Problemas de Distribucion Normal

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    18-Feb-2015

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EJERCICIOS DE RESOLUCION DE DISTRIBUCION NORMAL 1. Supngase que se sabe que la variable aleatoria X se distribuye normalmente con media 250 y desviacin estndar 5. Encuentre las siguientes probabilidades: a) P=(X 255) 3643 . 01 . 15250 ) 5 . 0 255 (5250== +====AZZXZo o 0.5 250 255 0.5+0.3643 = 0.8643 b) P (245 X 255) 3643 . 01 . 15250 ) 5 . 0 245 (5250= = ====AZZXZo o 3643 . 01 . 15250 ) 5 . 0 255 (== +==AZZXZo 0.3643+0.3643= 0.7286 c) P(X > 260) 4772 . 025250 260====AZZXZo 0.5-0.4772=0.0228 250 260 0.4772 0.0228 0.3643 0.3643 245 250 255 0.3643 2. Las puntuaciones en una prueba nacional de aprovechamiento tuvieron una distribucin normal con media 540 y desviacin estndar 110. 110540==o a. Si su puntuacin fue de 680, cun lejos de la media, en desviaciones estndar, se encontr su puntuacin? 27 . 1110540 680===ZZXZo - Su puntuacin se encontro a 1.27 desviaciones estndar a la derecha de la media b. Qu porcentaje de aquellos que tomaron la prueba consiguieron una puntuacin mayor que la suya? 102 . 03980 . 0 5 . 03980 . 027 . 1==AZ - El 10.20% de aquellos que tomaron la prueba consiguieron una puntuacin mayor que la suya 3. El gasto promedio mensual por alimentos para familias de cuatro personas en la ciudad de Guayaquil es de $ 420,00 con una desviacin estndar de $ 80,00. Suponiendo que los gastos mensuales por alimentos estn distribuidos normalmente, qu porcentajes: a. de estos gastos son inferiores a $ 350,00 P(X < 350) 80420==o 3106 . 088 . 080420 350= ===AZZXZo 0.5-0.3106= 0.1894 - El 18.94% de los gastos son inferiores a $350.00 0.3106 0.3980 540 680 0 1.27 350 420 b. de estos gastos se encuentran entre $ 250,00 y $ 350,00 P (250 < X < 350) 4834 . 013 . 280420 250= ===AZZXZo 3106 . 088 . 080420 350= ===AZZXZo 0.4834-0.3106= 0.1728 - El 17.28% de los gastos se encuentran entre $ 250,00 y $ 350,00 c. de estos gastos se encuentren entre $250,00 y $ 450,00 P (250 < X < 450) 4834 . 013 . 280420 250= ===AZZXZo 1480 . 0375 . 080420 450====AZZXZo 0.4834+0.1480=0.6314 - El 63.14% de los gastos se encuentran entre $250,00 y $ 450,00 d. de estos gastos son inferiores a $ 250,00 y mayores que $450,00 P(X < 250) P(X > 450) 0.4834 0.1480 0.4834 0.3106 250 350 420 250 420 450 4834 . 013 . 280420 250= ===AZZXZo 0.5-0.4834= 0.0166 1480 . 0375 . 080420 450====AZZXZo 0.5-0.1438= 0.352 - El 1.66% de los gastos son inferiores a $ 250,00 y el 35.20% de los gastos son mayores que $450,00. 4. El tiempo necesario para dar servicio a un automvil en la estacin de servicios 1.1 minutos. 1.14.5==o a. Cul es la probabilidad de que un automvil seleccionado aleatoriamente requiera: 1. ms de 6 minutos de servicio o menos de 5 P(X < 5) o P(X > 6) 1736 . 045 . 01 . 15 . 4 5====AZZXZo 4131 . 036 . 11 . 15 . 4 6====AZZXZo 0.5-0.4131=0.0869 0.1736+0.0869 = 0.2605 0.1736 0.4131 0.0166 0.352 0.4834 0.1480 250 420 450 4.5 5 6 - La probabilidad de que un automvil requiera ms de 6 minutos de servicio o menos de 5 es del 26.05% 2. entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio P (3.5 < X < 5.6) 3186 . 091 . 01 . 15 . 4 5 . 3= ===AZZXZo 3413 . 011 . 15 . 4 6 . 5====AZZXZo 0.3186 + 0.3413 = 0.6599 - La probabilidad de que un automvil requiera entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio es del 65.99% 3. Cuando mucho 3.5 minutos de servicio P(X 3.5) 3186 . 091 . 01 . 15 . 4 5 . 