Osnovi Matematickog Modeliranja Respiratornog Sistema Coveka

  • Published on
    22-Dec-2015

  • View
    236

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematicko modeliranje

Transcript

<p>OSNOVI MATEMATIKOG MODELIRANJA RESPIRATORNOG SISTEMA OVEKA</p> <p>INFOTEH-JAHORINA Vol. 6, Ref. E-V-7, p. 536-540, March 2007.</p> <p>OSNOVI MATEMATIKOG MODELIRANJA RESPIRATORNOG SISTEMA OVEKAELEMENTS OF MATHEMATICAL MODELING THE HUMAN RESPIRATORY SYSTEM </p> <p>Milica Naumovi, Elektronski fakultet u Niu</p> <p>Nataa Popovi, Elektrotehniki fakultet u Istonom Sarajevu</p> <p>Sonja Naumovi, Medicinski fakultet u NiuSadraj Respiratorni sistem oveka je jedan sloen sistem koji pokazuje osobine sistema upravljanja tipa regulatora. Deo koji se odnosi na razmenu gasova ukljuuje kombinaciju mnogih procesa koji se deavaju u mozgu, pluima, vaskulaturi i tkivima organizma. U radu se razmatra jednostavni model koji daje linearizovan opis mehanike plua. Izvedene su i osnovne jednaine kojima se opisuje hemijska regulacija plune ventilacije. Abstract The human respiratory system is a complex system which exhibits the properties of a control system of the regulator type. The gas exchanging component involves a combination of many processes that take places in the brain, lungs, vasculature, and body tissues. This paper deals with a simple model that provides a linearized description of lungs mechanics. Some equations describing the introduction to chemical regulation of lung ventilation are derived. </p> <p>1. UVOD</p> <p>Koncept fizioloke regulacije datira jo iz perioda antikih Grka (oko 500 godina pre Hrista) kada se za ljudsko telo smatralo da predstavlja malu kopiju vasione i da njena etiri osnovna elementa (vazduh, voda, varta i zemlja) u telu redom predstavljaju krv, flegma, uta u i crna u [1]. Uzajamno dejstvo izmeu parova ovih elemenata davalo je etiri nesvodljive osobine kao to su vlanost, toplota, suvoa i hladnoa. Smatralo se da uspostavljanje harmonijskog balansa izmeu ovih elemenata i osobina dovodi do adekvatnog funkcionisanja razliitih organa sistema. Grki fiziar Galen je u drugom veku posle Hrista integrisao postojea tradicionalna uenja i teorijski promovisao fiziologiju na nain prihvaen sve do kraja 16. veka. Sline koncepte razvijali su u antikoj Kini i taoisti poev od treeg veka pre Hrista. Po njihovom uenju vasiona je bila sainjena od pet elemenata: drvo, vatra, metal, zemlja i voda. Smatralo se da je njihova interakcija dvojaka. Ona je, u sluaju da jedan element uveava efekat drugog produktivna, inae je limitirajua ili destruktivna, pa je ouvanje zdravlja upravo vezano za njihovo harmonijsko balansiranje. </p> <p>Mada su jo uveni fiziolozi, kao to su Boyle, Lavoisier i Pelger, uveli pojam regulacije, sve je ostalo prilino nejasno do kraja 19. veka, kada je francuski fiziolog Claude Bernard uveo pojam samoregulacije, polazei od pretpostavke da se kod organizma na viem stupnju razvoja elije "kupaju" u krvi ili limfi. Bez obzira na poremeaje u celokupnoj fiziologiji organizma, takvo okruenje je po njemu prilino stabilno, to ostvaruje i odrava sam organizam. Kasnije je fiziolog Walter Cannon preradio Bernardove ideje i sam koncept ilustrovao opisom razliitih fiziolokih procesa (unoenje dovoljne koliine vode i hrane saglasno informacijama dobijenim od senzora ei i gladi, uloga bubrega u regulaciji vika vode, ouvanje kiselo-baznog balansa krvi , i slino). </p> <p>etrdesetih godina prolog veka, Wiener je fundirao pristup modeliranju nelinearne dinamike fiziolokih sistema, iji je savremeni razvoj rezultat zajednikog rada fiziologa, matematiara i inenjera. </p> <p>2. PROCES DISANJA </p> <p>Osnovna uloga disanja je obezbeivanje kiseonika (O2), koji je tkivu potreban za metabolizam, i odstranjivanje iz tkiva sporednih produkata metabolizma poput ugljen-dioksida (CO2). Potpuna razmena gasova ostvaruje se pasivnom difuzijom kroz krv/gas barijeru izmeu kapilara i alveola. Za to je potrebno, u suaju promenjenih uslova optereenja, ouvati odgovarajui gradijent pritiska kroz ovu barijeru, to se postie promenom brzine kojom sve vazduh ulazi u alveole. </p> <p>Sl. 1 Blok dijagram modela </p> <p>kardiovaskularnog-respiratornog sistemaKao rezultat ove razmene, krv koja pulmonarnim venama naputa plua sadri visoku koncentraciju O2, a malu koncentraciju CO2. Suprotan proces razmene obavlja se u tkivima gde se pri aktivnostima metabolizma koristi O2 i kao sporedni produkt prozvodi CO2.</p> <p>Jedan od modela kojim se opisuje kardiovaskularni-respiratorni sistem oveka predstavljen je sistemom od diferencijalnih jednaina [2]-[4]. Kardiovaskularni model, kako je prikazano na sl. 1, sastoji se od dva serijski vezana kola (sistemskog i pulmonarnog) i dve pumpe (leva i desna komora). Jedan broj simbola u radu korienih veliina i parametara objanjen je u nastavku. Uoimo da se izdvajaju etiri glavne funkcionalne celine procesa disanja:</p> <p>1. Pluna ventilacija, pod kojom se podrazumeva strujanje vazduha izmeu atmosfere i plunih alveola u oba smera;</p> <p>2. Difuzija O2 i CO2 izmeu alveola i krvi;</p> <p>3. Transport O2 i CO2 putem krvi i telesnih tenosti do elija i nazad;</p> <p>4. Regulacija ventilacije i drugi aspekti disanja.</p> <p>U ovom radu bie razmatrani procesi vezani za ventilaciju plua, to predstavlja osnovu za razmatranje ostalih respiratornih funkcija, kao i fiziologije odreenih poremeaja disanja [5].</p> <p>3. KRETANJE VAZDUHA U I IZ PLUA I PROCESI</p> <p> KOJI GA UZROKUJU</p> <p>Podsetimo da se plua mogu rastezati i skupljati na dva naina: ( sputanjem i podizanjem dijafragme, kada se produuje ili skrauje grudna upljina, i ( podizanjem i sputanjem rebara to poveava i smanjuje veliinu grudne upljine. Pod normalnim uslovima mirno disanje obavlja se, gotovo u potpunosti, pokretima dijafragme. U toku inspirijuma, u trajanju od 2 sekunde, kontrakcija dijafragme povlai donju povrinu plua nanie, kada 0.5 litara vazduha ue u plua. Ista ova koliina udahnutog vazduha napusti u ekspirijumu plua za 2 do 3 sekunde. Inae, plua su elastina struktura koja bi, u odsustvu sile koja ih dri u naduvanom stanju, kao vazduni balon kolabirala i izbacila sav vazduh kroz dunik. Kako izmeu plua i zidova grudnog koa, sem u podruju hilusa nema anatomskih spojeva, plua, okruena samo tankim slojem pleuralne tenosti "plutaju" u grudnoj duplji. </p> <p>Pleuralni pritisak je pritisak tenosti u uzanom prostoru koji se nalazi izmeu plune pleure i pleure grudnog koa i on je neznatno negativan u odnosu na atmosferski pritisak, tj. varira od do vodenog stuba.</p> <p>Alveolarni pritisak je pritisak koji postoji unutar plunih alveola. Kada je glotis otvoren i nema protoka vazduha u ili iz plua, pritisak u svim delovima respiratornog stabla (od ustiju do alveola na sl. 2) jednak je atmosferskom pritisku, to predstavlja referentni pritisak u vazdunim putevima i oznaava se sa vodenog stuba. U toku normalnog inspirijuma alveolarni pritisak se smanjuje na vodenog stuba, da bi se u toku epirijuma poveao na vodenog stuba. </p> <p>Kako se u fiziologiji disanja radi o smei gasova (uglavnom kiseonika, azota i ugljen-dioksida), veliina difuzije svakog od njih direktno je proporcionalna pritisku koji taj gas sam izaziva, a koji je oznaen kao parcijalni pritisak tog gasa.