Problemy redukcji drgań konstrukcji budowlanych z wiskotycznymi i

  • Published on
    11-Jan-2017

  • View
    213

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>Biuletyn WAt Vol. lXi, nr 4, 2012</p><p>Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych z wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga</p><p>Roman Lewandowski</p><p>Politechnika Poznaska, wydzia Budownictwa i inynierii rodowiska, instytut konstrukcji Budowlanych, 60-965 Pozna, ul. Piotrowo 5, </p><p>roman.lewandowski@put.poznan.pl</p><p>Streszczenie. Praca ma charakter przegldowy i dotyczy przegldu problematyki zwizanej z modelo-waniem i analiz lepkosprystych tumikw drga oraz problemw analizy dynamicznej konstrukcji z zainstalowanymi wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga. w pracy dokonano przegldu literatury oraz krtko opisano przykadowe rozwizania poruszanych problemw. do najwaniejszych problemw dynamiki konstrukcji z wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga zaliczono problemy modelowania tumikw, identyfikacji parametrw modeli tumikw, opisu konstrukcji z tumikami, wyznaczania charakterystyk dynamicznych konstrukcji z tumikami drga oraz opty-malizacji pooenia tumikw na konstrukcji.Sowa kluczowe: dynamika konstrukcji, wiskotyczne i lepkospryste tumiki drga, modele tumikw, identyfikacja parametrw, charakterystyki dynamiczne, optymalizacja pooenia tumikw</p><p>1. Wprowadzenie</p><p>Postp techniczny sprawia, e nowoczesne konstrukcje s lejsze, bardziej ekonomicznie zaprojektowane i wykonane z materiaw o lepszych waciwociach. Rwnoczenie konstrukcje te staj si bardziej podatne na dziaanie obcie dy-namicznych. w wielu przypadkach konieczne jest zmniejszanie amplitud drga konstrukcji. dotyczy to szczeglnie budynkw wysokich naraonych na dziaanie huraganowych wiatrw i/lub zbudowanych na terenach sejsmicznych. w tym celu wyposaa si konstrukcje w ukady redukcji drga. w oglnoci rozrnia si aktyw-ne, paktywne, pasywne i hybrydowe ukady redukcji drga. obszerne omwienie najistotniejszych cech omawianych ukadw mona znale w pracach [1-5].</p></li><li><p>170 R. Lewandowski</p><p>Pasywne ukady redukcji drga definiuje si jako ukady, urzdzenia lub tumiki, ktrych dziaanie nie wymaga zasilania z zewntrznego rda energii, a rozpraszanie energii w ukadzie redukcji drga jest wywoywane ruchem kon-strukcji. Pasywne ukady redukcji drga umoliwiaj bezpieczne przenoszenie obcie dynamicznych i poprawiaj komfort uytkowania budynku. najbardziej popularnymi typami pasywnych tumikw drga s strojone tumiki masowe, tumiki wiskotyczne, tumiki lepkospryste, tumiki cieczowe, tumiki metalowe oraz tumiki tarciowe. obszerny przegld i omwienie pasywnych ukadw redukcji drga mona znale w pracy [6].</p><p>Praca dotyczy tumikw wiskotycznych i lepkosprystych. Tumiki lepkospr-yste dzieli si na dwie grupy w zalenoci od uytego medium lepkosprystego. Rozrnia si tumiki cieczowe, w ktrych ciecz (np. olej silikonowy) ma waciwoci lepkospryste, i tumiki z warstw z materiau lepkosprystego wykonanego np. z kopolimerw. schemat tumika cieczowego pokazano na rysunku 1.1. </p><p>niniejsza praca ma charakter przegldowy i dotyczy przegldu problematy-ki zwizanej z modelowaniem i analiz lepkosprystych tumikw drga oraz problemw analizy dynamicznej konstrukcji z zainstalowanymi wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga. w pracy zamieszczono przegld literatury oraz krtko opisano przykadowe rozwizania poruszanych problemw. do naj-waniejszych problemw dynamiki konstrukcji z wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga zalicza si problemy modelowania tumikw, identyfikacji para-metrw modeli tumikw, opisu konstrukcji z tumikami, wyznaczania charakte-rystyk dynamicznych konstrukcji z tumikami drga oraz optymalizacji pooenia tumikw na konstrukcji.