Probabilidade e a Exercicios Com Gabarito

  • Published on
    05-Jul-2015

  • View
    904

  • Download
    5

Embed Size (px)

Transcript

<p>DepartamentodeMatematicaSeccaodeEstatsticaeAplicacoesProbabilidadeseEstatsticaEXERCICIOSEdicao de Fevereiro de 2007FormularioP(X= x) =</p> <p>nx</p> <p>px(1 p)nxP(X= x) =exx!P(X= x) = p(1 p)x1x = 0, 1, . . . , n x = 0, 1, . . . x = 1, 2, . . .E(X) = np V ar(X) = np(1 p) E(X) = V ar(X) = E(X) =1pV ar(X) =(1 p)p2P(X= x) =</p> <p>Mx</p> <p>N Mn x</p> <p>Nn</p> <p>fX(x) =1b a,a x bx = max {0, n N+ M} , . . . , min {n, M} E(X) =b + a2V ar(X) =(b a)212E(X) = nMNV ar(X) = nMNN MNN nN 1fX(x) =122exp</p> <p>(x )222,x IR fX(x) = ex,x 0E(X) = V ar(X) = 2E(X) =1V ar(X) =12X /n N(0, 1)X S/n t(n1)</p> <p>X1X2</p> <p>(12)</p> <p>21n1+22n2 N(0, 1)X S/na N(0, 1) S2=1n 1ni=1</p> <p>XiX</p> <p>2</p> <p>X1X2</p> <p>(12)</p> <p>S21n1+S22n2a N(0, 1)</p> <p>X1X2</p> <p>(12)</p> <p>(n11)S21+(n21)S22n1+n22</p> <p>1n1+1n2</p> <p> t(n1+n22)(n 1)S22 2(n1)ki=1(OiEi)2Eia 2(k1)ri=1sj=1(OijEij)2Eija 2(r1)(s1)Yi = 0 + 1xi + i0=Y 1 x1=ni=1xiYin xYni=1x2i n x2 2=1n 2ni=1</p> <p>YiYi</p> <p>2,Yi =0 +1xi 2=1n 2ni=1Y2inY2</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>ni=1x2i n x200</p> <p>1n+x2x2in x2</p> <p> 2 t(n2)11</p> <p> 2x2in x2 t(n2)</p> <p>0 +1x0</p> <p>(0 + 1x0)</p> <p>1n+( xx0)2x2in x2</p> <p> 2 t(n2)R2=</p> <p>ni=1xiYin xY</p> <p>2</p> <p>ni=1x2i n x2</p> <p>ni=1Y2inY2</p> <p>Captulo1Estatsticadescritiva1.1Umaescolaavaliaoseucursoatravesdeumquestionariocom50perguntassobrediversosaspectosdeinteresse. Cadaperguntatemumarespostanumaescalade1a5, ondeamaiornotasignicamelhordesempenho. Paracadaalunoeentaoencontradaanotamedia. Na ultimaavaliacaorecorreu-seaumaamostrade42alunos,eosresultadosestaoembaixo.4.2 2.7 4.6 2.5 3.3 4.74.0 2.4 3.9 1.2 4.1 4.03.1 2.4 3.8 3.8 1.8 4.52.7 2.2 3.7 2.2 4.4 2.82.3 1.9 3.6 3.9 2.3 3.43.3 1.8 3.5 4.1 2.2 3.04.1 3.4 3.2 2.2 3.0 2.8(a) Proceda`aorganizacaodosdadosconstruindoumquadrodefrequenciasondegurem as frequencias absolutas, absolutas acumuladas e relativas acumuladas.(b) Desenheorespectivohistograma.(c) Identiqueasclassesmodalemediana.(d) Calcule a media e o desvio padrao usando os dados agrupados e tambem usandoosdadosnaoagrupados. Compareosresultados.(e) Calculeamedianaeos1oe3oquartis.1.2Num estudo para analisar a capacidade de germinacao de certo tipo de cereal foramsemeadas cincosementes emcadaumdos vasos dumconjuntode vasos iguais,contendoomesmotipodesolo, eregistou-seon umerodesementesgerminadas.Obtiveram-seosseguintesresultados:nodesementesgerminadasporvaso 0 1 2 3 4 5nodevasos 16 32 89 137 98 25(a) Calculeamedia,amedianaeamodadon umerodesementesgerminadas.(b) Representegracamenteosresultados.(c) Calculeaproporcaodevasoscommaisdetressementesgerminadas. (Teste26Jan1995)11.3Realizou-seumaexperienciacomumaperfuradorahidraulicaamdeconhecerasuacapacidade de perfuracaoemestruturas rochosas. Paratal foi observadaaprofundidade (empolegadas) de perfuracaoem 10 locais,cujos dados seencontramabaixo:10.6 10.7 10.1 10.9 10.810.2 11.0 10.3 10.5 10.9Apresente tres medidas de localizacaoe de dispersaoparaos dados observados,interpretando-asesugerindoqualamelhor, dentrodecadaumdosgruposdeme-didas.1.4Asnotasnaisobtidasem3turmasnadisciplinadeProbabilidadeseEstatsticaforamasseguintes:Turma 1 2 3noalunos 30 35 40media 13 10 9desviopadrao 2 2.2 2.1(a) Calculeamediaeodesviopadraodasnotasobtidasnoconjuntodetodososalunos.