Razvoj matematičkog mišljenja i operativni

  • Published on
    30-Jul-2015

  • View
    46

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

Razvoj matematikog miljenja i operativni principiU ovom poglavlju bie ukazano na nekoliko osnovnih teorijskih elemenata za razvoj miljenja, koji su posebno znaajni za uenje matematike u koli.

4.1. Teorije razvoja miljenja4.1.1. Pijaeova teorija stadijumaDugogodinji eksperimenti Pijaea o razvoju miljenja i njegove teorije imaju temeljni znaaj za dananju psihologiju miljenja. Pijae je svoju teoriju prvi put predstavio u svojoj "Psihologiji inteligencije" (franc. 1947, nemako 3. izmenjeno izdanje 1992.). On polazi od toga da se miljenje razvija i odvija u vie stadijuma, svaki je obeleen specifinim dostignuima i svaki sledei oznaava napredak u odnosu na prethodni. U okviru ovog kursa zanimljiva su 3 glavna stadijuma, karakteristina za dete od predkolskog uzrasta do kraja kolovanja. A. Preoperacioni stadijum Ovaj stadijum obuhvata predkolski period (oko 2-6 godine); Pijae ga naziva stadijumom opaajne tj. preoperacione inteligencije. Miljenje deteta je vrsto povezano sa konkretnim delatnostima i neposrednim opaanjem. Tako je dete npr. u stanju da tri razliito velike lutke rasporedi na osnovu meusobnog uporeivanja po 2 lutke. Ali dete na-jee nije u stanju da to uini na osnovu predstave (to znai na osnovu slike, bez delanja. uporedivanja i proveravanja.Dete oigledno jo nije u stanju da misaono spoji potrebne operacije uporedivanja. Sa druge strane nije u stanju da neku izvedenu delatnost u mislima obrne. To pokazuje sledeci pokuaj: Kugla plastelina se preoblikuje u kobasicu. Dete misli da plastelina sada ima "vie", da je preoblikovanjem postao dui. Time postaje jasno, d a j e dete fiksirano na jednu dimenziju ("duina") i da zapostavlja drugu ("debljina").

B, Stadij um konkretnih operacijaOvaj drugi stadijum je karakteristian za dete u osnovnoj koli (oko 7-11 godina). Miljenje je dodue jo uvek povezano za konkretnim predstavama (neposredno opaanje ili prethodno iskustvo), ali je obeleeno sada ipak veom pokretijivou. Delatnosti miljenja postaju "sposobne za kompoziciju" (spojive) i "reverzibilne" (mogue ih je obr nuti). Pijae na ovakav nain obeleene delatnosti miljenja (samo takve) naziva "operacijama". Stadijum konkretnih operacija u rasporedu traka po duini je to to je dete sada u stanju da izvri "rasporeivanje" i da prepozna "nepromenljivost koliine" u eksperimentu sa plastelinom. Kao to je u odeijku A nagoveteno, rasporeivanje se zas niva na sposobnosti za kompoziciju, a prepoznavanje nepromenljivosti koliine na reverzibilnosti delatnosti miljenja. Na osnovu konkretnih operacija, uenik je u stanju da uspostavi osnovne matematike pojmove: koliina, broj, duina, sabiranje, odnos "manje od".....

Ovde bismo mogli da se susretnemo sa moguim nesporazumom, da pomislimo da se dete u osnovnoj koli sa ovako apstraktnim po jmovima snalazi samo u neposrednom kontaktu sa konkretnim stvarima. Ausubel napominje da nastajanju takvih pojmova mora da prethodi intenzivno konkretno-empirijsko iskustvo. Ako je pojam iz graen na takvoj iskustvenoj osnovi, onda ga dete koristi sa razumevanjem i ne mora da se stalno oslanja na konkretne prilike. (Tako uenik u osnovnoj koli moe ak i da "razume" apstraktnije relacije kao to je pojam deljivosti, ako ima jasnu predstavu o prirodnim brojevima i deljenju. Ovde se zasad, meutim, govori samo o onom to se principijelno moe postii, ali ne i o moguem "pogrenom razvoju", uporedi kasnije).