</p><p>Rys. 1.1. schemat lepkosprystego tumika cieczowego</p></li><li><p>171Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych...</p><p>2. Modele lepkosprystych tumikw drga</p><p>waciwoci mechaniczne materiaw i tumikw lepkosprystych zale od temperatury T, czstoci wymuszenia oraz, w pewnych okolicznociach, od od-ksztace. waciwoci te opisuje si za pomoc moduw sprystoci (the storage modulus) '( , )E T i moduw tumienia (the loss modulus) "( , )E T . Zalenoci te ilustruj przykadowe wykresy pokazane na rysunku 2.1 [7].</p><p>Rys. 2.1. Zaleno moduu sprystoci i moduu tumienia od czstoci wymuszenia</p><p>wpyw temperatury uwzgldnia si w sposb przybliony, stosujc zasad superpozycji temperaturowo-czstotliwociowej, ktra ustanawia zaleno mi-dzy efektami zmiany temperatury i zmiany czstoci wymuszenia na waciwoci materiaw lepkosprystych [8]. Zasada ta stwierdza, e waciwoci lepkospr-yste okrelone w rnych temperaturach mona odnosi do siebie przez zmian (przesunicie) aktualnej wartoci czstoci wymuszenia. omawian zasad mona symbolicznie zapisa w postaci [8]: </p><p> '( , ) '( , ) '( ( ) , ),"( , ) "( , ) "( ( ) , ),</p><p>r r T r</p><p>r r T r</p><p>E T E T E T TE T E T E T T</p><p>= == = </p><p>(2.1)</p><p>gdzie Tr jest temperatur porwnawcz podan w stopniach kelvina, ( )r T T = zredukowan czstoci wymuszenia; funkcja przesunicia aT(T) jest czsto opi-sywana rwnaniem williamsa-Landela-Ferryego o postaci:</p><p>1</p><p>2</p><p>( )( ) exp ,rTr</p><p>C T TTC T T</p><p>= + (2.2)</p><p>a symbole C1, C2 oznaczaj stae charakteryzujce materia lepkosprysty.Badania tumika wypenionego ciecz sylikonow opisane w pracach [9-11] </p><p>wskazuj, e temperatura ma istotny wpyw na moliwoci rozpraszania ener-gii przez omawiany tumik. opisane w pracy [12] wyniki analiz numerycznych </p></li><li><p>172 R. Lewandowski</p><p>i eksperymentalnych potwierdzaj znaczcy wpyw czstoci i amplitud siy wy-muszajcej na temperatur materiau lepkosprystego, a w konsekwencji na waciwoci tego materiau.</p><p>Zachowanie tumikw wiskotycznych opisuje si rwnaniem o postaci:</p><p> ( ) ( ( )) ( ),ntu t c sign x t x t= (2.3)</p><p>gdzie symbol u(t) oznacza si panujc w tumiku, ( )x t jest wzgldn prdkoci toka tumika wzgldem obudowy, a ct wspczynnikiem tumienia. wartoci wsp-czynnika n zmieniaj si w przedziale 0,3 n 1. Czsto n = 1.</p><p>do opisu dynamicznego zachowania tumikw lepkosprystych stosuje si modele reologiczne rnego rodzaju. najczciej s to proste modele kelvina lub maxwella [13-17]; ostatnio rwnie uoglnione modele kelvina lub maxwella [18-22] oraz modele opisywane za pomoc pochodnych uamkowych [23-27]. Te ostatnie bd w dalszym cigu nazywane modelami uamkowymi. Proste mo-dele kelvina i maxwella nie opisuj poprawnie zalenoci waciwoci tumikw od czstoci wymuszenia. w pracy [28] opisano pewien model lepkosprystego tumika drga, ktry mona rozumie jako rwnolegle poczone proste modele kelvina i maxwella. </p><p>Poniej pokrtce omawia si opis matematyczny tumika, ktrego zachowanie opi-suje si za pomoc uoglnionego modelu kelvina, przedstawionego na rysunku 2.2.