Probabilités, statistiques - livres-ebooks- ?· Probabilités, statistiques et analyses multicritères…

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  • Probabilits, statistiqueset analyses multicritres

    Application aux sciences exprimentales(exercices corrigs)

    Mathieu ROUAUDProfesseur Agrg de Sciences Physiquesen classes prparatoires aux grandes coles d'ingnieurs.Diplm en Physique Thorique.

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    Date de parution : juin 2012

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  • Avant-propos

    Cet ouvrage se veut accessible et pdagogique. Il est le fruit d'interrogations personnelles sur la nature probabiliste des mesures en sciences. Dans un cursus classique ces aspects ne sont pas, ou peu, abords. Il est important que les fondements exprimentaux et pratiques des sciences soient complmentaires d'une science au tableau en cours magistraux. Il existe une beaut scientifique qui nat de l'interaction entre la thorie et l'exprience.

    Tout en introduisant les principes fondamentaux de la statistique, les deux premiers chapitres expliquent comment dterminer les incertitudes dans diffrentes situations exprimentales. Beaucoup d'exemples sont issus de cours et travaux pratiques raliss en math sup.

    Le troisime chapitre aborde les analyses multicritres telles qu'elles ont t enseignes en deuxime anne d'cole d'ingnieur (cole Hubert Curien / Matrise de l'efficacit nergtique).

    Bonne lecture !

    Remerciements :Je remercie Grgoire BONNET (ingnieur charpentier) et ric NOIZET (professeur Agrg de Chimie en prpa) pour leurs multiples apports la clart pdagogique de l'ouvrage. Un grand merci Reine pour sa relecture prcise et consciencieuse. Pleins de mercis, Aurlien SEMACH (tudiant) et, aux enseignants de sciences-physiques Franoise MARCADET (pour ses contri-butions en mtrologie) et Julien BONVALET.Merci la vie et tous ceux qui m'ont prcd.

  • Table des matires

    I. VARIABLE ALATOIRE....................................1 A. Grandeurs et mesures......................................1 B. Centre d'une distribution..................................1 C. Dispersion d'une distribution...........................3 D. Exemples de distributions................................4 E. Thorme central limite...................................7

    1) Population et chantillons....................................72) Le thorme central limite.................................103) Coefficient de Student et incertitude.................124) Exemples............................................................14

    F. Distribution de Gauss.....................................181) Dfinition d'une distribution continue...............182) Courbe de Gauss................................................193) Loi normale standard.........................................21

    G. Test d'hypothse............................................22 H. Test du Khi-deux...........................................24 I. Sources des incertitudes..................................27 J. Exercices.........................................................31

    II. CORRLATIONS ET INDPENDANCES.......37 A. Coefficient de corrlation..............................37 B. Formule de propagation des incertitudes.......42

    1) Formule de propagation des cart-types............422) Calcul d'incertitude............................................43

    C. Rgression linaire........................................481) Principe et formules...........................................48

  • 2) Dtermination du zro absolu............................523) Rgression avec barres d'erreurs........................54

    D. Exercices ......................................................57III. APPROCHES MULTICRITRES....................67

    A. Mthode par pondration...............................68 B. Analyse en Composantes Principales............71

    1) Principes............................................................712) Une deuxime illustration..................................843) Rsum..............................................................87

    C. Exercices.......................................................88IV. COMPLMENTS.............................................92

    A. Mesure avec une rgle...................................92 B. Mtrologie...................................................104 C. Thermodynamique.......................................112 D. Indpendance des variables.........................118

    V. DEVOIRS.........................................................120 A. Devoir Suricate............................................120 B. Devoir Narval..............................................127

    VI. CORRECTIONS.............................................134VII. OUTILS MATHMATIQUES......................164VIII. Bibliographie / Sources / Logiciels / Illustration de couverture.........................................................167IX. TABLES / Index..............................................172

    A. Coefficients de Student................................172 B. Valeurs critiques de Khi-deux.....................173

  • I. VARIABLE ALATOIRE

    A. Grandeurs et mesures

    Soit X une variable alatoire et n ralisations {xi} de cette variable.

    Nous pouvons simplement estimer une grandeur classique : par exemple, combien y-a-t-il de jours dans une semaine ? La rponse est sans ambigut. Par contre pour une grandeur statistique l'approche est plus subtile. Imaginons des tudiants qui font des expriences de calorimtrie pour mesurer la capacit thermique de l'eau1. Les diffrents groupes mesurent les valeurs suivantes : {5100; 4230; 3750; 4560; 3980} J/K/kg. Que vaut alors la capacit ? Nous donnerons dans ce chapitre une rponse cette question. Elle sera de nature probabiliste.

    B. Centre d'une distribution

    Nous cherchons une caractristique du centre de la distribution des observations {xi}. Il en existe plusieurs, le mode, par exemple, est facile dterminer, il s'agit de la valeur la plus reprsente (illustrations page 4). Nous

    1 PHYSIQUE : Quantit d'nergie fournir un kilogramme d'eau pour que sa temprature s'lve de 1C. L'eau emmagasine ainsi de l'nergie et peut la restituer par la suite en diminuant sa temprature. Tables : ceau = 4180 Joules par degr Celsius et par kilogrammes.

    1

  • avons aussi la mdiane qui correspond la valeur qui spare la distribution en deux parties gales. Mais la plus utilise est la moyenne qui reprsente au mieux le centre d'une distribution :

    x=x1 x2...x i...xn

    n soit

    x=i=1

    n

    x i

    n

    2

    Pour la capacit thermique de l'eau nous obtenons :

    c=51004230375045603980

    5=4324 J /K / kg

    Nous avons considr la moyenne arithmtique. Nous aurions pu prendre la moyenne gomtrique :

    x=n x i

    Par exemple, pour deux tempratures 20C et 40C, la moyenne gomtrique est 20 C40 C28,3 Calors que la moyenne arithmtique est 30C. Dans la pratique on constate que la moyenne arithmtique est mieux adapte.

    2 MATH : se dit la moyenne de x est gale la somme de 1 n des x i, le tout divis par n. Pour la moyenne gomtrique nous considrons la racine nime du produit des xi. x, "x moyen", se dit aussi "x barre".

    2

  • C. Dispersion d'une distribution

    Il s'agit d'estimer ce que nous pourrions aussi appeler la largeur d'une dist