(b) No nal o professor entendeu alterar linearmente as notas de forma que a mediaeodesviopadraodasnotasdetodososalunosfossem12e2respectivamente.Sabendoqueumalunodaturma1obteve10valores, calculeasuanotananovaescalaadoptadapeloprofessor. (Exame23Jun1992)1.5Odepartamentodepessoal deumacertarmafezumlevantamentodossalariosdos 120 funcionarios do sector administrativo, tendo obtido os seguintes resultados.FaixasalarialFrequenciaRelativa[0, 2] 0.25]2, 4] 0.40]4, 6] 0.20]6, 10] 0.15(a) Esboceohistogramacorrespondente.(b) Calculeaproximadamenteamedia,avarianciaeodesviopadraodossalarios.(c) Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionarios, havera alteracaonamediadossalarios?Enavarianciadossalarios?Justique.(d) Responda`aquestaoanteriorparaocasodeserconcedidoumaumentode2unidadesatodososfuncionarios.2Captulo2Nocoesdeprobabilidade2.1Admita que um lote contem pecas pesando 5, 10, 15, 20 g e que existem pelo menos2 pecas de cada peso. Retiram-se 2 pecas do lote. Seja Xo peso da 1apeca retiradaeY opesoda2apecaretirada. Utilizandooplanoxymarque:(a) Oespacoderesultados.(b) OacontecimentoA = {(x, y) : x = y}.(c) OacontecimentoB= {(x, y) : y&gt; x}.(d) OacontecimentoC= A2apeca eduasvezesmaispesadadoquea1a.(e) OacontecimentoD = A1apecapesamenos10gdoquea2a.(f) OacontecimentoE= Opesomediodasduaspecas emenorque15g.2.2Sejam A e Bacontecimentos tais que P(A) +P(B) = x e P(AB) = y. Determineemfuncaodexedeyaprobabilidadede:(a) Naoserealizarnenhumdosdoisacontecimentos.(b) Queserealizeumeumsodosdoisacontecimentos.(c) Queserealizepelomenosumdosdoisacontecimentos.(d) Queserealizequantomuitoum unicoacontecimento.2.3Mostreque:(a) SeAeBsaoacontecimentostaisqueA BentaoP(A) P(B).(b) ParaquaisqueracontecimentosCeDtem-seP(C D) P(C) P(C D).(c) P</p> <p>ni=1Ai</p> <p>ni=1P(Ai), n IN.2.4Umacoleccaode100programasdecomputadorfoiexaminadaparadetectarerrosde sintaxe, input/output ede outrotipo diferentedosanteriores. Desses100programas, 20tinhamerros desintaxe, 10tinhamerros deinput/outpute5tinham erros de outro tipo, 6 tinham erros de sintaxe e de input/output, 3 tin-ham erros de sintaxee de outro tipo, 3 tinham erros de input/outpute de outro3tipoe 2 tinham os tres tipos de erros considerados. Um programa e seleccionado aoacasodestacoleccao. Determineaprobabilidadedequeoprogramaseleccionadotenha:(a) Exclusivamenteerrosde sintaxe.(b) Pelomenosumdostrestiposdeerros.2.5Num lancamento de um dado viciado, a probabilidade de ocorrer cada n umerompareodobrodaprobabilidadedeocorrercadan umeropar.(a) Indique qual o espaco de resultados e calcule a probabilidade de cada acontec-imentoelementar.(b) Calculeaprobabilidadedequeon umerodepontosobtidonolancamentododadosejasuperiora3.