Optimización monotonía-curvatura

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    10-Jul-2015

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  • 1

    Averigua las coordenadas de los puntos crticos de la funcin .65)( 32 xxxf

    Solucin:

    37 4012)4(

    5 0012)0(612)(

    4

    00)4(30)(312)( 2

    ,Mf''

    ,mf''xxf''

    x

    xxxxf'xxxf'

    2

    Deriva la funcin

    x

    xy

    1

    1arctg

    e infiere de ah la existencia de posibles puntos extremos. Es posible

    definir la funcin en x = 1, para que sea continua en dicho punto?

    Solucin: Dominio de la funcin: R - {1}

    Funcin derivada:

    222 1

    1)(

    1

    11

    1

    )1(

    )1)(1(1)(

    xxf'

    x

    xx

    xxxf'

    La funcin derivada f'(x) > 0, para todo punto del dominio, se trata pues de una funcin creciente. Por tanto no tiene puntos extremos. En x = 1, la funcin no est definida.

    2)arctg()(lim;

    2)arctg()(lim

    11

    xf xfxx

    Por tanto la funcin presenta en x = 1 una discontinuidad no evitable.

    3 Estudia la curvatura de las siguientes funciones:

    a)

    4)( xxf b)

    6)( xxf

    Solucin:

    a) La funcin

    4)( xxf tiene como dominio R.

    Derivadas sucesivas:

    23 12)(4)( xx; f"xxf'

    Signo de la derivada segunda:

    0)(0

    0)(0

    x f" x

    x f" x

    La funcin es convexa en su dominio. No presenta puntos de inflexin.

    b) La funcin

    6)( xxf tiene como dominio R.

    Derivadas sucesivas:

    45 30)(6)( xx; f"xxf'

    Signo de la derivada segunda:

    0)(0

    0)(0

    x f" x

    x f" x

  • La funcin es convexa en su dominio. No presenta puntos de inflexin.

    4 Estudia el crecimiento y decrecimiento y los mximos y mnimos de la funcin:

    896)( 23 xxxxf.

    Solucin:

    Derivada de la funcin:

    9123)( 2 xxxf'

    3 1091230)( 2 x;xxxxf'

    - Para x < 1 es f'(x) > 0, luego la funcin es creciente en 1 ,

    .

    - Para 1 < x < 3 es f'(x) < 0, luego la funcin es decreciente en (1, 3).

    - Para x > 3 es f'(x) > 0, luego la funcin es creciente en ,3

    .

    - En x = 1, la funcin presenta un mximo, ya que pasa de creciente a decreciente.

    - En x = 3, la funcin presenta un mnimo, ya que pasa de decreciente a creciente.

    5 Estudia la monotona de la funcin f(x) cuya derivada est dada por la grfica siguiente:

    -2 -1 1 2

    -1

    1

    2

    3

    f' x

    Solucin:

    - x < -1 es f'(x) < 0, luego la funcin es decreciente en 1 ,

    - Para x > -1 es f'(x) > 0, luego la funcin es creciente en ,1

    Para x = -1 la funcin alcanza un mnimo, puesto que pasa de ser decreciente a creciente en este punto.

    6 Estudia la curvatura de las siguientes funciones:

    a)

    xxf 5)( b)

    xxf 5log)(

    Solucin:

  • a) La funcin

    xxf 5)( tiene como dominio R.

    Derivadas sucesivas: 5ln5)(5ln5)( 2xx x; f"xf'

    Signo de la derivada segunda: f(x) > 0, luego la funcin es convexa en R. No presenta puntos de inflexin.

    b) La funcin xxf 5log)(

    tiene como dominio (0,+ )

    Derivadas sucesivas:

    ex

    xe; f"x

    xf' 525 log1

    )(log1

    )(

    Signo de la derivada segunda: f(x) < 0, luego la funcin es cncava en su dominio. No presenta puntos de inflexin.

    7 Estudia el crecimiento y decrecimiento y los mximos y mnimos de la funcin:

    86)( 2 xxxf.

    Solucin: Derivada de la funcin: f'(x) = 2x - 6

    f'(x) = 0 2x - 6 = 0 x = 3

    - Para x < 3 es f'(x) < 0, luego la funcin es decreciente en 3 ,

    .

    - Para x > 3 es f'(x) > 0, luego la funcin es creciente en ,3

    .

    - En x = 3, la funcin presenta un mnimo, ya que pasa de decreciente a creciente.

    El punto mnimo tiene por coordenadas (3, -1)

    8 De una funcin f(x) se conoce la grfica de su derivada f'(x) que es una funcin continua que tiene como

    dominio R y que presenta un mximo en x = 1 y un mnimo en x = 3. Qu informacin suministra ese

    dibujo acerca del crecimiento y decrecimiento de la funcin? Qu se puede decir sobre la existencia de

    puntos extremos?

    -1 1 2 3 4 5

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    4f' x

    Solucin: Intervalos de monotona de la funcin. Signo de la derivada:

    0)(4 20 xf',,xpor lo que la funcin decrece en esos intervalos.

    0)( 42 0 xf',,xpor lo que la funcin crece en esos intevalos.

