Program Linear

  • Published on
    06-Jul-2015

  • View
    1.270

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

Bab

1Su m b : er dia ne w ka .b hy lo p gs ot .co m

Program LinearPada bab ini, Anda diajak menyelesaikan masalah program linear dengan cara membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear, menentukan model matematika dari soal cerita, menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear, dan menerapkan garis selidik.

Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Program linear perlu dipelajari di SMK karena dalam kehidupan sehari-hari, Anda sering menemukan berbagai persoalan yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum (masalah optimasi) dengan sumber terbatas. Masalah-masalah tersebut sering dijumpai dalam bidang industri, jasa, koperasi, juga dalam bidang perdagangan. Salah satunya adalah permasalahan berikut. Rina, seorang lulusan SMK Tata Boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin makanan tradisional asal Jawa Barat, yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 500 gram tepung beras ketan dan 300 gram gula. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 400 gram tepung beras ketan dan 200 gram gula. Rina memiliki persediaan 15 kg tepung beras ketan dan 8 kg gula. Keuntungan dari satu adonan kue lupis Rp30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp25.000,00. Bagaimanakah model matematika dari permasalahan program linear tersebut agar Rina mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya?

A. GrafikHimpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear B. ModelMatematika dariSoalCerita C. MenentukanNilai Optimumdari FungsiObjektif padaSistem Pertidaksamaan Linear D. MenentukanNilai Optimumdengan GarisSelidik

Program Linear

1

Peta KonsepMateri mengenai Program Linear dapat digambarkan sebagai berikut.

Program Linearuntuk mencari

Nilai Optimumdiselesaikan dengan

Dari Fungsi Objektif

Uji Titik Pojok

Metode Garis Selidik

dihasilkan

Nilai Maksimum

Nilai Minimum

Soal PramateriKerjakanlah soal-soal berikut sebelum Anda mempelajari bab ini.1. Gambarlah pertidaksamaan berikut pada sistem koordinat Cartesius. a. x + y < 2 b. 2x 3y > 1 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dalam bentuk grafik. a. x y > 1 b. 5x + 2y > 9 c. 3x y < 8 d. 2x + 4y > 6

2

Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

A GrafikHimpunanPenyelesaian Sistem Pertidaksamaan LinearPada materi program linear, Anda akan mempelajari sistem persamaan linear seperti contoh berikut. ax + by r cx + dy s x0 y0 Namun, sebelum Anda mempelajari program linear sebaik nya Anda terlebih dahulu mempelajari cara membuat grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Kata Kunci grafik pertidaksamaan linear daerahhimpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear

1. GrafikPertidaksamaanLinearDua VariabelPertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu per tidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel yang masingmasing variabel berderajat satu dan tidak terjadi perkalian antarvariabelnya. Bentukbentuk pertidaksamaan linear dua peubah dengan a, b, c R serta x dan y peubah adalah: ax + by < c ax + by c ax + by > c ax + by c Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua titik (x, y) pada sistem koordinat Cartesius yang memenuhi per tidaksamaan linear dua peubah. Misalnya, untuk menggambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear ax + by c maka terlebih dahulu gambarlah garis ax + by = c yang c memotong sumbux di ( , 0) dan memotong sumbuy di a c (0, ). Kemudian, ambil satu titik lain di luar garis. Jika titik b yang diambil memenuhi ax + by c maka daerah yang diarsir adalah daerah di mana titik tersebut berada. Daerah arsiran tersebut merupakan himpunan penyelesaiannya. Sebaliknya, jika titik yang diambil tidak memenuhi ax + by c maka daerah yang diarsir adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.

Program Linear

3

Apabila pertidaksamaannya menggunakan tanda > atau < maka garis digambar putusputus. Titiktitik yang berada pada garis tersebut bukan merupakan penyelesaiannya. Apabila pertidaksamaannya menggunakan tanda atau maka garis digambar tidak putusputus. Titiktitik yang berada pada garis tersebut merupakan penyelesaiannya. Agar Anda lebih memahami penjelasan tersebut, per hatikanlah cara penyelesaian soal berikut. Contoh Soal 1.1Tentukanlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear, jika x dan y bilangan real. a. 2x + 3y 6 b. 3x + 4y 12 Jawab: a. Grafik 2x + 3y 6 Langkahlangkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut. 1) Menentukan batas daerahnya, yaitu gambarlah garis dengan persamaan 2x + 3y = 6 pada bidang Cartesius. Jika x = 0 maka y = 2 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbuy adalah (0, 2) Jika y = 0 maka x = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbux adalah (3, 0) 2) Menentukan uji sebarang titik, yaitu menentukan daerah yang memenuhi 2x + 3y 6. Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis 2x + 3y = 6, misalnya titik O(0, 0) maka diperoleh 20+306 06 Jadi, titik O(0, 0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian. Dengan demikian, daerah yang diarsir pada gambar di samping menunjukkan himpunan penyelesaian 2x + 3y 6. b. Grafik 3x + 4y 12 Langkahlangkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut. 1) Menentukan batas daerahnya, yaitu gambarlah garis dengan persamaan 3x + 4y 12 pada bidang Cartesius. Jika x = 0 maka y = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbuy adalah (0, 3) Jika y = 0 maka x = 4 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbux adalah (4, 0) 2) Menentukan uji sebarang titik, yaitu menentukan daerah yang memenuhi 3x + 4y 12. Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis 3x + 4y = 12, misalnya titik O(0, 0) maka diperoleh 3 0 + 4 0 12 0 12 (salah)

y 2x + 3y = 6 (0, 2)