3= ===AZZXZo 0.5-0.3186 = 0.1814 - La probabilidad de que un automvil requiera cuando mucho 3.5 minutos de servicio es del 18.14% b. Cul es le tiempo de servicio de modo que solo el 5 % de todos los automviles requieran ms tiempo? A = 0.45 Z = 1.65 0.45 0.05 0.3186 0.3186 0.3413 3.5 4.5 5.6 3.5 4.5 5.6 - El tiempo necesario para dar servicio a un automvil en la estacin de servicios Automundo es de 1.65 minutos. 5. Se encontr que un grupo de calificaciones de exmenes finales en un curso de estadstica est normalmente distribuido con una media de 7.3 y una desviacin estndar de 0.8 0.87.3==o a. Cul es la probabilidad de obtener cuando mucho una calificacin de 9.1 en este examen? P(X 9.1) 4878 . 025 . 28 . 03 . 7 1 . 9====AZZXZo 0.5 + 0.4878 = 0.9878 - La probabilidad de obtener cuando mucho una calificacin de 9.1 en este exmen es del 98.78% b. Qu porcentaje de estudiantes alcanzaron calificaciones entre 6.5 y 8.9? P ( 6.5 X 8.9) 3413 . 018 . 03 . 7 5 . 6====AZZXZo 4772 . 028 . 03 . 7 9 . 8====AZZXZo 0.3413 + 0.4772= 0.8185 - El 81.85% de los estudiantes alcanzaron calificaciones entre 6.5 y 8.9 0.3413 0.4772 0.5 0.4878 7.3 9.1 6.5 7.3 8.9 c. Qu porcentaje de estudiantes alcanzaron calificaciones entre 8.1 y 8.9? P (8.1 X 8.9) 3413 . 018 . 03 . 7 1 . 8====AZZXZo 4772 . 028 . 03 . 7 9 . 8====AZZXZo 0.4772-0.3413 = 0.1359 - El 13.59% de estudiantes alcanzaron calificaciones entre 8.1 y 8.9 d. Cul es la calificacin del examen final si slo el 5 % de los estudiantes que pasaron la prueba tuvieron calificaciones ms altas? A= 0.45 Z= 1.65 - La calificacin del exmen final es de 1.65 y el 5% de los estudiantes que pasaron la prueba tuvieron calificaciones mas altas a esta. e. Si el profesor favoreciera (le da calificacin de A al 10 % superior de la clase independiente de los resultados) ese est en mejor situacin con una calificacin de 8.1 en este examen, o con una calificacin de 6.8, en un examen diferente en el cual la 0.87.3==o 0.36.2==o Exmen de 8.1 Exmen de 6.8 0.45 0.05 0.3413 0.4772 7.3 8.1 8.9 3 . 83 . 7 8 . 0 * 28 . 1.28 . 140 . 0= = += +==X XX ZZA o 6 . 62 . 6 3 . 0 * 28 . 1.28 . 140 . 0= = += +==X XX ZZA o - Est en mejor situacin con una calificacin de 8.1 en este examen, pues el estudiante saco 8.3, mientras que en el exmen de 6.8 el saco 6.6. 6. Una compaa se dedica al ensamble de componentes electrnicos, bajo la modalidad de maquila. Uno de los productos que se exportan a Norteamrica tiene un tiempo de ensamble que se ha comprobado se distribuye normalmente con inters para la compaa calcular que probabilidades existen que el tiempo de ensamblado de este producto de exportacin sea: 0.10.8==o a. No mayor de 0.95 horas p(X 0.95) 4332 . 05 . 11 . 08 . 0 95 . 0====AZZXZo 0.5+0.4332= 0.9332 - La probabilidad que el tiempo de ensamblado de este producto sea no mayor de 0.95 horas es del 93.32%. b. Mayor de 1 hora P(X >1) 4772 . 021 . 08 . 0 1====AZZXZo 0.4772 0.4332 0.40 0.10 0.40 0.10 7.3 8.1 8.3 6.2 6.6 6.8 0.8 0.95 0.8 1 0.5-0.4772 = 0.0228 - La probabilidad que el tiempo de ensamblado de este producto sea mayor de 1 hora es del 2.28% c. Entre 0.7 y 0.9 horas P (0.7 X 0.9) 3413 . 011 . 08 . 0 7 . 0= ===AZZXZo 3413 . 011 . 08 . 0 9 . 0====AZZXZo 0.3413+0.3413 = 0.6826 d. Interprete desde el punto de vista de frecuencia de ocurrencia, el resultado obtenido en la pregunta c. La probabilidad que el tiempo de ensamblado de este producto se encuentre ebtre 0.7 y 0.9 horas es del 68.26% 7. 120530==o a. Cul es la probabilidad de que las ventas excedan los $ 700 dlares en un da dado? P(X > 700) 4222 . 042 . 1120530 700====AZZXZo 0.5-0.4222 = 0.0778 - La probabilidad de que las ventas excedan los $ 700 dlares en un da dado es del 7.78% 0.4222 0.3413 0.3413 0.7 0.8 0.9 530 700 b. El restaurante debe tener por lo menos 300 dlares en ventas por da para poder cubrir sus costos. Cul es la probabilidad de que el restaurante no pueda cubrir sus costos un da dado? P(X < 300) 4726 . 