Parábola e Hipérbola - ?· eo-15 Proyecto Contenido • Definición de parábola. • Los elementos de la parábola. • Ecuación y propiedades de la parábola. • Construyendo una parábola

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    03-Feb-2018

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  • 17/07/2015 1

    Proyecto

    Tema 6

    sesin 3:

    Parbola e Hiprbola

    Geometra Analtica

    Isidro Huesca Zavaleta

  • Gal

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    -Co

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    15

    Proyecto

    Contenido Definicin de parbola.

    Los elementos de la parbola.

    Ecuacin y propiedades de la parbola.

    Construyendo una parbola.

    Ejemplos de aplicacin de la parbola.

    Definicin de hiprbola.

    Los elementos de la hiprbola.

    Ecuacin y propiedades de la hiprbola.

    Ejemplos de aplicacin de la hiprbola.

    Ejercicios a resolver.

  • Gal

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    Proyecto

    Video Parbola

    https://www.youtube.com/watch?v=UDgMlSlDSEw

    En la siguiente liga podrn encontrar un video en el que se traza una parbola pero por medio del doblado de papel, con lo que se muestra en l se puede dar una introduccin al tema.

    https://www.youtube.com/watch?v=UDgMlSlDSEw

  • Gal

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    Proyecto

    Definicin de parbola

    Una parbola es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano , es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

    Al punto fijo se le llama foco y a la recta directriz.

    Foco

    Directriz

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    Proyecto

    Los elementos de la parbola

    Foco ():

    Vrtice ():

    Directriz ():

    Eje ():

    Radio vector ():

    Lado recto ():

    Cuerda focal ():

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    Proyecto

    La ecuacin de una parbola de vrtice en el origen y eje el eje , es 2 = 4

    en donde el foco es el punto ( , 0) y la ecuacin de la directriz es = . Si > 0, la parbola se abre hacia la derecha; si < 0, la parbola se abre hacia la izquierda.

    Ecuacin y propiedades de la parbola

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    Proyecto

    Si el eje de una parbola coincide con el eje , y el vrtice est en el origen, su ecuacin es

    2 = 4 en donde el foco es el punto (0, ), y la ecuacin de la directriz es = . Si > 0, la parbola se abre hacia arriba; si < 0, la parbola se abre hacia abajo.

    Ecuacin y propiedades de la parbola

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    Proyecto

    Ecuacin y propiedades de la parbola

    La ecuacin de una parbola con vrtice (, ) y eje paralelo al eje , es de la forma

    2 = 4 Siendo || la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vrtice. Si > 0, la parbola se abre hacia la derecha; si < 0, la parbola se abre hacia la izquierda.

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    Proyecto

    Ecuacin y propiedades de la parbola

    Si el vrtice es el punto (, ) y el eje de la parbola es paralelo al eje , su ecuacin es de la forma

    2 = 4 Si > 0, la parbola se abre hacia arriba; si < 0, la parbola se abre hacia abajo.

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    Proyecto

    Ecuacin y propiedades de la parbola

    La normal a la parbola en un punto 1, 1 cualquiera de la parbola forma ngulos iguales con el radio vector y la recta que pasa por y es paralela al eje de la parbola, es decir, todos los rayos que llegar a la parbola de forma paralela al eje rebotan y van al foco, tambin los rayos que salen del foco rebotan en la parbola y salen de forma paralela al eje.

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    De acuerdo con la definicin de parbola construyamos una con foco el punto (2, 1) y directriz la recta = 2

    Graficamos la recta y el punto.

