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    21-Oct-2015

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<ul><li><p> 1 </p><p>LAUREA QUINQUENNALE IN ARCHITETTURA INGEGNERIA </p><p>a.a. 2009-2010 </p><p>CORSO DI </p><p>TECNICA DELLE COSTRUZIONI </p><p>Prof. Roberto Capozucca </p><p>APPUNTI DI CALCOLO ELASTICO DELLE </p><p>PIASTRE SOTTILI </p><p>Generalit </p><p>E tradizione consolidata dei corsi di Tecnica delle Costruzione delle Facolt di </p><p>Ingegneria riprendere lanalisi dei continui elastici bidimensionali piastre e lastre </p><p>o quelli di a sviluppo spaziale gusci, per le numerose applicazioni che si </p><p>riscontrano nella pratica tecnica delle strutture in cemento armato, in acciaio o nelle </p><p>pi tradizionali strutture in muratura di edifici monumentali. </p><p>In quanto segue lattenzione sar rivolta alla teoria delle piastre sottili in </p><p>grado di mantenere un regime flessionale prevalente a quello membranale e costituite </p><p>di materiale isotropo. Il problema dellequilibrio elastico della piastra sottile viene </p><p>ricondotto alla soluzione di unequazione differenziale alle derivate parziali, </p><p>associata a particolari condizioni al contorno, in cui la superficie elastica </p><p>incognita. Soluzioni ancora efficaci per gli ingegneri strutturisti sono praticabili </p><p>mediante uno sviluppo in serie di funzioni che, per la rapida convergenza delle serie </p><p>adottate, permettono di determinare i valori degli spostamenti e sollecitazioni in </p><p>modo semplice ed utile per il controllo di soluzioni spesso onerose ottenibili con </p><p>codici di calcolo agli elementi finiti usualmente utilizzabili. </p><p>Si discutono le soluzioni con lo sviluppo in serie semplici ed in serie doppie. </p><p>Inoltre, come esempio applicativo, si controlla il comportamento di un modello </p><p>sperimentale di piastra quadrata in conglomerato cementizio rinforzato appoggiata su </p><p>tutti i lati sottoposta ad un carico distribuito su unarea quadrata limitata. </p></li><li><p> 2 </p><p>2 Propriet dei materiali e legge dellelasticit </p><p>Nello studio del continuo si considera che i materiali posseggano alcune </p><p>particolari propriet fisiche. In particolare, un materiale si definisce perfettamente </p><p>elastico se a seguito della rimozione del carico riassume completamente la forma </p><p>originaria. Matematicamente la propriet elastica descritta dalla legge di Hooke. </p><p>Un corpo che mostra lo stesso comportamento elastico in tutte le direzioni </p><p>chiamato isotropo. </p><p>Nel caso in cui il corpo possieda differenti propriet elastiche nelle due </p><p>direzioni ortogonali detto ortotropo. Lortotropia solo un caso particolare di </p><p>anisotropia. Nellanalisi delle strutture impiegate nellingegneria si distinguono due </p><p>tipologie di elementi ortotropi: lortotropia naturale, conseguente alle propriet </p><p>fisiche del materiale che differiscono lungo le varie direzioni, lortotropia </p><p>strutturale, che comprende gli elementi rinforzati per motivi di resistenza e stabilit, </p><p>come le piastre nervate. Le propriet elastiche variabili in questi casi possono essere </p><p>espresse dalle differenti rigidezze torsionali e flessionali nelle due direzioni. In </p><p>campo elastico questo secondo gruppo pu essere trattato con la stessa teoria </p><p>impiegata per le piastre ortotrope con qualche modifica. </p><p>Per la soluzione del problema della distribuzione delle tensioni e delle </p><p>deformazioni in un corpo isotropo, necessario utilizzare equazioni che tengano </p><p>conto delle stesse