(c) Calculeaprobabilidadedequeon umerodepontosobtidonolancamentododadosejaumquadradoperfeito.2.6Umalotariatem10000bilhetesnumeradosde0000a9999. On umerodoprimeiropremio eon umerodobilhetesadonumaextraccaoaoacaso.(a) Um jogador comprou um bilhete com o n umero 6789. Qual a probabilidade delhesairoprimeiropremio?(b) Se o jogador comprar todos os bilhetes cujos n umeros tem todos os algarismosiguais,qualaprobabilidadedelhesairoprimeiropremio?(c) Qualaprobabilidadedon umeropremiadotertodososalgarismosdiferentes?(Teste26Nov1994)2.7Numaladeesperadeautocarroestao4homens,3mulherese2criancas. Qualaprobabilidadede:(a) Aspessoas,dentrodecadaumdaquelestresgrupos,estaremdeseguida?(b) As2criancasestaremjuntas?2.8Considere o lancamento de 3 dados perfeitos, sendo um branco, outro preto e outroverde. Determineaprobabilidadedeobterumasomadepontosiguala10.2.9Deumgrupode50alunosdoIST(10alunosporano)eescolhidaaoacasoumacomissaocoordenadorade4pessoas. Qualaprobabilidadede:(a) Serescolhidoumeumsoalunodo1oano?(b) Seremescolhidosumaluno(esoum)do1oanoeumaluno(esoum)do5oano?(c) Seremescolhidosnomaximodoisalunosdo1oano?(d) Seremtodosdomesmoano?2.10Umgrupodeapostadoresdototoboladecidiujogartodasasapostaspossveiscon-tendo 7 vitorias em casa,4 empates e 2 vitorias fora. Calcule a probabilidade dessegrupoganharototobola.42.11Suponhaqueumacidadetemn + 1habitantesequeumdelescontaumboatoaoutro, queporsuavezorepeteaumterceiro, eassimsucessivamente. Emcadapasso, apessoaque ouve oboatoe escolhidaaoacasode entre as nrestantes.Determineaprobabilidadedequeumboatosejacontadorvezes:(a) Semantesvoltarasercontado`apessoaquelhedeuincio.(b) Semqueninguemooucamaisdoqueumavez.2.12Considereumdadoequipamentoqueeconstitudopor 10transstores dos quaisdois sao defeituosos. Suponha que dois transstores sao seleccionados ao acaso, comreposicao.(a) Escrevaoespacoderesultadoscorrespondenteaestaexperienciaaleatoriaecalculeasrespectivasprobabilidades.(b) Calculeasprobabilidadesdosseguintesacontecimentos:A1Sairumtransstordefeituosona1atiragem.A2Sairumtransstordefeituosona2atiragem.A3Sairpelomenosumtransstordefeituoso.A4Sairexactamenteumtransstordefeituoso.(c) Responda`asmesmasquestoesde(a)e(b)masagoraconsiderandoquenaohouvereposicao.2.13Umabolsacontemmoedasdeprataecobreemigualn umero. Extrai-seaoacasoesemreposicaoduasmoedas. Calculeaprobabilidadedeque:(a) A segunda moeda extrada seja de prata, sabendo que a primeira era de cobre.(b) Saiaumamoedadepratana2atiragem.(c) Umaeumasodasmoedassejadeprata.(d) Pelomenosumadasmoedassejadecobre.2.14Umaurnacontem5bolasbrancase5bolaspretas. Doisjogadores, AeB, tiramalternadamenteeumdecadadevezumaboladaurna. Ojogador quetirar aprimeirabolabrancaganhaapartida.(a) Considereaexperienciaaleatoriaassociadaaestejogoeescrevaocorrespon-denteespacoderesultados.(b) Calcule a probabilidade de cada jogador ganhar a partida sabendo que o jogadorA eoprimeiroatiraraboladeurna.