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Ahora trazamos una recta paralela a la directriz a 6 unidades de distancia, esta sera y = 4

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Trazamos una circunferencia con centro en el punto (2, 1) y radio = 6 (la distancia entre las rectas), as obtenemos dos puntos que estn a la misma distancia de la recta y el foco, estos puntos son: (3.2, 4) y (7.2, 4)

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Ahora trazamos una recta que este a 5 unidades de la directriz, esta puede ser = 3 y tambin una circunferencia con centro en el foco y radio 5, marcamos los puntos de interseccin, los cuales son: (2.58, 3) y (6.58, 3)

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Trazamos una recta que este a 4 unidades de la directriz, esta puede ser = 2 y tambin una circunferencia con centro en el foco y radio 4, marcamos los puntos de interseccin, los cuales son: (1.87, 2) y (5.87, 2)

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Trazamos una recta que este a 3 unidades de la directriz, esta puede ser = 1 y tambin una circunferencia con centro en el foco y radio 3, marcamos los puntos de interseccin, los cuales son: (1, 1) y (5, 1)

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Trazamos una recta que este a 2 unidades de la directriz, esta puede ser = 1 y tambin una circunferencia con centro en el foco y radio 2, marcamos los puntos de interseccin, los cuales son: (0.27, 0) y (3.73, 0)

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    Proyecto

    Construyendo una parbola

    Agregamos una parbola y la ajustamos para que pase por los puntos que hemos obtenido.

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    Proyecto

    Ejemplos de aplicacin de la parbola

    La parbola tiene un gran variedad de aplicaciones, por ejemplo:

    Diseo de espejos parablicos.

    Diseo de faros para automvil.

    La trayectoria de un proyectil.

    En la arquitectura, en arcos.

    Los cables de un puente colgante.

    Las antenas para la recepcin de seales.

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    Proyecto

    Video Hiprbola

    En la siguiente liga podrn encontrar un video en el que se traza una hiprbola pero por medio del doblado de papel, con lo que se muestra en l se puede dar una introduccin al tema.

    https://www.youtube.com/watch?v=Ag0ZYuEaWlc

    https://www.youtube.com/watch?v=Ag0ZYuEaWlc

  • Gal

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    Proyecto

    Definicin de hiprbola

    Una hiprbola es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

    = =

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    Proyecto

    Los elementos de la hiprbola

    Focos (, ): Son los puntos fijos.

    Eje Focal: Recta que pasa por los dos focos.

    Vrtices (, ): Interseccin del eje focal con las ramas de las hiprbola.

    Eje transverso: Segmento del eje focal comprendido entre los vrtices.

    Centro (): Puntos medio del eje transverso.

    Eje Normal: Rectas que pasa por y perpendicular al eje focal.

    Cuerda focal: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la hiprbola y que pasa por alguno de los focos.

    Lado recto: Cuerda focal perpendicular al eje focal.

    Dimetro: Cuerda que pasa por el centro.

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    Proyecto

    Ecuacin y propiedades de la hiprbola

    La ecuacin de la hiprbola de centro el origen, eje focal el eje , y focos los puntos (, 0) y (, 0), es

    2

    2

    2

    2= 1

    Si el eje focal coincide con el eje , de manera que las coordenadas de los focos sean (0, ) y (0, ), entonces la ecuacin es

    2

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    2

    2= 1

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    Proyecto

    La ecuacin de la hiprbola con centro en el punto (, ), eje focal paralelo al eje , es de la forma

    ( )2

    2

    ( )2

    2= 1

    Si el eje focal es paralelo al eje , entonces la ecuacin es ( )2

    2

    ( )2

    2= 1

    Ecuacin y propiedades de la hiprbola

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    Proyecto

    Ecuacin y propiedades de la hiprbola

    Las asntotas de la hiprbola con eje focal paralelo al eje , son

    =

    +

    =

    +

    Las asntotas de la hiprbola con eje focal paralelo al eje Y, son

    =

    +

    =

    +

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    Proyecto

    Ecuacin y propiedades de la hiprbola

    Para toda hiprbola, es la longitud del semieje transverso, la del semieje conjugado, la distancia del centro a cada foco, y , , estn ligados por le expresin

    2 = 2 + 2

    Tambin, para cada hiprbola, la longitud

    de cada uno de sus lados rectos es 22

    , y

    la