propriet nelle varie direzioni. </p><p>La relazione generale di elasticit esprimibile nel modo seguente </p><p> klijklij C (1) </p><p>Secondo la notazione di Voight: </p><p>333331</p><p>232221</p><p>131211</p><p>;;</p><p>;;;</p><p>;;;</p><p>zzyzx</p><p>yzxyx</p><p>xzxyx</p><p> (2) </p><p>Esplicitando una delle componenti di tensione (ad esempio x ), si ricava: </p><p> 31113123112322112221112113111312111211111111 CCCCCCCx </p><p> 331133321132 CC </p></li><li><p> 3 </p><p>In generale, ogni componente di tensione si scrive attraverso 9 costanti elastiche; </p><p>essendo 9 il numero delle componenti di tensione ( ij per i,j=1,3) si ottengono 81 </p><p>costanti elastiche. Poich risulta jiij e jiij , le componenti di tensione </p><p>indipendenti sono 6 e quindi le costanti della (3.1) diventano 36. L'equazione (3.1), </p><p>per le condizioni di elasticit di Green, richiede che sia verificata anche la seguente </p><p>condizione: </p><p> ))(())(( ijklklij CC (3) </p><p>Quindi le 36 costanti elastiche si riducono a 21. Se ci sono simmetrie del materiale, </p><p>le 21 costanti presenti nei legami possono essere ancora ridotte. </p><p>MATERIALE ANISOTROPO </p><p>L'equazione (3.3) pu essere scritta in forma matriciale esplicitando le 21 costanti: </p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>=</p><p>666564636261</p><p>565554535251</p><p>464544434241</p><p>363534333231</p><p>262524232221</p><p>161514131211</p><p>cccccc</p><p>cccccc</p><p>cccccc</p><p>cccccc</p><p>cccccc</p><p>cccccc</p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p> (4) </p><p>essendo le costanti ijc (i,j=1,6) legate alle costanti ijklC (i,j,k,l=1,3) dell'equazione </p><p>(1). Per esempio : </p><p>111111 Cc ; </p><p>112315 Cc ; </p><p>121244 Cc ; </p><p>. </p><p>MATERIALE ORTOTROPO </p><p>Un materiale ortotropo possiede una simmetria elastica rispetto a 3 assi </p><p>perpendicolari. Considerando le coordinate dei tre assi x,y,z perpendicolari a tre </p><p>piani di simmetria, si possono determinare alcune relazioni tra le costanti </p><p>dell'equazione (3.4). Si hanno quindi solo 9 costanti elastiche: </p></li><li><p> 4 </p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>=</p><p>66</p><p>55</p><p>44</p><p>33</p><p>2322</p><p>131211</p><p>00000</p><p>00000</p><p>00000</p><p>00000</p><p>0000</p><p>000</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>cc</p><p>ccc</p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p> (5) </p><p>Se si utilizzano le notazioni dei moduli elastici definiti ingegneristicamente si </p><p>perviene alla seguente forma dei legami elastici: </p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>=</p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>zy</p><p>yz</p><p>x</p><p>yz</p><p>z</p><p>zy</p><p>yx</p><p>xy</p><p>z</p><p>zx</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>G</p><p>G</p><p>G</p><p>EEE</p><p>EEE</p><p>EEE</p><p>100000</p><p>01</p><p>0000</p><p>001</p><p>000</p><p>0001</p><p>0001</p><p>0001</p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p> (6) </p><p>Sono inoltre presenti ulteriori legami: </p><p>;)21(</p><p>;)21(</p><p>;)21(</p><p>xzxz</p><p>xzzx</p><p>zyzy</p><p>zy</p><p>yz</p><p>yxyx</p><p>yx</p><p>xy</p><p>EE</p><p>EEG</p><p>EE</p><p>EEG</p><p>EE</p><p>EEG</p><p> (7) </p><p>in cui </p><p>zyx EEE ,, = moduli di Young nelle direzioni x,y,z; </p><p> zxyzxy GGG ,, = moduli di taglio per piani paralleli, rispettivamente, alle </p><p>coordinate x-y,y-z e z-x. (per esempio, il modulo di xyG caratterizza la deformazione </p><p>xy prodotta dalla tensione tangenziale xy ); </p></li><li><p> 5 </p><p>ij (i,j=x,y,z) = coefficienti di Poisson che caratterizzano la deformazione di </p><p>compressione nella direzione j (direzione dell'effetto) prodotta dalla tensione di </p><p>trazione nella direzione i ( direzione dello sforzo). </p><p>Per le condizioni di simmetria espresse dalle relazioni di Green, si ha inoltre: </p><p>zxxxzz</p><p>yzzzyy</p><p>xyyyxx</p><p>EE</p><p>EE</p><p>EE</p><p> (8) </p><p>L'equazione (6) contiene 12 costanti, ma soltanto 9 sono indipendenti essendo </p><p>valide le relazioni (8). </p><p>MATERIALE ISOTROPO </p><p>Lisotropia rappresenta la pi completa simmetria di comportamento e riconduce il </p><p>legame elastico lineare a 2 sole costanti indipendenti, per cui i legami costitutivi per </p><p>un materiale elastico lineare ed isotropo risultano in definitiva: </p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>=</p><p>G</p><p>G</p><p>G</p><p>EEE</p><p>EEE</p><p>EEE</p><p>100000</p><p>01</p><p>0000</p><p>001</p><p>000</p><p>0001</p><p>0001</p><p>0001</p><p>zx</p><p>yz</p><p>xy</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p> (9) </p></li><li><p> 6 </p><p>3 Legami costitutivi per piastre isotrope </p><p>Nel caso delle piastre isotrope, in cui il continuo elastico costituito da un </p><p>solido bidimensionale con riferimento xoy, le relazioni elastiche sono espresse nel </p><p>modo seguente: </p><p>G</p><p>EE</p><p>EE</p><p>xy</p><p>xy</p><p>yxy</p><p>yxx</p><p> (10) </p><p>essendo G il modulo di taglio esprimibile con </p><p> )1(2 </p><p>E</p><p>G (11) </p><p>Le deformazioni x e y sono state ottenute utilizzando il principio di </p><p>sovrapposizione degli effetti. Infatti, se si considera un elemento di piastra isotropa, </p><p>rappresentato in Fig. 3.1, con i lati paralleli agli assi coordinati e soggetta allazione </p><p>della tensione normale s x uniformemente distribuita sui due lati opposti, lampiezza </p><p>dellelongazione in direzione x data dallespressione: </p><p>E</p><p>xx</p><p> (12) </p><p>in cui E il modulo elastico per la piastra ortotropa in direzione x. </p><p>Lestensione dellelemento in direzione x accompagnata dalla contrazione </p><p>laterale in direzione y data dallespressione: </p><p> E</p><p>x (13) </p><p>in cui il rapporto di Poisson che rappresenta il coefficiente di contrazione in </p><p>direzione normale allasse delle x per sollecitazione in direzione x. </p><p>Analogamente, la tensione y produce due componenti di deformazione. Quindi se </p><p>agiscono contemporaneamente le tensioni normali x e y , si ottengono le relazioni </p><p>(10). </p></li><li><p> 7 </p><p>Fig. 1 - Effetto Poisson. </p><p>Le tensioni invece sono espresse dalle seguenti relazioni: </p><p>xyxy</p><p>xyy</p><p>yxx</p><p>G</p><p>E</p><p>E</p><p>)(1</p><p>)(1</p><p>2</p><p>2</p><p> (14) </p><p>La teoria di Lagrange </p><p>Si consideri lelemento piano di Fig. 2 e si assuma come sistema di riferimento </p><p>la terna 0, x y z con x ed y giacenti nel piano medio della piastra e z normale a </p><p>questo; siano u, v e w le componenti dello spostamento secondo i rispettivi assi di </p><p>riferimento. La struttura sia inoltre caricata da una distribuzione qualsiasi di forze </p><p>agenti parallelamente allasse z. </p><p>Considerato che il materiale sia perfettamente elastico, omogeneo, continuo e </p><p>segua la legge di Hooke, si supponga ancora che lo spessore t sia molto piccolo </p><p>rispetto alle dimensioni in pianta (circa 1/20 del lato minore). </p></li><li><p> 8 </p><p>Fig. 2 Schema della piastra. </p><p>Questultima condizione permette di formulare il problema elastico della </p><p>piastra nella forma sviluppata