</p> <p>Brzinu alveolarne ventilacije podeava nervni sistem prema potrebama organizma, tako da se parcijalni pritisci kiseonika i ugljen-dioksida u arterijskoj krvi gotovo ne menjaju ak ni tokom tekog fizikog rada ili nekog drugog respiratornog stresa. Respiratorni centar sastoji se od nekoliko grupa neurona smetenih bilateralno u produenoj modini i ponsu. </p> <p>Sl. 2 Disajni putevi</p> <p>Krajnji cilj disanja je odravanje tkivnih koncentracija O2, CO2 i jona vodonika H+ na odgovarajuim vrednostima. Viak CO2 ili jona H+ u krvi uglavnom deluje direktno na sam respiratorni centar u produenoj modini.4. MATEMATIKO MODELIRANJE</p> <p> RESPIRATORNOG SISTEMAA. Generalisane osobine sistema</p> <p>Dobro je poznato da je formiranje strukturnog ili gray-box modela proizvoljnog sistema zasnovan na korienju matematikih izraza kojima se opisuju tri generalisane osobine sistema [1]:</p> <p>1) osobina otpornosti , (1)2) osobina skladitenja , (2)3) osobina inertnosti . (3)</p> <p>U prethodnim relacijama su sa i redom oznaene dve promenljive (generalisana pobuda i generalisani protok) i tri parametra (generalisana otpornost, generalisana komplijansa ili popustljivost, odnosno rastegljivost i generalisana induktansa). </p> <p>U relaciji (1) prepoznajemo generalisani Ohmov zakon (- napon i - struja), odnosno Poiseuille zakon kojim se definie da je protok fluida kroz rigidnu cev proporcionalan razlici pritisaka na krajevima cevi (sl. 3a). Pri tome je hidrodinamika otpornost fluida </p> <p> EMBED Equation.DSMT4 direktno proporcionalna viskoznosti fluida i duini cevi, a obrnuto proporcionalna njenom poprenom preseku.</p> <p>U elektrinim sistemima putem osobine skladitenja (2) uvodi se pojam kapacitivnosti koja se definie kao koliina naelektrisanja uskladitena u kondenzatoru po jedininom naponu koji je uspostavljen na njegovim krajevima. Osobina memorisanja svodi se na komplijansu recimo opruge kod mehanikih sistema ili balona ispunjenog fluidom kao na sl.3b. U sluaju ovakvog fluidnog sistema komplijansa </p> <p> EMBED Equation.DSMT4 definie zapreminu za koju se balon proiri ili kontrahuje pri jedininoj promeni primenjenog pritiska . Elastinost materijala od kog je balon napravljen prvenstveno utie na njegovu komplijansu (krui materijal manja komplijansa balona i obrnuto).</p> <p>Dakle, element skladitenja doputa akumulaciju statike, odnosno potencijalne energije.</p> <p>a.</p> <p> b.</p> <p>Sl. 3 "Otpornost" i "kapacitivnost" u fluidnim sistemimaTrea osobina inertnosti vezana je za skladitenje kinetike energije, pa u relaciji (3) prepoznajemo generalisani Newtonov zakon. Podsetimo da pored induktivnosti prigunice kod elektrinih, mase i momenta inercije tela kod mehanikih sistema, ne postoji parametar analognog elementa kod termikih i hemijskih sistema, budui da u njima nije mogue skladitenje kinetike energije. </p> <p>B. Uproeni linearni model mehanike plune ventilacije</p> <p>Za modeliranje plune ventilacije formirana je analogna elektrina mrea koja je data na sl. 4. Uobiajeno je da se disajni putevi dele u dve kategorije: prvi su dui (centralni), a drugi krai (periferni), koji se redom karakteriu mehanikim otpornostima i . Budui da se i upljina grudnog koa poveava saglasno alveolarnoj ventilaciji, tj. koliini sveeg vazduha koji stie u alveole gde se vri razmena gasova, to je u elektrinoj emi na sl. 4 prikazano serijskom vezom komplijansi plua i zida grugnog koa . </p> <p>Deo udahnutog vazduha u toku udisaja, meutim, uopte ne stigne do podruja gde se obavlja razmena gasova, ve ispuni disajne puteve (nos, farinks i traheje) u prostoru koji je u literaturi poznat kao anatomski mrtav prostor [5]. Ovaj prostor kod mladog odraslog mukarca zauzima zapreminu od oko . U izvesnim sluajevima, neke alveole samo delimino ili uopte ne mogu obavljati svoju funkciju, budui da krv oskudno ili uopte ne protie kroz kapilare u tom podruju plua. Ako anatomski mrtvom prostoru dodamo alveolarni mrtav prostor, dobija se fizioloki mrtav prostor, odnosno svojevrsni fizioloki ant. Tako u sluaju bolesti koja dovodi do opstrukcije perifernih disajnih puteva (kada raste) ili uveavanja krutosti plua, odnosno zida grudnog koa (kada se smanjuje vrednost ili ), fizioloki mrtav prostor moe