Principe Fondamental de la Fondamental de la Statique : P.F.S. page 3 / 4 Principe Fondamental de la…

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    15-Sep-2018

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<ul><li><p>Principe Fondamental de la Statique : P.F.S. page 1 / 4</p><p>Principe Fondamental de la Statique.doc</p><p>Pr incipe F ondamental de la S tat ique : P .F .S .</p><p>1. Enonc du P.F.S.1.1 Enonc qualitatif du P.F.S.Si un systme de solides est en quilibre, alors la somme des actions mcaniques extrieures cesolide ou ce systme est nulle. (ce qui n'est pas ncessairement rciproque )</p><p>Commentaires :</p><p> Solide ou systme de solides : un systme de solides est un ensemble de 1 plusieurs solides aumoins assembls deux deux (les pices d'un mcanisme).</p><p> quilibre : le solide nest pas en mouvement par rapport un systme Galilen (la terre pour nous,mcaniciens, le soleil pour les Martiens).</p><p> Actions mcaniques extrieures : qui dit extrieures, dit intrieures et dit forcement frontire entreles deux milieux : cest ce que lon va appeler la frontire disolement.</p><p>1.2 Bilan des actions mcaniques extrieurs.Isoler un solide consiste le sparer du reste du mcanisme afin deffectuer :</p><p>le bilan des actions mcaniques qui lui sont appliques par lextrieur</p><p>(ce sont celles qui "traversent la frontire)</p><p>Mthode utilisant un graphe des liaisons :</p><p> On ajoute au graphe des liaisons, les efforts extrieurs au mcanismes :des actionneurs (moteurs, vrins), des rcepteurs, des fluides, des solides dformables (ressorts) et desactions mcaniques distance.</p><p> On entoure le systme isol par une courbe reprsentant la frontire entre le systme et lextrieur.</p><p> Tous les traits coups symbolisent une action mcanique extrieure au systme.</p><p>Remarque importante : on nisole jamais le bti. En effet, ce dernier est obligatoirement li un autre bti qui napparat pas dans le graphe ; le bilan des efforts extrieurs n'aurait aucun sens.</p><p>1.3 Enonc quantitatif du P.F.S.La somme des torseurs modlisant les actions mcaniques extrieures au systme isol estgal au torseur nul.</p><p>{ ext systme } = { 0 }</p><p>Mathmatiquement, il faut que tous les torseurs soient crits au mme point (n'importe lequel, mais il fautfaire preuve de finesse pour choisir le bon).</p></li><li><p>Principe Fondamental de la Statique : P.F.S. page 2 / 4</p><p>Principe Fondamental de la Statique.doc</p><p>2. Les diffrentes manire dcrire le P.F.S.2.1 Rsolution analytique. Mthode fine.Parfois, il nest pas ncessaire dcrire les 6 quations pour rsoudre le problme : l ce seralexprience qui parlera :</p><p>La modlisation se fait d'abord vectoriellement, et les projections (produits scalaires) se font au derniermoment sur des vecteurs qui ne sont pas ncessairement orthonorms.</p><p>Exemple : criture du principe fondamentaleappliqu la rsultantes des actions mcaniques</p><p>extrieures (2,3) en projection sur u</p><p> Mthode vulgaire.</p><p>Lcriture des torseurs se fait en projetant les vecteurs sur une base (O, x ,y ,z ). Les torseurs sont donccrits de la manire suivante, ds la modlisation :</p><p>Conseil de mise en page verticale pour un solide soumis 2 actions mcaniques :</p><p>Bilan modlisation rduction au mme point.</p><p>AB = </p><p>a</p><p>bc</p><p>{3 2} = B</p><p>X3 2 LB, 3 2</p><p>Y3 2 MB, 3 2Z3 2 NB, 3 2</p><p>= A</p><p>X3 2 LA, 3 2</p><p>Y3 2 MA, 3 2Z3 2 NA, 3 2</p><p> avec MA,32 = </p><p>MB,32 + </p><p>AB ^ </p><p>R 32</p><p>AC = </p><p>d</p><p>ef</p><p>{4 2} = C</p><p>X4 2 LC, 4 2</p><p>Y4 2 MC, 4 2Z4 2 NC, 4 2</p><p>= A</p><p>X4 2 LA,4 2</p><p>Y4 2 MA, 4 2Z4 2 NA, 4 2</p><p>Ce qui fait un systme de six quations rsoudre : = A</p><p>0 0</p><p>0 00 0</p><p>Avantages :</p><p>ce type de rsolution permet de rsoudre tous les problmes qui ont une solution (elle est utilise dans leslogiciels de calcul). Cest une mthode systmatique facile mettre en uvre.</p><p>Inconvnients :</p><p>elle est lourde mathmatiquement, cause du systme.Elle impose une seule base orthonorme ce qui n'est pas forcment judicieux.La modlisation est parfois complique crire : utilisation de projections, sin, cos, etc.Il est dangereux de projeter ds la modlisation, sauf pour les problmes gomtriquement particuliers.