</p><p>klasyczne rwnanie ruchu tego modelu uywane w reologii ma nastpujc posta:</p><p> 01 1</p><p>( ) ( )( ) ( ) ,r rm m</p><p>r rr rr r</p><p>d u t d x tu t D G x t Gdt dt= =</p><p>+ = + (2.4)</p><p>gdzie ( ) ( ) ( )k jx t q t q t= (porwnaj rys. 2.2), a symbole Dr i Gr oznaczaj dodatnie wspczynniki, ktre mona wyrazi za pomoc staych modelu (patrz rys. 2.2). Posta ta nie jest dogodna w zastosowaniu do zagadnie dynamiki konstrukcji.</p><p>inne sformuowanie rwna ruchu korzysta z koncepcji tzw. zmiennych wewntrznych, ktrymi w omawianym przypadku s przemieszczenia punktw wzowych, gdzie cz si elementy modelu kelvina (patrz rys. 2.2). Rwnania ruchu rozpatrywanego modelu mona teraz zapisa w postaci:</p><p>0 1</p><p>1 1</p><p>( ) ( ), </p><p>( ) ( ) ( ), 1,2,..., 1,( ) ( ) ( ),</p><p>d j</p><p>r dr dr r dr dr</p><p>m k dm m k dm</p><p>u t k q qu t k q q c q q r mu t k q q c q q</p><p>+ +</p><p>= </p><p>= + = = + </p><p> (2.5)</p><p>gdzie symbole qj i qk oznaczaj przemieszczenia skrajnych punktw wzowych modelu, qdr jest zmienn wewntrzn, kr i cr s parametrami (wspczynnikiem sztywnoci i wspczynnikiem tumienia) r-tego elementu modelu (r = 1, 2,, m 1).</p></li><li><p>173Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych...</p><p>moduy sprystoci '( )K i tumienia "( )K wyznacza si, rozpatrujc ustalone, harmonicznie zmienne drgania modelu. wtedy</p><p>1 1 0</p><p>1</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,</p><p>i t i td j k dm m m</p><p>i t i tk j dr dr r r</p><p>q t q t x t X e q t q t x t X e</p><p>q t q t x t X e q t q t x t X e</p><p> +</p><p> = = = =</p><p> = = = = (2.6)</p><p>a po postawieniu (2.6) do (2.5) otrzymuje si zalenoci: </p><p> ( ) ( '( ) "( )) ( ), ( ) ( '( ) "( )) ( ),X L iL U U K iK X = = + (2.7)gdzie</p><p> 2 2 2 21 10</p><p>1 1'( ) , "( ) ,(1 ) (1 )</p><p>m mr</p><p>r rr r r r</p><p>L Lk k k</p><p> = == + =</p><p>+ + (2.8)</p><p> 2 2 2 2</p><p>'( ) "( )'( ) , "( ) .' ( ) " ( ) ' ( ) " ( )</p><p>L LK KL L L L</p><p> = =</p><p>+ + (2.9)</p><p>Uoglniony model kelvina spenia wymagania drugiego prawa termodynamiki, o ile stae modelu bd liczbami dodatnimi.</p><p>energi rozpraszan w trakcie drga harmonicznie zmiennych modelu mona wyznaczy ze wzoru:</p><p>0 0 21</p><p>10 0</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,T T m</p><p>d r dr drr</p><p>E u t dx t u t x t dt c q q +=</p><p>= = = </p><p>(2.10)</p><p>gdzie symbol 0drq oznacza amplitud drga zmiennej wewntrznej o numerze r, a ponadto 0 01 .dm kq q+ =</p><p>Rozpatrywany model tumika mona take traktowa jako superelement sko-czony. Rwnanie superelementu, zapisane w lokalnym ukadzie wsprzdnych, ma posta:</p><p> ( ) ( ) ( ),e e e e et t t= +R K q C q </p><p> (2.11)</p><p>Rys. 2.2. schemat uoglnionego modelu kelvina</p></li><li><p>174 R. Lewandowski</p><p>gdzie ie eK C to atwe do wyznaczenia macierze sztywnoci i tumienia, a ponadto </p><p>1 2 3 4</p><p>1 2 3 4</p><p>,1 ,</p><p>( ) ( ( ), ), ( ) ( ( ), ( ), ( ), ( )),( ) ( ( ), ( )), ( ) ( ( ), ( ), ( ), ( )),( ) ( ( ),......, ( )).