092 . 1120530 300= ===AZZXZo 0.5-0.4726 =0.0274 - La probabilidad de que el restaurante no pueda cubrir sus costos un da dado es del 2.74% 8. El tiempo de vida de un tipo de lavadora automtica tiene distribucin aproximadamente lavadoras se garantiza por un ao. Qu fraccin de las lavadoras vendidas originalmente tendran que ser reemplazadas? Resp. 0.0401 1.23.1==o P(X < 1) 4599 . 075 . 12 . 11 . 3 1= ===AZZXZo 0.5-0.4599 =0.0401 - Tendran que ser reemplazadas el 4.01% (401/10000) de las lavadoras 9. La vida til de las pilas de cierta marca estn distribuidas normalmente. Si el 7.68 % de las pilas duran ms de 54 horas y 39.80 % duran menos de 50 horas. Cul es la media y la desviacin estndar? Resp. 50.61 y 2.37 respectivamente. ??==o P(X54) 26 . 0 102 . 0 = = Z A 43 . 1 4230 . 0 = = Z A 0.4599 0.4726 300 530 1 3.1 0.0987 0.1026 0.102 0.0033 0.0006 0.4222 0.4236 0.4230 0.0008 0.0006 54 43 . 150 26 . 0= + - = + - = + - o o o X Z 37 . 24 / 69 . 1= = + -o o 61 . 506162 . 0 5050 6162 . 050 37 . 2 26 . 0= + = = + = + - = + - o X Z - La vida til de las pilas de cierta marca estn distribuidas normalmente con 10. Una compaa de seguros considera que solamente alrededor del 0.05 de la poblacin le ocurre cierto tipo de accidentes cada ao. La empresa tiene 1.000 asegurados contra este tipo de accidentes. Cul es la probabilidad de que, mximo 35 de ellos sufran este accidente? Resp. 0.0179 P (sufra accidente)=0.05 q (No sufran accidente)=0.95 n=1000 P(X 35) APROXIMACIN BINOMIAL A NORMAL Establesco la media: Varianza: 50 = - = p n 89 . 65 . 4795 . 0 05 . 0 1000== - - = - - =oooo q p n 4821 . 010 . 289 . 650 ) 5 . 0 35 (= = +==AZZXZo 0.5-0.4821=0.0179 0.4821 0.398 0.102 0.4230 0.0768 50% - (-1) 35 50 - la probabilidad de que, mximo 35 de ellos sufran este accidente es del 1.79% 11. Una cuarta parte de los documentos archivados diariamente por un empleado de un departamento de ventas se hace equivocadamente. Si en un da se archivan 100 documentos, cul es la probabilidad de que: P (Mal archivados)=0.25 q (Bien archivados)=0.75 n=100 a. Por lo menos 18 documentos sean mal archivados. Resp. 0.9582 P(X 18) APROXIMACIN BINOMIAL A NORMAL Establesco la media: Varianza: 25 = - = p n 33 . 475 . 1875 . 0 25 . 0 100== - - = - - =oooo q p n 4582 . 073 . 133 . 425 ) 5 . 0 18 (= = ==AZZXZo 0.5+0.4582=0.9582 - La probabilidada de que por lo menos 18 documentos sean mal archivados es del 95.82% b. Exactamente 16 documentos sean mal archivados. Resp. 0.0107 P(X = 16) 0.4750 0.4857 0.4582 18 25 16 25 4857 . 019 . 233 . 425 ) 5 . 0 16 (= = ==AZZXZo 4750 . 096 . 133 . 425 ) 5 . 0 16 (= = +==AZZXZo 0.4857-0.4750= 0.0107 - La probabilidada de que exactamente 16 documentos sean mal archivados es del 1.07% c. Exactamente 86 documentos sean correctamente archivados. Resp. 0.0039. P (Bien archivados)=0.75 q (Mal archivados)=0.25 n=100 Establesco la media: Varianza: 75 = - = p n 33 . 475 . 1825 . 0 75 . 0 100== - - = - - =oooo q p n P(x = 86) 4922 . 042 . 233 . 475 ) 5 . 0 86 (== ==AZZXZo 4961 . 066 . 233 . 475 ) 5 . 0 86 (== +==AZZXZo 0.4961-0.4922= 0.0039 - La probabilidada de que exactamente 86 documentos sean correctamente archivados es del 0.39% 0.4922 0.4961 75 86 12. Un ingeniero de produccin ha determinado que en su fbrica dedicada a la confeccin de prendas de vestir, un operario produce en promedio 64 piezas por da, de un tipo de camiseta, con una desviacin estndar de 4 camisetas. Un sistema de incentivos a destajo, ha determinado que al operario se le pagan 11.25...