da Lagrange. </p><p>Tale teoria si basa sulle seguenti ipotesi fondamentali: </p><p>a) i segmenti rettilinei e normali al piano medio della piastra restano tali nella </p><p>configurazione deformata. Lipotesi, detta di Kirchoff, analoga a quella della </p><p>conservazione della sezione piana per la trave ed attendibile solo se lo spessore </p><p>t piccolo rispetto alle altre dimensioni, perch in questo caso trascurabile la </p><p>deformazione dovuta al taglio rispetto alle deformazioni provocate dai momenti </p><p>flettenti; </p><p>b) le componenti u e v dello spostamento dei punti appartenenti al piano medio della </p><p>piastra sono nulle, ci significa che le componenti di deformazione sx e sy si </p><p>suppongono nulle. Lipotesi giustificata solo se lo spessore t, pur trascurabile </p><p>rispetto alle dimensioni in pianta, non estremamente piccolo rispetto a queste: </p><p>la piastra deve essere sottile ma non troppo, altrimenti gli spostamenti w sono </p><p>paragonabili a t e viene chiamata in gioco anche la resistenza membranale della </p><p>piastra, con conseguente deformazione del piano medio; </p><p>c) La componente w dello spostamento in direzione normale al piano medio </p><p>indipendente dalla quota z ed quindi funzione solo di x ed y. </p><p> Secondo le ipotesi elencate, la configurazione deformata della piastra pertanto </p><p>definita quando nota la componente dello spostamento w(x,y) del piano medio della </p><p>piastra. </p></li><li><p> 9 </p><p>Fig. 3 - Deformazioni dell'elemento di piastra. </p><p>Infatti facendo riferimento alla Fig. 3, le componenti dello spostamento u e v </p><p>della fibra disposta alla quota z rispetto al piano medio della piastra, sono </p><p>rappresentate dalle relazioni seguenti: </p><p> x</p><p>wzu</p><p>y</p><p>wzv</p><p> (15) </p><p>E cos possibile esprimere le componenti di deformazione del generico </p><p>elementino della piastra in funzione dello spostamento w(x,y): </p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>z</p><p>w</p><p>y</p><p>wz</p><p>y</p><p>v</p><p>x</p><p>wz</p><p>x</p><p>u</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>0</p><p>22</p><p>y</p><p>w</p><p>z</p><p>v</p><p>x</p><p>w</p><p>z</p><p>u</p><p>yx</p><p>wz</p><p>x</p><p>v</p><p>y</p><p>u</p><p>yz</p><p>xz</p><p>xy</p><p> (16) </p><p>Per passare dalle componenti di deformazione (3.16) alle componenti di </p><p>tensione, in virt dellipotesi fatta sullo spessore della piastra, lecito porre: </p><p> 0z (17) </p><p>Infatti, indicando con p il carico sulla faccia superiore della piastra, il valore </p><p>della sz dovr variare fra i due estremi p per z = -t/2 e 0 per z = t/2; se la piastra </p><p>abbastanza sottile il valore di p e quindi della massima sz trascurabile rispetto ai </p><p>valori di sx , sy e txy dovuti alle caratteristiche flettenti e torcenti; la posizione (17) </p></li><li><p> 10 </p><p>risulta perci giustificata e le componenti di tensione (14) associate alle (16) </p><p>assumono la forma: </p><p>yx</p><p>wEzG</p><p>x</p><p>w</p><p>y</p><p>wEzE</p><p>y</p><p>w</p><p>x</p><p>wEzE</p><p>xyxy</p><p>xyy</p><p>yxx</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>1</p><p>1)(</p><p>1</p><p>1)(</p><p>1</p><p> (18) </p><p>E opportuno precisare che le tensioni txz e tyz , anche se le deformazioni gxz </p><p>e gyz sono considerate nulle, non possono essere uguali a zero. Infatti, considerando </p><p>che per lequilibrio alla traslazione nelle direzioni x ed y devono essere soddisfatte le </p><p>equazioni </p><p>0</p><p>0</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>yzyxy</p><p>xzxyx</p><p> (19) </p><p>sostituendo