Probabilidad, Distribucion Normal y Binomial

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    22-Mar-2016

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Una edicion especial de su Revista Probabilidades donde es especialmente dedicada al Matematico Girolamo Cardamo. A su vez se presentan concepto de probabilidad, y distribucion. Por supuesto lo mas importante la solucion de los ejercicios propuesto por la tutora.

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<ul><li><p>REVISTA TU PROBABILIDAD </p><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>Publicidad </p><p>Conceptos </p><p>Bsicos </p><p>Pasatiempos </p><p>Conclusiones </p><p>Ejercicios </p><p>Propuestos </p></li><li><p>La Teora de Probabilidades es actualmente una rama </p><p>muy desarrollada de las Matemticas. Los primeros </p><p>matemticos que se ocuparon de estudiar algunas leyes </p><p>que gobiernan los sucesos azarosos o aleatorios </p><p>(sucesos como el lanzamiento de dados, cuyo resultado </p><p>no es predecible con exactitud), lo hicieron motivados </p><p>por la prctica de juegos de azar. Entre los ms </p><p>importantes matemticos que iniciaron el estudio de la </p><p>Teora de Probabilidades estn Cardano (s.XVI, Italia), </p><p>Fermat y Pascal (s.XVII,Francia). </p><p>PROBALIDIAD Y ESTADISTICA </p><p>Cuando se realiza un experimento aleatorio, como el </p><p>lanzamiento de una moneda al aire, para luego </p><p>observar cul superficie muestra la moneda al caer al </p><p>suelo, se deben precisar ciertas caractersticas del </p><p>experimento, si se desea aplicar la Teora de </p><p>Probabilidades a su estudio. La primera de estas </p><p>caractersticas que debe conocerse es el conjunto de </p><p>todos los resultados posibles. Este conjunto se llama </p><p>``Espacio Muestral'', y en el caso del lanzamiento de la </p><p>moneda, est constituido por dos resultados: cara y </p><p>sello. Si se tratase del experimento de lanzar un dado </p><p>para observar el nmero obtenido, el espacio muestral </p><p>sera: </p><p>CONCEPTOS BASICOS </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p><p>Gerolamo Cardano Matemtico (1501 Pava, ducado de Miln, 1576 Roma, actual Italia) Cardano naci el 24 de septiembre de 1501 en Pava, ducado de Miln y muri en Roma el 21 de septiembre de 1576. Fue hijo ilegtimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Gerolamo una vez acabados sus estudios intent ejercer medicina en su Miln natal, pero debido a su mala reputacin fue rechazado continuamente por el colegio de mdicos. Mientras estuvo inhabilitado para ejercer la medicina, Cardano, en 1533, volvi al juego para poder subsistir, pero te fue tan mal que tuvo que empear las joyas de su esposa Luca, con quien se haba casado en 1531. En 1539, Cardano public sus dos primeros libros. Uno de ellos fue La prctica de Aritmtica y las mediciones simples. Este fue el comienzo de una prolfica carrera literaria sobre Medicina, Filosofa, Astronoma, Teologa, adems de Matemtica. Cardano fue un ardiente astrlogo, llevaba amuletos y predeca el futuro durante las tormentas. Tambin escribi sobre el juego. Enfermo, en 1565 Ferrari regresa a Bolonia para ensear Matemtica. All es envenenado con arsnico por su propia hermana. En 1570 fue encarcelado por hereja por realizar el horscopo de Jess y por escribir el libro "En homenaje a Nern", el odiado emperador anticristiano. Sorprendentemente, sali de prisin poco despus y se traslad a Roma como astrlogo de la corte papal. Tambin public Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aprovech su experiencia como jugador y una autobiografa extremadamente franca, De propria vita, que adquiri cierta fama. Hay una leyenda que mantiene que mediante la astrologa predijo el da de su muerte, el 20 de septiembre de 1576, y que se suicid para hacer correcta la prediccin. Pero Cardano ha pasado a la historia porque se apropi de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solucin de la ecuacin cbica y curtica, publicndolos antes que ellos. </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p><p>Teora </p><p>Teora de la probabilidad </p><p>La probabilidad constituye un importante parmetro en la </p><p>determinacin de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadstico. </p><p>Existen diversas formas como mtodo abstracto, como la teora </p><p>Dempster-Shafer y la teora de la relatividad numrica, esta ltima con un alto grado de aceptacin si se toma en cuenta que disminuye </p><p>considerablemente las