    Puntos extremos: En x = 0, la funcin pasa de decreciente a creciente, por tanto presenta un mnimo relativo En x = 2, la funcin pasa de creciente a decreciente, por tanto presenta un mximo relativo

  • En x = 4, la funcin pasa de decreciente a creciente, por tanto presenta un mnimo relativo

    9 Utilizando la derivada estudia los intervalos de monotona de las siguientes funciones:

    a)

    3)( xxf b)

    7)( xxf

    Solucin:

    a) Funcin derivada:

    23)( xxf'

    Para x < 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en 0 ,

    Para x > 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en ,0

    . Para x = 0 es f'(x) = 0, caso dudoso. Los valores que toma la funcin a la izquierda son menores que los que toma a la derecha, luego es creciente en R.

    b) Funcin derivada:

    67)( xxf'

    Para x < 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en 0 ,

    Para x > 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en ,0

    . Para x = 0 es f'(x) = 0, caso dudoso. Los valores que toma la funcin a la izquierda son menores que los que toma a la derecha, luego es creciente en R.

    10 El coste total expresado en euros de fabricacin de x unidades de cierto artculo viene dado por la funcin:

    200010)( 2 xxxf.

    a) Representa grficamente la funcin en su dominio real de definicin, sabiendo que, por razones

    tcnicas, no es posible fabricar diariamente ms de 20 unidades de producto.

    b) En qu nivel de fabricacin se producen los gastos mnimos?

    c) Cules son los costes semanales de fabricacin, a pleno rendimiento, si no se trabaja el sbado ni el

    domingo?

    d) Cul deber ser el precio unitario del producto para cubrir gastos en esas condiciones? Solucin:

    a) Derivadas sucesivas: 2)(102)( x; f"xxf'

    El dominio natural es el nmero de unidades de producto diarias: [0, 20]

    La curva es una parbola convexa (f > 0)

    f'(x) = 0 implica 2x - 10 = 0, por tanto: x = 5

    El vrtice, punto mnimo es V(5, f(5)) = V(5, 1975)

    b) Los gastos mnimos se producen para x = 5

    c) El coste para x = 20: f(20) = 2200 , por tanto el coste semanal es 2200 5 = 11 000 .

    d) El precio unitario:

    11020

    2200

    .

    11 Se ha comprobado que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo t en minutos

  • segn la funcin

    400

    100)(

    2

    t

    ttG

    Se pide: a) En qu momento del juego debe retirarse un jugador? b) Se pueden producir prdidas (ganancias negativas) en ese juego? Solucin:

    a) El dominio de la funcin

    400

    100)(

    2

    t

    ttG

    es ,0

    . El jugador deber retirarse cuando obtenga la mayor ganancia, as que debe estudiar el crecimiento de la funcin.

    La derivada es

    222

    400

    )400(100)(

    t

    ttG'

    que se anula para t = 20. El signo de la derivada es:

    tG' t

    tG' t

    0)(20Si

    0)(20Si

    Como en t = 20, la funcin pasa de creciente a decreciente, para t = 20 minutos obtiene la mayor ganancia y es el momento ptimo para retirarse del juego.

    b) Resulta obvio que la variable tiempo es t positiva y por tanto G(t) tambin, lo cual indica que en ese juego no hay prdidas.

    12 Razona con algn ejemplo las siguientes cuestiones sobre la parbola cbica:

    a) Por qu una funcin polinmica de tercer grado tiene siempre un nico punto de inflexin?

    b) La grfica de una funcin polinmica de tercer grado tiene siempre una rama convexa y otra cncava? Por qu? Solucin:

    a) Una funcin polinmica de tercer grado es: 0)( 23 d; acxbxaxxf

    Sus derivadas sucesivas son: baxxc; f"bxaxxf' 26)(23)( 2

    La grfica de la segunda derivada, se corresponde con una recta, cuya inclinacin depende del signo de a, ver

    figura adjunta (a > 0). Como a 0 dicha grfica corta al eje OX en un nico punto que se corresponde con el punto donde la segunda derivada se anula. Adems en dicho punto las ordenadas de la recta cambian de signo y por tanto en ese punto cambia la curvatura.

    b) Se comprueba utilizando el mismo razonamiento que en el apartado anterior, ya que la grfica de la segunda derivada tiene una parte positiva y una parte negativa.

    13 Estudia el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos de la funcin:

    1)(

    2

    x

    xxf

    . Solucin: Dominio de la funcin: R - {1}

  • Derivada de la funcin

    2)1(

    )2()(

    x

    xxxf

    2 00)1(

    )2(0)(

    2

    x;x

    x

    xxxf

    - Para x < 0 es f'(x) > 0, luego la funcin es creciente en 0 ,

    .

    - Para 0 < x < 1 y 1 < x < 2 es f(x) < 0, luego la funcin es decreciente en 2 ,11 ,0

    .

    - Para x > 2 es f'(x) > 0, luego la funcin es creciente en ,2

    .

    - En x = 0, la funcin presenta un mximo ya que pasa de creciente a decreciente.

    - En x = 2, la funcin presenta un mnimo ya que pasa de decreciente a creciente.

    14 A un vendedor de coches de lujo le cuesta 14 000 euros cada modelo de la marca PC. Ha comprobado que al precio de 24 000 euros cada unidad vende 30 coches al mes y que por cada 200 euros de descuento en el precio de venta puede vend