Bukan daerah penyelesaian

(3, 0) Daerah penyelesaian O x

y Daerah penyelesaian (0, 3)

O Bukan daerah penyelesaian

x (4, 0) 3x + 4y = 12

4

Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

Jadi, titik O(0, 0) tidak terletak pada daerah himpunan penyelesaian. Daerah yang diarsir pada gambar menunjukkan himpunan penyelesaian 3x + 4y 12.

Kegiatan Siswa 1.1Buatlah kelompok yang beranggotakan empat orang siswa. Setiap anggota kelompok menentukan daerah penyelesaian dan anggota daerah penyelesaian dari salah satu soal-soal berikut. 1. 4x + 3y 12 3. 4x + 3y < 12 2. 4x + 3y 12 4. 4x + 3y > 12 Kemukakan hasil yang telah Anda peroleh di depan kelas. Kesimpulan apa yang dapat diambil?

Soal PilihanSoalTerbuka Pertidaksamaan 2x 3y12memiliki daerah himpunan penyelesaian seperti pada grafikCartesiusberikut. x 2x 3y = 12

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelSistem pertidaksamaan linear adalah sistem yang kom ponenkomponennya terdiri atas sejumlah pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Jika Anda memperoleh penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian untuk satu sistem, bukan penyelesaian masingmasing pertidaksamaan. Contoh Soal 1.2Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut dengan x dan y . a. 3x + 2y 6 x0 y0 b. 2x + y 6 x + 3y 9 x0 y0 Jawab: a. Langkah pertama menggambar grafik himpunan penyelesaian adalah menentukan daerah himpunan penyelesaian untuk masingmasing pertidaksamaan, kemudian tentukan daerah irisannya. Menentukan daerah penyelesaian 3x + 2y 6 Titik potong garis 3x + 2y = 6 dengan sumbux dan sumbuy adalah (0, 3) dan (2, 0).

O 4

6

Titik O(0, 0) merupakan salah satu anggota daerah himpunan penyelesaian. Tentukanlah titik-titik lain yang juga merupakan anggota daerah himpunanpenyelesaian.

Program Linear

5

y 3 (0, 3) (2,0) 2

O Daerah penyelesaian 3x+2y 6

x

3x+2y = 6

Ambilsebarangtitikdiluargaris3x+2y=6.Misal,ambil O(0,0).Substitusikankedalampertidaksamaan3x+2y6. Untukx=0dany=0,titiktersebutmemenuhipertidak samaansehinggatitikO(0,0)merupakananggotahimpunan penyelesaian3x+2y6. Daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar di samping Menentukandaerahx 0 Pertidaksamaanx0artinyasemuanilaixyangdimaksud bernilai positif. Pernyataan ini digambarkan oleh grafik padagambarberikut.y Nilaixpositif

x

Menentukandaerahy 0 Pertidaksamaany0artinyasemuanilaiyyangdimaksud bernilai positif. Pernyataan ini digambarkan oleh grafik padagambarberikut.y Nilaiy positif x

Daerahhimpunanpenyelesaiansistempertidaksamaan3x+2y 6, x 0, y0merupakanirisandaridaerahhimpunanpenyelesaian 3x+2y 6, x0,dany0yangtelahdijelaskansebelumnya. Daerah irisan yang menjadi daerah himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan3x+2y 6, x0,dany0ditunjukkan olehdaerahyangdiarsirpadagambarberikut.y Daerahpenyelesaian sistempertidaksamaan 3x+2y 6, x 0, y 0 (0, 3) (2,0) x 3x+2y = 6

b. Dengancarayangsama,diperolehdaerahhimpunanpenyeesaian l sistempertidaksamaan2x + y 6, x + 3y 9, x 0, y0,yaituirisan daerahhimpunanpenyelesaianelemenelemensistemtersebut.

6

Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

Daerahhimpunanpenyelesaian2x + y 6y (0, 6)

(3, 0) 0 9 2x + y = 6 x

Daerahhimpunanpenyelesaianx + 3y 9y

Jelajah

Matematika(0, 3) x + 3y = 9 Simbol > dan < untuk "lebih besar dari" dan "lebih kecil dari" telah ada sejak karya Thomas Harriot yang berjudul Artist Analyticae Praxis dipublikasikan pada tahun 1631. Simbol yang diperkenalkan Harriot merupakan simbol yang paling umu