Rapport Projet Dds

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Ce projet relate l'tude frquentielle la fois thorique, pratique et numrique d'une structure en acier soumis une exitation de type dirac.

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ProjetdeMcaniqueduSolidetude vibratoire dun portiqueAntoine Dauphin, Jean-Baptiste de Vaulx25 avril 2012Tabledesmatires1 Approche exprimentale 71.1 Lanalyse modale exprimentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Introduction la fonction de rponse en frquence laide de los-cillateur lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Dmarche de lanalyse modale exprimentale . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Mthode de mesure dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5 Quelques moyens de mesure dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6 Mthode dextraction modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.7 Limites de lanalyse modale mthode SDOF. . . . . . . . . . . . . 141.2 Prsentation du systme et du dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Le systme tudier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Le dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Rsultats exprimentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Obtention des deux premiers modes et analyse des incertitudes . . 191.3.2 Rciprocit et Reproductibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Obtention des dformes propres exprimentalement . . . . . . . . 231.3.4 Inuence de la position de lacclromtre sur la structure . . . . . 241.3.5 Dtermination des frquences propres exactesdu portique . . . . 272 Approche thorique 292.1 Un degr de libert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Quatre degrs de libert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Dmarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 champ de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 Matrices lmentaires et assemblage du problme . . . . . . . . . . 372.2.4 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.5 Prise en compte du capteur de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Approche numrique 513.1 Prsentation succincte des notions cls du logiciel . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Un premier modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.1 tape 1 : Cration et maillage de la bre moyenne de la structure . 533.2.2 tape 2 : Dnition des paramtres physique du matriaux consti-tutif de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.3 tape 3 : Dnition des conditions aux limites . . . . . . . . . . . 593Table des matires Table des matires3.2.4 tape 4 : Dnition des paramtres gomtrique des lments nis 623.2.5 tape 5 : dnition de ltude souhaite . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.6 tape 6 : paramtrisation du solveur et rsolution . . . . . . . . . 653.2.7 tape 7 : visualisation des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.8 Prise en compte de la masse du capteur . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Modle de la tle plie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 Synthse 734.1 Avantages et inconvnients de chaque mthode . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Confrontation des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.1 Les frquences propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754IntroductionLe problme des vibrations est un problme que lon retrouve dans de nombreux do-maines. Ainsi seronttudieslesvibrationsauseindesvoiesferresetdesponts, lesvibrations dans les disques et les aubes de turbines, les vibrations de torsion des arbreset des trains dengrenage, etc... Il sagit par exemple de dimensionner les divers organesdun mcanisme an de maintenir le systme soumis aux vibrations aussi loin que pos-sible des conditions critiques de rsonances, conditions auxquelles risquent de se produireles grandes vibrations. Lenjeu est de taille : citons par exemple leondrement du pontdeTacoma, en1940ocelui-ci staitmisoscillerfortementsouslactiondunventmodr denviron 70 km/h.Mais les vibrations, mme tenues loin de la rsonance, continuent avoir un impactnfaste sur la structure. Loin des conditions critiques, elles ne peuvent tre rduites austatutdinconvnientmineur.Eneet,lesvibrations,quelquesoitlafrquencedexci-tationdusystme, altrentlastructuremmedesmatriauxetdoncleurendurance.Elles peuvent aussi simplement engendrer des pertes de confort telles que de la pollutionsonore ou des sensations dsagrables.Dans tous les cas, il importe de les rduire et, pour cela, de les tudier.Nous allons, dans cette tude, tudier les vibrations dune poutre coude et encastre.An de mieux cerner le sujet et de pallier dventuelles erreurs, ltude des vibrations dela structure sera aborde de trois faons direntes : exprimentalement, thoriquementetnumriquement.Lenjeuprincipaldecestroisapprochesestlvaluationdesmodespropresduportique, cest--direladterminationdelalluredesdformationssubiesparlastructureauxfrquencesdersonance. Nousauronsdoncgalementaccsauxfrquences