</p><p>e z z</p><p>e z d z</p><p>d d d m</p><p>t col t t col R t R t R t R tt col t t t col q t q t q t q tt col q t q t</p><p>= == ==</p><p>R R 0 Rq q q qq</p><p>ostatnio do opisu zachowania tumikw lepkosprystych uywa si modeli reologicznych opisywanych za pomoc pochodnych niecakowitego rzdu nazywa-nych take pochodnymi uamkowymi [29, 30]. w modelach uamkowych tumik jest zastpowany tzw. elementem sprysto-tumicym nazywanym take elementem scotta-Blairsa [31]. Prawo konstytutywne elementu sprysto-tumicego ma posta:</p><p> ( ) ( ),tu t c D q t= (2.12)</p><p>gdzie c i s parametrami elementu przy czym 0 &lt; 1, a symbol ( )tD oznacza </p><p>pochodn niecakowitego rzdu a ze wzgldu na czas t. istnieje kilka definicji po-chodnych niecakowitego rzdu. Tutaj symbol ( )tD q t</p><p> oznacza pochodn nieca-kowitego rzdu Riemanna-Liouvillea zdefiniowan w nastpujcy sposb [30]:</p><p>0</p><p>( ) 1( ) ,(1 ) ( )</p><p>t</p><p>td q t d q(s)D q t ds</p><p>dt dt t s</p><p> =</p><p> (2.13)</p><p>gdzie symbolem oznaczono funkcj specjaln gamma. Jeeli 0 , to zachowanie elementu sprysto-tumicego jest zblione do </p><p>zachowania elementu sprystego, a jeeli 1 , to omawiany element zachowuje si jak tumik wiskotyczny.</p><p>opis uamkowych modeli reologicznych tumikw lepkosprystych krtko oma-wia si na przykadzie uamkowego modelu maxwella pokazanego na rysunku 2.3. Zachowanie tego modelu opisuj dwa rwnania o postaci:</p><p> ( ) ( ), ( ) ( ( ) ( ))d t du t k q t u t c D x t q t= = (2.14)</p><p>lub jedno rwnanie:</p><p> ( ) ( ) ( ),t tu t D u t k D x t + = (2.15)</p><p>gdzie k, c, to parametry modelu. Ponadto 1 3 1( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),d dq t q t q t x t q t q t= = a / .c k =</p><p>w konwencji metody elementw skoczonych rwnanie omawianego modelu mona zapisa w postaci:</p><p> ( ) ( ) ( ),e e e e t et t D t= +R K q C q (2.16)</p></li><li><p>175Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych...</p><p>gdzie:</p><p>1 2 3 4( ) ( ( ), ( )), ( ) ( ( ), ( ), ( ), ( )),( ) ( ( )),</p><p> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0</p><p> 0 0 0 </p><p>e z d z</p><p>d d</p><p>e</p><p>t col t t t col q t q t q t q tt col q t</p><p>k k</p><p>k k</p><p>= ==</p><p>=</p><p>q q q qq</p><p>K</p><p> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 </p><p>, 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 </p><p>e c c</p><p>c c</p><p> = </p><p>C</p><p>(2.17)</p><p>Rys. 2.3. schemat uamkowego modelu maxwella</p><p>modu sztywnoci dynamicznej i modu tumienia wyznacza si, zakadajc rozwizanie rwnania (2.15) w postaci: </p><p> ( ) ( ) , ( ) ( ) .i t i tx t X e u t U e = = (2.18)</p><p>Jeeli dolna granica pochodnej niecakowitego rzdu funkcji wykadniczej jest rwna , to [30]</p><p> ( ) .i t i ttD e i e = (2.19)</p><p>Po podstawieniu (2.18) i (2.19) do (2.15) otrzymuje si zalenoci:</p><p>2</p><p>2</p><p>( ) ( ( ) i ( )) ,1 ( )</p><p>( ) cos( / 2)( ) ( ) ,1 ( ) 2( ) cos( / 2)</p><p>sin( / 2)( ) ( ) .1 ( ) 2( ) cos( / 2)</p><p>iU k X K K Xi</p><p>K k</p><p>K k</p><p>= = + +</p><p>+=+ +</p><p>=+ + </p><p>(2.20)</p></li><li><p>176 R. Lewandowski</p><p>energi rozpraszan w jednym cyklu drga mona wyznaczy z wzoru:</p><p>20 2 2</p><p>sin( / 2)( ) .1 2 cos( / 2)d</p><p>E c x </p><p>=+ + </p><p>(2.21)</p><p>model uamkowy tumika spenia wymagania drugiego prawa termodynamiki, o ile stae modelu bd liczbami dodatnimi i 0 1&lt; [32].