Proj Cotadas

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    25-Oct-2015

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<ul><li><p> 1</p><p>PROJEES COTADAS </p><p> Paulo Srgio Brunner Rabello </p><p>Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro </p><p>Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal Fluminense </p><p>Ex-Professor da Universidade Santa rsula Livre-Docente em Construo Civil </p><p>Especializado em Geometria e Representao Grfica </p><p>Cabo Frio, 11 de junho de 2007 </p></li><li><p> 2</p><p> 1.0 - DESCRIO DO MTODO </p><p>O mtodo das projees cotadas foi idealizado por Fellipe Bache em meados do sculo XVIII com a finalidade precpua de executar o levantamento hidrogrfico do canal da Mancha. </p><p>Posteriormente, com o incremento das guerras napolenicas, a utilizao deste mtodo foi estendida para usos militares e posteriormente aplicado em projetos de estradas, ferrovias e obras de terra. </p><p>No mtodo de Monge, a relao entre o valor da cota de um ponto e o do seu afastamento limitada. No possvel representar em pura as projees de pontos em que haja disparidade considervel entre suas cotas e seus respectivos afastamentos. O mtodo das projees cotadas supre exatamente essa deficincia observada no mtodo de Monge, embora a aplicao das operaes fundamentais projetar (por um ponto) e cortar (por um plano) seja mantida. </p><p>No mtodo das projees cotadas ou, simplesmente, em projees cotadas, o centro projetivo imprprio, as projees so cilndricas- ortogonais e s h um plano de projeo. </p><p>Esse plano, suposto sempre horizontal, chamado plano de comparao designado tambm por (). As cotas so indicadas algebricamente tornando desnecessria a existncia de outro plano de projeo para amarrar as figuras do espao. </p><p>Figura 01 </p></li><li><p> 3</p><p> Da figura 01, depreende-se que: d{(A),A(a)} = a d{(B),B(b)} = b d{(C),C(c)} = c ------------------- d{(N),N(n)} = n Nos projetos em que imprescindvel conhecer a topografia do </p><p>terreno onde ser executada uma obra de engenharia, a aplicao desse mtodo insupervel. 2.0 - ESCALAS </p><p>A utilizao do mtodo das projees cotadas envolve, na prtica, figuras de grandes dimenses fazendo com que sejam adotados critrios para relacionar as dimenses da figura representada com as dimenses da figura real (figura objetiva). Esta relao chamada escala. </p><p>Tem-se ento que E = d / D. onde d a dimenso de um elemento da figura representada graficamente e D a dimenso do elemento correspondente da figura real. Exemplo: </p><p>Se uma viga reta de 10 metros de comprimento representada graficamente por um segmento retilneo de 5 centmetros, a escala adotada foi: E = 5 cm/10 m ou E = 5 cm/1000 cm ou ainda E = 1/200 </p><p>Isto significa que cada centmetro desenhado corresponde a 200 cm (ou 2 m) da figura real. </p><p>Quando a representao grfica menor que a figura real, trata-se de uma escala de reduo, que o caso mais geral nos projetos de engenharia. </p></li><li><p> 4</p><p>Em caso contrrio trata-se de uma escala de ampliao. A representao grfica de mecanismos de relgios de pulso um exemplo de escala de ampliao. </p><p> costume adotar a indicao de escalas atravs de quocientes entre valores algbricos ou relaes percentuais. Exemplo: </p><p>Se na representao de um objeto adotou-se E = 1/25, pode-se escrever: E = 1/25 ou E = 1:25 ou ainda E = 4% </p><p>As escalas podem ser tambm grficas, bastando para isso que se indique no desenho a unidade grfica adotada. </p><p>Esse procedimento comum nos mapas geogrficos e nas cartas nuticas. Exemplo: </p><p> figura 02 </p><p> 3.1 - ESTUDO DO PONTO 3.1 - REPRESENTAO </p><p>Como a representao grfica feita apenas sobre um plano de projeo sobre o plano de comparao, como j foi dito a representao de pontos em projees cotadas feita por letras maisculas com a indicao das respectivas cotas entre parnteses. </p><p>A pura, nesse tipo de representao, muito simples e no tem, obviamente, linha de terra. </p></li><li><p> 5</p><p> figura 