(c) Responda novamente `as alneas (a) e (b) mas agora considerando que as bolassaoextradascomreposicao.2.15Considereoseguintetrocodeumcircuitoelectrico</p> <p>r rA B1235e designe por Fi o acontecimentoo interruptor i esta fechado(i = 1, 2, 3). SuponhaqueF1eF2saoindependentes,comprobabilidadesiguaisa1/2equeF3temumaprobabilidade condicional de 1/8 quando os interruptores 1 e 2 estao fechados e umaprobabilidadecondicionalde1/10quandoapenasointerruptor1estafechado.(a) ProvequeF1eF2saoindependentes.(b) Calculeaprobabilidadedeointerruptor2estarfechadodadoquehacorrenteentreosterminaisAeB.(Exame9Jul 1994)2.16A execucao de um projecto de construcao de um edifcio no tempo programado estarelacionadacomosseguintesacontecimentos:E=escavacaoexecutadaatempoF=fundacoesexecutadasatempoS=superestruturaexecutadaatemposupostosindependentesecomprobabilidadesiguaisa, respectivamente, 0.8, 0.7e0.9. Calculeaprobabilidadede:(a) O edifcio ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazosnastresactividadesreferidas.(b) Oprazodeexecucaosercumpridoparaaescavacaoenaosercumpridoempelomenosumadasoutrasactividades. (Exame14Mai1994)2.17Umcertotipodemotorelectricoquandoavariadopodeapresentarquatrotiposdefalhas, denotadas por F1, F2, F3e F4, cujas probabilidades de ocorrencia sao iguais.SejaA = {F1, F2},B= {F1, F3},C= {F1, F4}eD = {F2, F3}.(a) MostrequeosacontecimentosA,BeCsaoindependentesaospares.(b) MostrequeP(C|A B) ediferentedeP(C).(c) Comenteaarmacao: ComoaocorrenciasimultaneadeCeDeimpossvel,CeDsaonecessariamentedependentes. (Exame22Fev1994)2.18Umgeologocrequeexistepetroleonumacertaregiaocomprobabilidade0.8eque,caso haja petroleo, a probabilidade de sair petroleo na primeira perfuracao e de 0.5.(a) Qualaprobabilidadedesairpetroleonaprimeiraperfuracao?(b) Tendo-seprocedido`aprimeiraperfuracaodaqualnaoresultoupetroleo,qualeanovaprobabilidadeatribuda`aexistenciadepetroleonaregiao? (Exame28Jul 1994)2.19Suponha que 5% da populacao portuguesa sofre de hipertensao e que de entre estes,75%ingerembebidasalcoolicas. Deentreosquenaosaohipertensos50%ingerembebidasalcoolicas.(a) Qualapercentagemdepessoasquebebemalcool?(b) Qualapercentagemdepessoasquebebendoalcoolsofremdehipertensao?2.20Paraumcertotipodecancroataxadeprevalencia(proporcaodedoentesnapop-ulacaoemgeral) e0.005. Umtestediagnosticoparaestadoenca etalque:6 a probabilidade do teste resultar positivo quando aplicado a um indivduo comcancro(sensibilidadedoteste) e0.99; aprobabilidadedotesteresultarnegativoquandooindivduonaotemcancro(especicidadedoteste) e0.95.(a) Calculeovalorpreditivodoteste,istoe,aprobabilidadedeumindivduotercancrosabendoqueotesteresultoupositivo.(b) Supondoqueotestefoi aplicadoduasvezesconsecutivasaomesmodoenteequedasduasvezesoresultadofoipositivo,calculeaprobabilidadedodoentetercancro(admitaque,dadooestadodoindivduo,osresultadosdotesteemsucessivasaplicacoes,emqualquerindivduo,saoindependentes). Oquepodeconcluirquantoaovalorpreditivodaaplicacaodotesteduasvezesconsecuti-vas?(Teste26Nov1994)2.21Um teste e constitudo por uma pergunta com n alternativas. O indivduo que o fazou conhece a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de um indivduoconhecer aresposta. Admitindoqueaprobabilidadedeumindivduorespondercorrectamente`aquestaodadoqueconhecearesposta e1equeaprobabilidadederespondercorrectamentedadoquerespondeaoacaso e1/n:(a) Veriquequeaprobabilidadedeumindivduonaoter respondidoaoacasodadoquerespondeucorrectamente enp1 + (n 1)p.