da poprimi ak 10 puta veu vrednost od anatomski mtrvog prostora. Otuda je u analognoj elektrinoj mrei na sl. 4 komplijansa anta u paralelnoj vezi sa i . </p> <p>Sl. 4 Analogno elektrino kolo respiratorne mehanike</p> <p>Definiimo pritiske na razliitim mestima u uproenom linearizovanom modelu plua i to: na ulazu disajnog puta, na centralnom disajnom putu, u alveoli i u pleuralnom prostoru. Ovi pritisci definiu se u odnosu na ambijentalni pritisak koji se obino postavlja na nultu vrednost. Pretpostavimo da je protok vazduha na ulazu respiratornog sistema i da je potrebno odrediti matematiku relaciju izmeu i . </p> <p>Jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje razmatranog sistema imaju oblik</p> <p> , (4)</p> <p>i </p> <p>, (5)</p> <p>odakle se eliminacijom dobija:</p> <p>(6)</p> <p>gde je </p> <p> .(7)</p> <p>Pretpostavimo da su pacijentova plua relativno normalne mehanike sa sledeim pulmonarnim parametrima:</p> <p>, ,</p> <p>, </p> <p>i . </p> <p>Primetimo da popustljivost (komplijansa) respiratornog sistema u celini (plua i grudni ko zajedno) mogu se izmeriti na taj nain to bi se osoba prethodnim tretmanom potpuno relaksirala ili paralizovala. Naime, odreena koliina vazduha na mahove se ubacuje u plua pod pozitivnim pritiskom, a zatim se mere pritisak i volumen u pluima [5]. Utvreno je da je pri ventilaciji respiratornog sistema u celini potrebno oko dva puta vie pritiska, nego pri ventilaciji plua koja su izdvojena iz grudnog koa. Popustljivost samih plua je dakle volumena za svaku promenu od pritiska vodenog stuba. </p> <p>Za funkciju prenosa napred izvedenog linearnog modela dobijamo</p> <p> .(8)</p> <p>Sl. 5 Rezultati jednostavne simulacije</p> <p>a. udisaja u minuti; b. udisaja u minuti</p> <p>Pretpostavimo da na ulazu deluje sinusoidalni signal amplitude i krune uestanosti , to odgovara uestanosti od ili udisaja u minuti. Dakle, moe se pretpostaviti da u realnom eksperimentu odgovarajui ventilator generie sinusoidalni signal ija uestanost aproksimativno odgovara normalnoj uestanosti disanja oveka koji se odmara. Pri ovoj relativno niskoj uestanosti, talasni oblik zapremine je gotovo u fazi sa , dok protok vazduha pokazuje znaajni pozitivan fazni pomak u odnosu na , kao to je to dato na sl. 5a. To znai da na tako niskim uestanostima u mehanici plua dominira efekat komplijanse. Peak-to-peak promena zapremine (tzv. plimska zapremina) je aproksimativno , dok je maksimalni protok priblino . Kada bi se uestanost ventilatora etiri puta poveala, recimo na udisaja u minuti bez promene amplitude pobude, jasno je da bi se uveala i maksimalna vrednost protoka (do , kako se uoava na sl. 6), dok bi se plimska zapremina smanjila (na ). Uoimo na sl. 5b da je pod ovim uslovima protok jo vie u fazi sa , dok do promene zapremine dolazi sa znaajnijim kanjenjem. Dakle, zakljuujemo da na viim uestanostima poinje da dominira efekat otpornosti. </p> <p>Sl.6 Trajektorija u faznoj ravni pri udisaja u minuti</p> <p>Primenom opisane tehnike, koja je zasnovana na metodi prinudnih oscilacija, uoava se zavisnost pulmonarne otpornosti i komplijanse od uestanosti disanja, tako da na uestanostima viim od onih koje odgovaraju mirnom disanju oveka koji se odmara, plua postaju krua i pruaju manje otpora. </p> <p>Primetimo da bi, u cilju realnijeg modeliranja mehanike plua, trebalo razmotriti i uticaj inercije fluida u disajnim putevima, to se u razmatranoj analognoj elektrinoj emi na sl. 4 svodi na uvoenje induktivnog elementa. </p> <p>C. Razmena gasova u pluima</p> <p>Iako do razmene gasova dolazi u pluima, vaskulaturi i tkivu (kako je to prikazano na sl. 1), celishodno je u prvoj aproksimaciji razmotriti samo deavanja u pluima. Statike karakteristike izmenjivaa gasova mogu se dobiti na osnovu balansa masa za CO2 i O2, kako je to ematski prikazano na sl. 7a i...</p>