03 </p><p> Se o ponto est acima do plano de comparao, sua cota </p><p>positiva. Se estiver abaixo negativa. Se o ponto pertencer ao plano de comparao, sua cota </p><p>nula. O plano de comparao o lugar geomtrico dos pontos de </p><p>cota nula. 3.2 DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS </p><p>Dados dois pontos objetivos (A) e (B), determinar a distncia d{(A), (B)} determinar o comprimento do segmento de reta que une (A) e (B) sendo conhecidas as projees A(a) e B(b). </p><p> figura 04 </p></li><li><p> 6</p><p>Para resolver o problema o procedimento inicial rebater o plano vertical que contm os pontos (A), (B), A(a) e B(b) sobre um plano horizontal que pode ser o prprio plano de comparao, tal como mostrado na figura 04. </p><p>Pela projeo de cada ponto, traam-se perpendiculares ao segmento A(a) B(b). </p><p>Sobre cada uma das perpendiculares marcam-se as grandezas das cotas respectivas, determinando os pontos A1 e B1, tais que A(a)A1 = a e B(b) B1 = b, respeitando o sinal de cada um. </p><p>O segmento A1 B1 pois a soluo grfica do problema. A soluo tambm pode ser dada algebricamente: </p><p> d = A1 B1 = d (A)(B) mas, d = {A(a), B(b)} + (b a), </p><p>ento, teremos: d = [{A (a), B (b)} + (b a)] </p><p>figura 05 </p></li><li><p> 7</p><p>Se um dos pontos tem cota negativa, o procedimento o mesmo, porm deve-se atentar para que o rebatimento dos pontos seja feito em lados distintos do segmento que une as projees dos pontos. </p><p>figura 06 d = d1 + d2 = A1 O1 + O1 B1 d1 = [{A (a) O (o)} + (-a)] d2 = [{O (o) B (b)} + b] d = [{A (a) O (o)} + a] + [{O (o), B(b)} + b] </p><p>Observando a figura pode-se afirmar tambm que: d = [{A (a) B (b)} + (a + b)] </p></li><li><p> 8</p><p> 4.0 ESTUDO DA RETA 4.1 - REPRESENTAO </p><p>Uma reta fica definida quando se conhecem, pelo menos, dois de seus pontos. Assim, a representao de uma reta em projees cotadas fica determinada quando so conhecidas as projees de dois de seus pontos. </p><p>Em pura, a projeo de uma reta representada por um segmento retilneo e identificada pelas projees de dois de seus pontos ou por uma letra minscula livre. </p><p> s(5) </p><p> figura 07 </p><p> 4.2 POSIES DE UMA RETA EM RELAO AO PLANO DE COMPARAO </p><p>Supondo uma reta (r) dada pelas projees de dois de seus pontos A (a) e B (b), em relao ao plano de comparao (), a reta (r) pode estar: - inclinada (reta qualquer) : a b - paralela (reta horizontal) : a = b (inclusive a = b = O) - perpendicular (reta vertical) : A (a) B (b), onde a b </p></li><li><p> 9</p><p> 4.3 PERTINNCIA DE PONTO A RETA </p><p>Para que um ponto pertena a uma reta condio necessria e suficiente que a projeo do ponto esteja sobre a projeo da reta e que a cota do ponto seja a mesma da reta onde as projees de ambos so coincidentes. </p><p>Para marcar um ponto sobre uma reta ou verificar se um ponto pertence a uma reta, basta que se rebata a reta sobre um plano horizontal e se encontre na reta a cota correspondente a do ponto em questo. </p><p>Sendo dada uma reta (r) pelas projees de seus pontos A(a) e B(b), verificar se um ponto (M) de cota m pertence a (r) ou encontrar em (r) um ponto (N) de cota n, so problemas que so resolvidos por operaes semelhantes. </p><p>Inicialmente rebate-se (r) sobre () fazendo de r o eixo de rebatimento, obtendo-se r1. </p><p>Para saber se (M) pertence a (r) basta que se verifique em r1 se na posio de M (m) sobre r a cota de (r) m. </p><p>Para marcar um ponto (N) de cota n em (r), basta que se determine o ponto N1 de cota n em r1. Alando N define-se a posio de N (n) em r. </p><p>figura 08 </p></li><li><p> 10</p><p>Exemplo: Dada a reta (r) pelos seus pontos cotados A(1,5) e B(3,7), </p><p>determinar o ponto (C) de cota c = 2,5, sabendo-se que d (A,B) = 7,5. A soluo tanto pode ser grfica como analtica. </p><p> soluo grfica: un: metro esc: 1:100 </p><p>figura 09 soluo algbrica: O problema resolvido quando se determina a posio de C (2,5) em relao a A(1,5) ou B(3,7). Da geometria elementar, temos: </p></li><li><p> 11</p><p> d (A, C) / d (A, B) = (c-a) / (b-a) =&gt; d (A, C) = d (A, B) x (c-a) / (b-a) d (A,C) = (7,5 x 1,0) / 2,2 = 3,41m 4.4 PONTOS DE COTA REDONDA </p><p>So pontos da reta cujas cotas so nmeros inteiros, tais como: </p><p>A(3), B(7), C(0), D(103), E(-7), E(-43), etc. </p><p>A marcao de pontos de cota redonda de uma reta nada mais do que determinar, na projeo da reta, projees de pontos de cota conhecida, conforme visto anteriormente. Exemplo: Determinar os pontos de cota redonda de uma reta (r) situados entre dois de seus pontos (A) e (B). dados: A (-1,3) B (3,4) d (A,B) = 8 </p></li><li><p> 12</p><p> figura 10 </p><p> 4.5 DECLIVE E DECLIVIDADE Uma reta genrica forma com o plano de comparao e com qualquer outro plano paralelo a ele um ngulo () que, na verdade, o ngulo que a reta objetiva faz com a sua prpria projeo. </p><p> figura 11 </p><p> O ngulo () identifica o declive (ou inclinao) da reta. A diferena de cotas entre dois pontos conhecidos da reta representado por h. A distncia entre as projees desses dois pontos representa-se por d. Da trigonometria temos: tg = h / d Da figura temos: h = n - m e d = d (M,N) Teremos, ento que tg = (n m) / d (M, N) </p></li><li><p> 13</p><p> Chama-se declividade de uma reta tangente do ngulo () determinado pela reta objetiva e sua projeo. Designa-se a declividade por p. Quando a diferena entre as cotas de dois pontos igual unidade, ou seja, h = 1, a distncia correspondente chamada intervalo. Designa-se o intervalo por i. Logo, a declividade o inverso do intervalo. Como a declividade uma relao entre cota e distncia, costuma-se indic-la de outras formas: Exemplo: d = 1/4 ou d = 1 : 4 ou ainda d = 25% 4.6 GRADUAO DE RETAS </p><p>Graduar uma reta determinar a sua escala de declive. Esta operao nada mais do que marcar os pontos de cota </p><p>redonda da reta que forem necessrios para resolver o problema. O exemplo mostrado no item 4.4 suficiente para tal. </p><p> 4.7 POSIO RELATIVA ENTRE RETAS </p><p>Duas retas quaisquer do espao retas objetivas, portanto podem admitir, ou no, um ponto comum. </p><p>Se as retas admitem ponto comum elas so concorrentes. Se o ponto comum um ponto prprio as retas so ditas </p><p>concorrentes em prprio ou, simplesmente, concorrentes. Se o ponto comum imprprio, as retas so ditas paralelas. Se as retas no admitem ponto comum entre elas so </p><p>reversas. 4.7.1 RETAS CONCORRENTES </p><p>Quando duas retas so concorrentes, suas projees so necessariamente concorrentes num ponto cuja cota ser a mesma </p></li><li><p> 14</p><p>para as duas retas naquele ponto, independente da escala de declive de cada uma delas. A figura 12, a seguir, mostra exemplos de retas concorrentes. </p><p> figura 12 </p><p> 4.7.2 RETAS PARALELAS </p><p>Quando duas retas so paralelas, suas projees so necessariamente paralelas e suas escalas de declive, alm de iguais, tem o mesmo sentido. </p><p>A figura 13, a seguir, mostra exemplos de retas paralelas </p><p> figura 13 </p><p> 4.7.3 RETAS REVERSAS </p><p>Quando duas retas so reversas podem ocorrer os seguintes fatos: 1) As projees das retas concorrem num ponto. Nesta caso as retas tem cotas diferentes nesse ponto, tal como </p><p>mostrado na figura 14. </p></li><li><p> 15</p><p> figura 14 </p><p> 2) As projees das retas so paralelas. </p><p>Neste caso, as retas tm escalas de declive diferentes que, caso sejam iguais, tero sentido contrrio, tal como visto na figura 15, a seguir. </p><p> figura 15 </p><p> 4.7.4 RETAS PERPENDICULARES </p><p> um caso particular de concorrncia de retas. Ocorre quando o ngulo entre elas reto. </p><p>Se uma das retas horizontal, o ngulo reto se projeta em verdadeira grandeza e, independente das escalas de declive, as suas projees so tambm perpendiculares. </p><p>Se as retas so quaisquer, podem pertencer a um plano vertical ou a um plano qualquer. </p></li><li><p> 16</p><p>Em ambos os casos, ser necessrio rebater o plano que contm as retas sobre um plano horizontal para solucionar o