</p><p>na rysunku 2.4 porwnano charakterystyki klasycznego i uamkowego modelu maxwella, gdzie jest bezwymiarow czstoci drga, a wartoci obu moduw naley pomnoy przez k.</p><p>moliwe jest zastosowanie modeli uamkowych o wikszej liczbie parametrw; np. modeli czteroparametrowych pokazanych schematycznie na rysunku 2.5.</p><p>Rys. 2.4. Porwnanie charakterystyk klasycznego i uamkowego modelu maxwella</p><p>Rys. 2.5. schematy uamkowych modeli czteroparametrowych</p><p>w opisie pyt i belek wykonanych czciowo lub cakowicie z materiau o wa-ciwociach lepkosprystych czsto korzysta si z modelu sztywnoci zespolonej [33]. model ten nie jest stosowany do opisu dynamicznego zachowania tumikw lepkosprystych. </p></li><li><p>177Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych...</p><p>3. Identyfikacja parametrw lepkosprystych tumikw drga</p><p>model tumika powinien dobrze opisywa zmiany waciwoci tumika w za-lenoci od czstoci wymuszenia. Parametry modeli tumikw lepkosprystych ustala si na podstawie wynikw bada dynamicznych tumika. Badania naley przeprowadzi w znanej, najlepiej staej, temperaturze. Zazwyczaj tumik poddawany jest dziaaniu obcie harmonicznie zmiennych [7, 34]. mierzy si stan ustalony drga (przemieszczenie kocw tumika i si panujc w tumiku). </p><p>Problem identyfikacji parametrw modelu tumika formuuje si jako zadanie poszukiwania minimum funkcji celu, zazwyczaj o postaci [18]:</p><p>2 2</p><p>1 ( ) [( ' ( ) '( )) ( " ( ) "( )) ],</p><p>m</p><p>eks i i eks i ii</p><p>J K K K K =</p><p>= + (3.1)</p><p>gdzie ' i "eks eksK K to odpowiednio modu sztywnoci dynamicznej i modu tu-mienia wyznaczone na podstawie danych dowiadczalnych.</p><p>istotnymi ograniczeniami problemu optymalizacji s wymagania dodatnich wartoci parametrw modelu reologicznego. Problem identyfikacji moe by le uwarunkowany ze wzgldu na istnienie bdw pomiarowych.</p><p>Poniej pokrtce omwiono za prac [26] procedur identyfikacji parame-trw czteroparametrowych, uamkowych modeli reologicznych pokazanych na rysunku 2.5. Procedura skada si z dwch czci. w pierwszej czci zmierzone funkcje przemieszcze dynamicznych qe(t) i siy w tumiku ue(t) aproksymuje si funkcjami harmonicznie zmiennymi tzn. </p><p> ( ) cos sin , ( ) cos sin .c s c sq t q t q t u t u t u t = + = + (3.2)</p><p>Parametry , , orazc s c sq q u u wyznacza si za pomoc metody najmniejszych kwadratw. Przykadowo, parametry orazc sq q wyznacza si, minimalizujc funkcjona o postaci:</p><p>2</p><p>1</p><p>21</p><p>2 1</p><p>1( , ) [ ( ) ( )] ,t</p><p>c s et</p><p>J q q q t q t dtt t</p><p>= (3.3)</p><p>gdzie symbolem qe(t) oznaczono zmierzon funkcj przemieszcze tumika, a ic sq q wyznacza si, rozwizujc ukad rwna o postaci:</p><p> , ,cc c sc s cq sc c ss s sqI q I q I I q I q I+ = + = (3.4)</p><p>gdzie</p></li><li><p>178 R. Lewandowski</p><p>2 2 2</p><p>1 1 1</p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>2 2cos , sin , sin cos ,</p><p>( )cos , ( )sin .</p><p>t t t</p><p>cc ss cs sct t t</p><p>t t</p><p>cq e sq et t</p><p>I tdt I tdt I I t tdt</p><p>I q t t dt I q t t dt</p><p>= = = =</p><p>= =</p><p>(3.5)</p><p>w podobny sposb wyznacza si parametry i .c su u w pierwszym etapie identyfikacji nastpuje wygadzanie wynikw eksperymentalnych i usunicie czci bdw pomiarowych. Powysze obliczenia przeprowadza si dla wszystkich czstoci wymuszenia, dla ktrych wykonano badania ek...</p></li></ul>

Recommended

View more >