de rsonance du systme. Il sagira ensuite de confronter et de comparer, dansune dernire partie, les rsultats obtenus dans chaque approche.51Approcheexprimentale1.1Lanalyse modale exprimentale1.1.1DnitionLanalyse modale permet dtablir un modle du comportement vibratoire dune struc-ture en basses frquences. En identiant par la mesure les frquences, dformes modaleset amortissements modaux dun systme, on peut construire un modle analytique quipourra tre employ en simulation pour connatre le comportement dynamique de ce sys-tme dans dautres cas pratiques. En moyennes et hautes frquences la densit de modedevient trop importante pour que cette mthode soit applicable. Ces considrations demoyennes et hautes frquences dpendent du problme tudi : pour une simple poutreou plaque, le domaine dutilisation de lanalyse modale est beaucoup plus large que danslecasdunevoitureoudunbateauparexemple.Maisavanttoutechoseprcisonslesquelques hypothses de lanalyse modale exprimentale :Le systme est linaire dans la gamme des amplitudes tudiesLamortissement est suppos proportionnel et vrie la condition de Caughey.Lesystme,silestcontinu,peutsereprsenterparunsystmediscretolespa-ramtres sont exprims pour chaque nud du maillage (nombre de degr de liberttotal = nombre de nuds nombre de degr de libert par nud).Prcisonsquelecaractrelinairedusystmepeuttrevalidexprimentalementsilvrie les quatre proprits suivantes :La reproductibilit : deux excitations identiques espaces dans le temps donnerontune rponse en frquence similaire.Lhomognit : une mesure de rponse en frquence ne dpend pas du niveau dex-citation.La rciprocit : un systme mcanique linaire prsente une symtrie particulire quiest dcrite par le thorme de rciprocit de Maxwell. Cela implique que la rponseen frquence mesure entre deux degrs de libert quelconques est indpendante dufaitquelonchoisisselunoulautrecommeexcitationoucommerponse. Nousvrierons cette hypothse par la suite.La superposition : Si une excitation f1(respectivement f2) donne une rponse x1(respectivementx2), alors lexcitationf1 + f2 donne la rponsex1 + x2.7CHAPITRE 1. Approche exprimentale 1.1. Lanalyse modale exprimentale1.1.2Introduction la fonction de rponse en frquence laide deloscillateur lmentairemk,cmk,cf(t)x(t)Figure 1.1.1: Un oscillateur lmentaireO :Le dplacement est caractris parx(t)La force appliqu parf(t) m est la masse du systme, c son coecient damortissement et k celui de sa rigiditA laide de la deuxime loi de Newton, il est ais dtablir lquation direntielle sui-vante :m..x(t) + c.x(t) + kx(t) = f(t)Supposons que la force dexcitation soit de la forme suivante :f(t) = Fcos(t)Alors une solution particulire de lquation prcdente scrit :x(t) = Xcos(t + )A prsent, passons au symbolisme de Laplace :___x= Xej(t+)f= FejtLquation direntielle donne :(m2+ jc + k)Xej(t+)= FejtExprimons le rapport :H(j) =XF=1m_20 + 2j + (j)2avec___0=_km =c2m8CHAPITRE 1. Approche exprimentale 1.1. Lanalyse modale exprimentaleCette fonction complexe (appel aussi FRF) dcrit le rapport dplacement sur forceen fonction de la frquence. Celle-ci permet de dterminer la frquence de rsonance dusystme lorsquon la reprsente graphiquement. En eet, nous savons que le phnomnede rsonance intervient lorsque :Lamplitude de la FRF atteint un maximumLa partie relle de la FRF passe par0La partie imaginaire de la FRF atteint un minimum (ou maximum) localLes quatre graphiques ci-dessous illustrent la situation en montrant comment dterminerune frquence de rsonance :InertieStatique = 0Rsonnance = 0 3+ReIm(a) Trac deH(j) en fonction deStatiquePhase = 0,la massesuit laforceInertiePhase = -Pi,la masse nesuit plus laforceRsonnance damplitudePhase = Pi/2Amplitude Max(b) Diagrammes Amplitude/Phase+OrigineStatique, = 0Dbutamplification, 4Rsonance, = 5AmplitudemaxFinamplification, 6(c) Diagramme de NyquistRsonance, = 5Amplitude maxAmplitude max(d) Diagrammes Rel-Imaginaire9CHAPITRE 1. Approche exprimentale 1.1. Lanalyse modale exprimentaleAinsi, grce cette FRF, il est trs facile de dterminer graphiquement la frquencede rsonance du systme un degr de libert.Lorsquelonaaaireunsystmeoscillant ndegrs delibert, il sut justedeconsidrer que le comportement de cet oscillateur est une superposition du comportementden oscillateurs lmentaires, chaque oscillateur lmentaire correspondant un modepropre. Bien entendu, il est ncessaire que le systme n degrs de libert soit linaireet que lamortissement vrie la condition de Caughey.1.1.3Dmarche de lanalyse modale exprimentaleMesure dynamique : Exciter la structure, mesurer les entres et sorties de faon obtenir un ensemble de FRF : cest dire tablir un modle frquentiel exprimen-tal. Lors de notre exprience, les capteurs et lanalyseur bicanal nous permettronsdeectuer cela automatiquement.Analyse (ou extraction) modale : Identier les paramtres modaux (frquencespropres, amortissements et formes des modes) partir des mesures frquentielles :cest dire tablir un modle modal exprimental. Cest ce que nous ferons lorsquenous analyserons les courbes frquentielles que nous fourni