problema. </p><p>Sejam ento dadas as projees e a escala de declive de uma reta (r) e o problema seja determinar a projeo e a escala de declive de uma reta (s) perpendicular a (r) num ponto de cota conhecido, sabendo-se que (r) e (s) pertencem a um mesmo plano vertical. </p><p>O procedimento o seguinte: 1) Rebate-se a reta (r) sobre um plano horizontal que pode ser o prprio plano de comparao; 2) Marca-se a escala das cotas; 3) Localiza-se o ponto P1 em r, e traa-se a perpendicular s, a r, por O1; 4) Na cota (p-1) traa-se uma paralela a r que corte r1 em R1 e o prolongamento de s1 em S1; 5 Traa-se por P1 uma perpendicular a r que corta o segmento R1S1 em Q1. </p></li><li><p> 17</p><p>figura 16 No tringulo R1P1S1 temos: </p><p> tg = P1Q1 / R1Q1 tg = 1 / i r = p r tg = Q1S1 / P1Q1 tg = i s / 1 = 1 / ps </p><p>Ento, teremos: p r = 1 / ps </p><p>Ou seja: a declividade de uma reta o inverso da declividade de outra reta que lhe seja perpendicular. </p><p>Se o plano das retas um plano qualquer, o procedimento semelhante mas este caso ser visto aps o estudo de planos. 5 ESTUDO DO PLANO 5.1 REPRESENTAO </p><p>Em projees cotadas um plano fica perfeitamente caracterizado por sua reta de maior declive. </p><p>Sua representao feita por dois segmentos retos paralelos, devidamente graduados. </p><p>Normalmente, um dos segmentos mais espesso que o outro, mas ambos devem estar bem prximos. </p><p> figura 17 </p><p> Como resultado de sua prpria definio, as retas de maior </p><p>declive de um plano so todas paralelas entre si e perpendiculares a todas as retas horizontais do plano considerado. </p></li><li><p> 18</p><p>A horizontal de cota nula ser o trao do plano no plano de comparao. </p><p> figura 17 </p><p> 5.2 DETERMINAO </p><p>Da geometria elementar sabe-se que um plano fica determinado quando so conhecidos, pelo menos: - trs pontos so colineares; - uma reta e um ponto que no lhe pertence; - duas retas concorrentes em ponto prprio ou imprprio. </p><p>Um plano fica definido por uma de suas retas de maior declive e esta fica determinada quando se graduam, pelo menos, duas retas desse plano. </p><p>Unindo-se os pontos de mesma cota de cada uma delas por segmentos retilneos, obtm-se as horizontais do plano. </p></li><li><p> 19</p><p>Qualquer perpendicular a essas horizontais ser uma reta de maior declive desse plano, cuja graduao fica determinada pela cota de cada horizontal. </p></li><li><p> 20</p><p> figuras 18-a e 18-b </p><p> 5.3 PERTINNCIA DE PONTO A PLANO </p><p>Para que um ponto pertena a um plano, basta que o ponto pertena a uma reta desse ponto. </p><p>No mtodo das projees cotadas, para que um ponto pertena a um plano, basta que o ponto pertena horizontal do plano cuja cota a mesma do ponto. A figura 19 mostra tal condio. </p></li><li><p> 21</p><p> figura 19 </p><p> 5.4 PERTINNCIA DE RETA A PLANO </p><p>Para que uma reta pertena a um plano basta que dois pontos da reta pertenam a esse plano. </p><p>No mtodo das projees cotadas, tomam-se dois pontos quaisquer da reta de cotas conhecidas e verifica-se se pertencem ao plano, da mesma forma exposta em 4.3. </p><p>As figuras 20-a e 20-b mostram tal condio. </p></li><li><p> 22</p><p>figuras 20-a e 20-b </p><p> 5.5 POSIO RELATIVA ENTRE PLANOS </p><p>Dois planos quaisquer do espao planos objetivos admitem sempre uma reta comum. </p></li><li><p> 23</p><p>Se a reta comum prpria os planos so concorrentes e a reta comum chamada interseo dos dois planos ou ainda, o trao de um sobre o outro. </p><p>Se a reta comum imprpria os planos so paralelos. 5.5.1 PLANOS CONCORRENTES / INTERSEO DE PLANOS </p><p>A interseo de dois planos uma reta cujos pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. </p><p>No caso de projees cotadas, a reta de interseo de dois planos determinada pelos pontos de interseo das horizontais de mesma cota de cada plano, como pode ser visto nas figuras 21-a e 21-b. </p></li><li><p> 24</p><p>figuras 21-a e 21-b 5.5.2 PLANOS PARALELOS </p><p>Quando d...</p></li></ul>