(b) Calculeaprobabilidadedeumapessoaescolhidaaoacasonaorespondercor-rectamente`aquestao,supondon = 5ep = 0.2.2.22Registosefectuadoslevaramaconcluirqueosmotoristasquecirculamemdetermi-nadaestradapodemcometerdoisesodoistiposdetransgressoesditasdotipoIedo tipo II, nao se notando nenhum caso em que o motorista cometa ambas as trans-gressoes. De entre 500 motoristas multados vericou-se serem 100 por transgressoesdo tipo I. Sabendo que 10% dos motoristas que cometem transgressoes do tipo I saomultados; que 1% cometem transgressoes do tipo I e que 2% cometem transgressoesdotipoII,calculeaprobabilidadedequeummotoristaquecirculenessaestradaecometaumatransgressaodotipoIIsejamultado.2.23Um barco pesqueiro desapareceu e presume-se que o seu desaparecimento se deva aumadastrespossveiscausas:C1 afundou-se quando experimentava um sosticado sistema de pesca para o qualnaoestavaminimamenteapetrechado;C2 foisequestradoportransportarumcarregamentodematerialnuclear;C3 foidestruidoporumtemporal.Tres brigadas de busca e salvamento, B1 ,B2eB3foram enviadas com a missao deprocurarobarco, investigandocadaumadelasumadascausas(i.e. abrigadaBiinvestigaacausaCi). Suponhaque:1) astrescausasdodesaparecimentosaoigualmenteprovaveis;2) a probabilidade da brigada Biser bem sucedida quando de facto o barco desa-pareceudevido`acausaCiei(1= 0.1, 2= 0.7, 3= 0.8).7Sabendoqueainvestigacaodabrigada B2resultouinfrutfera,calculeaprobabili-dade:(a) Dobarcotersidosequestrado.(b) Dobarcotersidodestruidoporumtemporal. (Exame13Jan1992)8Captulo3Variaveisaleatoriasedistribuicoesdiscretas3.1Umacaixacontem6iogurtesdosquais2estaoestragados. Retiram-seaoacasoesemreposicao3iogurtes.(a) i) Qualaprobabilidadedeobterquandomuitoumiogurteestragado?ii) Senas3extraccoesapenashouveumiogurteestragado,qualaprobabili-dadedetersidoosegundo?(b) DesigneporXavariavelaleatoriaquerepresentaon umerodeiogurtesestra-gadosnas3extraccoes. Determine:i) AfuncaodeprobabilidadedeX.ii) AfuncaodedistribuicaodeX.iii) OvaloresperadoeavarianciadeX.(c) Respondanovamente`asalneas(a)e(b), masagoraadmitindoqueas3ex-traccoesforamfeitascomreposicao.3.2Numafabricaexistemtresmaquinasiguaisdeumamesmamarca, quetrabalhamindependentemente. A probabilidade de cada maquina avariar num dado espaco detempo e0.1. SejaXavariavelaleatoriaquerepresentaon umerodemaquinasquendoesseperododetempoestaoatrabalhar. Determine:(a) AfuncaodeprobabilidadedeX.(b) AfuncaodedistribuicaodeX.(c) Ovaloresperado,moda,medianaevarianciadeX.3.3ConsidereavariavelaleatoriadiscretaXcomaseguintefuncaodeprobabilidade:P(X= x) =</p> <p>ax , x = 1, 2, 30 , caso contrariosendoaumaconstantereal.(a) Determinea.(b) DetermineafuncaodedistribuicaodeX.9(c) Calculeamoda,amedianaeovaloresperadodeX.3.4SejaXumavariavelaleatoriadiscretacomaseguintefuncaodeprobabilidade:P(X= x) =</p> <p>(1 + 3c)/4 , x = 1(1 c)/4 , x = 2(1 + 2c)/4 , x = 3(1 4c)/4 , x = 40 , x = 1, 2, 3, 4(a) Determineo...</p>