in esse le (18), si ricava: </p><p>wy</p><p>Ez</p><p>y</p><p>w</p><p>x</p><p>w</p><p>y</p><p>Ez</p><p>z</p><p>wx</p><p>Ez</p><p>y</p><p>w</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>Ez</p><p>z</p><p>yz</p><p>xz</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>11</p><p> (20) </p><p>con operatore matematico o laplaciano. </p><p>Integrando le (3.20) rispetto a z e ricordando che txz e tyz assumono valore nullo per </p><p>z = t/2, si ha infine: </p><p>wy</p><p>ztEz</p><p>wx</p><p>ztEz</p><p>yz</p><p>xz</p><p>281</p><p>281</p><p>22</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p> (21) </p><p>A meno che risulti w = cost, quindi evidente che le (21) sono diverse da </p><p>zero: la contraddizione, per il fatto che le gxz e gyz sono invece nulle, dipende </p></li><li><p> 11 </p><p>dallipotesi di conservazione dellelemento normale, che non consente di porre in </p><p>relazione queste tensioni con le corrispondenti componenti di deformazione. </p><p>In conclusione le tensioni (21) derivano da necessit di equilibrio, ma sono incapaci </p><p>di produrre alcuna deformazione: ci significa che la teoria di Lagrange fornisce </p><p>soluzioni equilibrate ma non perfettamente congruenti. </p><p>Dunque lo stato di tensione nellelemento, come illustrato nella Fig. 4, pu </p><p>essere rappresentato dalle sei componenti: </p><p>Fig. 4 - Tensioni agenti sulle sezioni della piastra </p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>w</p><p>y</p><p>wEz</p><p>y</p><p>w</p><p>x</p><p>wEz</p><p>wy</p><p>ztEz</p><p>wx</p><p>ztEz</p><p>yx</p><p>wEz</p><p>yz</p><p>xz</p><p>xy</p><p>281</p><p>281</p><p>1</p><p>22</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p> (22) </p></li><li><p> 12 </p><p>5 Equazione differenziale della piastra inflessa </p><p>Le uniche caratteristiche di sollecitazione non nulle, agenti sulle facce </p><p>dellelementino di piastra (Fig. 3.5), sono i momenti flettenti Mx e My, il momento </p><p>torcente Mxy e le forze di taglio Qx e Qy. </p><p>Fig. 5 - Sollecitazioni agenti sull'elementino. </p><p>Indicando con </p><p> )1(12 2</p><p>3</p><p>EtD (23) </p><p>la rigidezza flessionale della piastra, si ricavano per integrazione delle tensioni le </p><p>seguenti espressioni delle caratteristiche di sollecitazione: </p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>)1(12</p><p>)1(12</p><p>xyD</p><p>xy</p><p>EtdzzM</p><p>yxD</p><p>yx</p><p>EtdzzM</p><p>t</p><p>t</p><p>yy</p><p>t</p><p>t</p><p>xx</p></li><li><p> 13 </p><p>yxD</p><p>yx</p><p>EtdzzM</p><p>t</p><p>t</p><p>yxxy</p><p>2232</p><p>2</p><p>)1()1(12</p><p> (24) </p><p>wy</p><p>Dwy</p><p>EtdzzQ</p><p>wx</p><p>Dwx</p><p>EtdzzQ</p><p>t</p><p>t</p><p>yzy</p><p>t</p><p>t</p><p>xzx</p><p>)1(12</p><p>)1(12</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>Si osserva che le ultime due delle (24) si sarebbero potute ricavare direttamente </p><p>dalle prime tre, considerando lequilibrio globale dellelementino di piastra (Fig. 6). </p><p>Infatti scrivendo le condizioni di equilibrio alla rotazione intorno ai lati BC ed AB, si </p><p>ottiene: </p><p>y</p><p>M</p><p>x</p><p>MQ</p><p>y</p><p>M</p><p>x</p><p>MQ</p><p>yxy</p><p>y</p><p>xyxx</p><p> (25) </p><p>e sostituendo in queste le prime tre delle (24) si ricavano le ultime relazioni delle </p><p>(24). Invece per la condizione di equilibrio alla traslazione verticale dellelementino </p><p>di Fig. 3.6 si rileva </p><p> 0</p><p>p</p><p>y</p><p>Q</p><p>x</p><p>Q yx (26) </p></li><li><p> 14 </p><p>Si individua facilmente che le (25) e le (26) sono equivalenti alle relazion...</p></li></ul>