) 0,0480 f) 0,009323g) 65150 h) 1,2135 i) 500200j) 6320-35

Controle de Sistemas Mecnicos

Exerccios

3) Efetue as operaes, fornecendo a resposta na forma retangular:

a) (4,2+j6,8) + (7,6+j0,2) b) (142+j7) + (9,8+j42) + (0,1+j0,9) c) (4.10-6+j76) + (7,2.10-7-j5)

23

c) (4.10-6+j76) + (7,2.10-7-j5) d) (9,8+j6,2) (4,6+j4,6) e) (167+j78) (-42,3-j68) f)(-36+j78) - (-4-j6) + (10,8-j72) g) 620 + 880h) 4245 + 6260 - 70120

Controle de Sistemas Mecnicos

Exerccios

4) Efetue as operaes, fornecendo a resposta na forma retangular:

a) (2+j3)(6+j8) b) (4+j2)(7+j6) c) (0,002+j0,006)(-2+j2) d) (400-j200)(1+j3) e) (260)(422) f) (6,98)(7,3-72) 5) Efetue as operaes, fornecendo a resposta na forma

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5) Efetue as operaes, fornecendo a resposta na forma polar:

a) (4210)/(760) b) (0,006120)/(30-20) c) (4360-20)/(40210) d) (8+j8)/(2+j2) e) (8+j42)/(-6+j60) f) (-4,5-j6)/(0,1-j0,4)

Controle de Sistemas Mecnicos

Exerccios

06059319 234 =++ ssss

7) Calcule as razes dos polinmios abaixo:

06059319 234 =++++ ssss060599168329 23456 =++++++ ssssss

25Controle de Sistemas Mecnicos

FIM

Sinais e Sistemas - Faculdade Talentos

Humanos 26

Muito Obrigado!