</p><p> R </p><p>2,3 2 .u + </p><p>R </p><p>2,3 3.u = 0</p></li><li><p>Principe Fondamental de la Statique : P.F.S. page 3 / 4</p><p>Principe Fondamental de la Statique.doc</p><p>2.2 Expression graphique. Deux glisseurs.Si le solide est soumis deux actions mcaniques modlises par deux glisseurs, alors le P.F.S. scrit :</p><p>Les deux glisseurs ont mme support, sens opposs et mme norme.</p><p>Cest une configuration que lon retrouve quasi systmatiquement pour les bielles ( cf ci-dessous).</p><p> Trois glisseurs.</p><p> Trois glisseurs non parallles.</p><p>Si le solide est soumis trois actions mcaniques modlises par trois glisseurs non parallles, alors leP.F.S. scrit :</p><p>1. Les trois glisseurs ont leurs supportsconcourants (ils se coupent au mme point)</p><p>2. la somme vectoriel des trois rsultantes estnulle (le triangle form par ces troisvecteurs est ferm).</p><p> Trois glisseurs parallles.</p><p>Si deux des glisseurs sont parallles, le troisimes est ncessairement parallle ; il n'y a donc pas de pointde concourrance. Donc, retour une mthode analytique (rsultat simple : bras de levier).</p><p>2.3 Problme plan.Les systmes qui ont fait lobjet dune modlisation cinmatique plane, se prtent une rsolution plane(utile pour les rsolutions graphiques, mais pas seulement).</p><p>Dans un problme dit plan dans (x ,y ) les rsultantes sont projetes sur le plan (x ,y ) et les moments sont projets sur laxe z . Les coordonnes des points sont seulement cris dans le plan (x ,y ).</p><p>En criture analytique, une tude plane donne :</p><p>AB = </p><p>a</p><p>b</p><p>{3 2} = </p><p>B</p><p>X3 2 </p><p>Y3 2 NB, 3 2</p><p>= </p><p>A</p><p>X3 2 </p><p>Y3 2 NA, 3 2</p><p>Attention : les grandeurs noircies, ne sont pas des zros (mme si on fait comme si..). Ce sont desvaleurs inconnues dont on ne tient pas compte, qui ne se sont pas ncessaires et que lon ne calcule pas.</p><p> Exemple essentiel de la liaison pivot ou liaison pivot glissant daxe perpendiculaire au plandtude.</p><p>Laction mcanique transmissible par cette liaison nest plus quun glisseurappartenant au plan dtude. Cette proprit est trs importante pour la rsolutiongraphique.</p><p> Exemple essentiel de bielle en liaison par deux pivot ( connatre par cur)</p><p>A</p><p>B</p><p>CI</p><p>Il ne reste plus que 3quations scalaires</p></li><li><p>Principe Fondamental de la Statique : P.F.S. page 4 / 4</p><p>Principe Fondamental de la Statique.doc</p><p>3. Thorme des actions mutuelles.Si jappuie sur la pointe dune punaise, jai mal au doigt.Ce qui veut dire quelle appuie aussi sur moi...</p><p>Cest un thorme : il se dmontre partir du P.F.S. :{1 2} = -{2 1}</p><p>4. Autres configurations dcriture du P.F.S.Le P.F.S. est en fait issu du Principe Fondamental de la Dynamique qui dit (voir 2 anne) :</p><p> Lorsque le systme est en quilibre, lacclration du solide est nulle : on crit le P.F.S. Or, il existe dautres configurations pour lesquelles lacclration du solide est nulle : dans ces cas</p><p>l, il est possible aussi dcrire le P.F.S. Ces configurations sont :</p><p> Mouvement de translation rectiligne uniforme</p><p> Mouvement de rotation daxe fixe autour de laxe principal dinertie (axe passant par lecentre dinertie)</p><p> Il existe aussi des configuration pour lesquelles lacclration du solide est ngligeable devant lesactions mcaniques.</p><p> Si les mouvement sont relativement lent, on peut considrer le systme quasi-statique.</p><p>5. Quelques rgles pour rsoudre un problme de statique.1. Lire et comprendre les donnes : quest-ce qui est connu, quest-ce quil ne lest pas ? Hypothses ?</p><p>2. quelles actions mcaniques cherche-t-on ?</p><p>3. En dduire le systme isoler (ou la suite disolements effectuer) pour faire apparatre, si possible,les actions mcaniques recherches, et celles que l'on connat dj (les donnes). Si on fait apparatredes inconnues non-recherches (ce qui est parfois ncessaire cf exos), il faudra les dterminer pourrsoudre le problme en effectuant un (ou des) autre(s) isolement(s).</p><p>On est souvent amen procder plusieurs isolements</p><p>4. Isoler le systme et procder un recensement prcis et soign des actions mcaniques extrieures ausystme (un bilan).</p><p>5. Modliser les actions mcaniques en fonctions des hypothses par des torseurs.</p><p>6. Appliquer le P.F.S. et rsoudre.</p><p>Selon les rsultats du bilan et de la modlisation, la rsolution se fera analytiquement ou graphiquement.</p><p>La somme des actions mcaniquesappliques un systme de solide lacclration du systme de solidesest gale </p></li></ul>

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