posibilidades hasta un nivel mnimo ya que </p><p>somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad. </p><p>La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en trminos de una fraccin y no en porcentajes, por lo que el valor de </p><p>p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra </p><p>q </p><p>Los tres mtodos para calcular las probabilidades son la regla de la </p><p>adicin, la regla de la multiplicacin y la distribucin binomial. </p><p>Regla de la adicin </p><p>La regla de la adicin o regla de la suma establece que la </p><p>probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos </p><p>son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al </p><p>mismo tiempo. </p><p>P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente </p><p>excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) si A y B son no excluyentes. </p><p>Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de </p><p>ocurrencia simultnea de los eventos A y B. </p><p>Regla de la multiplicacin </p><p>La regla de la multiplicacin establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos estadsticamente independientes es </p><p>igual al producto de sus probabilidades individuales. </p><p>P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p> EJERCICIO 1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles </p><p>respuestas cada una, de las que slo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se haba preparado la materia Responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la Probabilidad de que acierte 4 o ms preguntas. </p><p> Datos: </p><p>P= (x=k) = n pk q n-k </p><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p><p>Distribucin binomial </p><p>La probabilidad de ocurrencia de una combinacin </p><p>especfica de eventos independientes y mutuamente </p><p>excluyentes se determina con la distribucin binomial, </p><p>que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales </p><p>como masculino/femenino o si/no. </p><p>1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observacin. </p><p>2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. </p><p>3. La probabilidad de xito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario. </p><p>Para aplicar esta distribucin al clculo de la </p><p>probabilidad de obtener un nmero dado de xitos en </p><p>una serie de experimentos en un proceso de </p><p>Bermnoulli, se requieren tres valores: el nmero </p><p>designado de xitos (m), el nmero de ensayos y </p><p>observaciones (n); y la probabilidad de xito en cada </p><p>ensayo (p). </p><p>Entonces la probabilidad de que ocurran m </p><p>xitos en un experimento de n ensayos es: </p><p>P (x = m) = (nCm)(Pm)(1P)nm </p><p>Siendo: nCm el nmero total de combinaciones </p><p>posibles de m elementos en un conjunto de n </p><p>elementos. </p><p>En otras palabras P(x = m) = </p><p>[n!/(m!(nm)!)](pm)(1p)nm </p><p>Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la </p><p>asignatura Clculo de Probabilidades es de 0,15. Si en </p><p>un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos Cul es </p><p>la probabilidad de que aprueben 10 de ellos? </p><p>P(x = 10) = 15C10(0,15)10</p><p>(0,85)5 = </p><p>15!/(10!(1510)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 106 Generalmente existe un inters en la probabilidad </p><p>acumulada de "m o ms " xitos o "m o menos" xitos </p><p>en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta </p><p>que: P(x &lt; m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = </p><p>3) +....+ P(x = m 1) P(x &gt; m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) </p><p>+....+ P(x = n) </p><p>P(x m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m) </p><p>Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben: a. al menos 5 b. ms de 12 a. la probabilidad de que aprueben al menos 5 es: P(x 5) es decir, que: 1 - P(x &lt; 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] = 1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618 Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinnimas. </p></li><li><p>n=5 q=1-p </p><p>p=0,4 q=1-0,4 </p><p>q= 0,6 q=0,6 </p><p>k=3 </p><p>2. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces. Datos: </p><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p><p>Distribucin Normal </p><p>Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones </p><p>estadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin, </p><p>justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos </p><p>fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta </p><p>distribucin. </p><p>Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de </p><p>densidad cuya grfica tiene forma de campana. </p><p>En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo </p><p>B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se </p><p>ve que sus polgonos de frecuencias se aproximan a una curva en </p><p>"forma de campana". </p><p>En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe </p><p>principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos </p><p>naturales que siguen el modelo de la normal. </p><p> Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,) de una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, dimetros, </p><p>permetros Caracteres fisiolgicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un </p><p>frmaco, o de una misma cantidad de abono. </p><p> Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un </p><p>mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. </p><p> Caracteres psicolgicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de </p><p>adaptacin a un medio Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. </p><p> Valores estadsticos maestrales, por ejemplo: la media. </p><p> Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son </p><p>aproximaciones normales </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p><p>Funcin De Densidad </p><p>Empleando clculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la funcin de </p><p>densidad que corresponde a tales distribuciones viene dando por la frmula </p></li><li><p>Tipo Binomial </p><p>n= 100 q=0,75 </p><p>p= 0,25 </p><p>B (100;0,25) </p><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p><p>La Distribucin Binomial </p><p>Funciones de probabilidad: </p><p>Llamamos funcin d probabilidad f a la aplicacin de E(X) (Espacio Muestral) en el </p><p>intervalo [0,1] QUE VERIFICA: </p><p>f(A)= p (A) </p><p>Bsicamente se trata de estudiar la probabilidad como una funcin utilizando para su </p><p>estudio todas las propiedades de las funciones. </p><p>La Distribucion Binomial: </p><p>Llamamos experiencia aleatoria dicotmica a aquella que solo puede tener dos posibles </p><p>resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de xito, adems representaremos como </p><p>p= p(A) y q=1-p=p(A). A la funcin de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el nmero de </p><p>xitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotmica con probabilidad de xito p la </p><p>llamamos distribucin binomial y la representamos por B (n, p) </p><p>Para esta distribucin se verifica que, la variable X puede tomar los valores: </p><p>0,1,2,, n y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad: </p><p>p( X = r ) = (nr) pr (1 p) n-r </p><p>Parmetros de una distribucin binomial: </p><p>Esperanza: n p </p><p>Desviacin tpica (n p q )0.5 ( raz cuadrada) </p><p>Ajuste de una serie de datos a una distribucin binomial: </p><p>Disponemos de una serie de k datos que toman los valores 0,1, ,n. Para saber si estos datos siguen pueden aproximarse por una distribucin binomial: </p><p>Calculamos la media de los k datos y la igualamos a la Esperanza terica de la Binomial (n </p><p> p). </p><p>Despejamos de aqu el valor de p. </p><p>Calculamos los valores tericos de p(X = r), multiplicndolos por k para obtener los valores </p><p>tericos de cada posible valor de la variable aleatoria en series de k datos. </p><p>Si la diferencia es " suficientemente pequea " aceptamos como buena la aproximacin </p><p>Binomial, si no, la rechazamos. </p><p>(nota: la fundamentacin estadstica que nos permitira decidir de manera objetiva si la </p><p>diferencia entre los datos tericos y los reales es "suficientemente pequea" escapa de los </p><p>objetivos de esta unidad didctica, con lo cual la decisin se deber tomar de manera </p><p>subjetiva) </p></li><li><p>Si su puntuacin ha sido 9 est una desviacin tpica por encima de la media. Si su puntuacin ha sido 8,es 2: </p><p>1,5=1,3,desviaciones tpicas superior a la media, por lo tanto su puntuacin relativa ha sido mejor en la Empresa B </p><p>EMPRESA A </p><p>EMPRESA B </p><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>4 3 2 1 1 2 3 4 </p><p>0 </p><p>X1 X2 </p><p>0,20 0,20 </p><p>Hallar X1 y X2 t= 25 =100 </p><p>Infradotados los de menos de 79 puntos Superdotados los mas de 121 puntos </p><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li><li><p>Elaborado por Yulimar Cedeo Tutor: Maria Paredes </p></li></ul>