Indikativne su granice ovog stadijuma miljenja. Deca npr.esto jo nisu u stanju da reavaju zadatke ove vrste bez opaajnih pomonih sredstava: "Marko je vii od Petra, Marko je nii od Nikole. Koje najnii?" Na ovo pitanje deca esto daju taan odgovor tek u dobu od 12 godina. Pijae vidi razlog u tome, sto su pretpostavke date samo kao jeziki formulisane hipoteze i da se zakljuak mora nai formalnim putem (to znai bez oslanjanja na konkretne operacije). Zanimljivo je da isti zadatak sa konkretnim materijalom reavaju ve sedmogodinjaci. C. Siadijum formalnih operacijaOvaj stadijum se po Pijaeu dostie od oko 11-12 godina. Deca stoje na poetku hipoteticko-deduktivnog miljenja: "Ako vai to i to....... onda vai..-..". Dete polako postaje sposobno da zakljuuje isto formalno na osnovu pretpostavki, a da ne mora da se oslanja na opaanje ili iskustvo. Ovo je istovremeno situacija tipina za uznapredovala matematiku. Zakljuuje se formalno: Ako je a < b i b < c , onda je a < c . esto se razmilja hipotetiki (ne uzimajui u obzir mogunosti realizacije): Za 72 pare dobijaju se Za l paru dobilo bi se Za 3 dinara dobija se 3 jajeta. 3/72 jaja. 300 3/72 jaja.

Deduktivno se moe zakljuiti na ravnokrako-pravougaonom trouglu:

Sltka 4.3 Deduktivno zakljuivanje Uopteno gledano, uenik je sada sposoban da shvati apstraktna injenina stanja, da razume npr. dokaze i algebarske transformacije i da ih

sam sprovede. (Da li on to u kolskim uslovima zaista ume, drugo je pitanje.)D. Saeta etnaema 6 Stadijumi razvoja miljenj a kod Pijaea Starost 2-6 god.Stadij um Dostignue u miljenju

Pre operativni

Zasnovano na konkretnoj elatnosti i neposrednom opaanju, nema sposobnosti za kompoziciju ili reverzibilnost.Vezano za konkretne predstave, sposobnost za kompoziciju i reverzibilnost Nije vie vezano za konkretne oper acije, formalno-apstraktno, deduk- tivno, hipotetiki

7-11 god.

Konkretne operacije

od 12 god.

Formalne operacije

E. Napomene uz Pijaeovu teoriju stadijumaPijaeova teorija stadijuma razvoja uvek je iznova dovoena u pitanje kroz neka naknadna istraivanja. Ovde ne moemo da raspravljamo o njima, nego ih samo spominjemo da bismo nagovestili ta oigledno ima neku opravdanu osnovu, a ta ne.

Podaci o starosti se kod Pijaea moraju relativizovati; treba ih razumeti samo kao grube prosene vrednosti. Oni dakle ne dozvoljavaju nikakve zakljuke o starosti nekog odreenog uenika i njegovih dostignua u miljenju. Jedno je, meutim, uvek iznova utvreno: a to je principijelni sled takvih stadijuma sa tipinim dostignuima u miljenju, iako se u jednoj oblasti pojavljuju ranije, a u nekoj drugoj kasnije (upor. istraivanja takvih pomeranja kod Montada (Montada) (970 i razmiljanja kod Seiler-a (Zajler) 1972 uz "Specifinost oblasti kod razvoja miljenja", tumaenje "Stadijuma sazrevanja" Piaget-a kao nagomilanih efekata uenja (3) kod Gagne-a i na kraju teorijska razmiljanja o "Subjektivnosti oblasti iskustva" od Bauersfeld-a 1983}Pre nego to se kasnije vratimo na zakljuke iz Piaget-ove teorije za nastavu matematike, obratiemo panju na modifikacije ove teorije, koje se u didaktikom smislu ine vrlo plodnim.

4.1.2. Aebli-eva operativna metodaA. Modifikacija Pijaeove teorije po Aebli-u (Ebli)Razvoj miljenja, prikazan u prethodnom odeljku, po Piaget/Inhelder (nemaki 1972, 3. izdanje 1992) uglavnom se odreuje kroz etiri faktora:

1. Organski rast (sazrevanje),

2. Vebanje i iskustvo, 3. Socijalne interakcije (3) i prenoenja, 4. Aktivna kompenzacija nedostatnosti inteligen cije, Unutar jedne kulture Pijae uzima ukupnu delotvornost ovih fak tora kao uglavnom konstantnu. Razvojni stadijum miljenja se po Piaget- u uglavnom odreuje

starou. Razvoj se odvija manje ili vie "spontano" (to znai uglavnom bez spoljnih instrukcija), kroz "sporazumevanje" sa prirodom i socijalnom okolinom. Upravo ovde Aebli, u odnosu na Piaget-a, mnogo jae naglaava uslove vaspitanja, koji mogu imati ubrzavajue i l i usporavajue dejstvo. Pojedinano je Aebli (1963, novo izdanje 1989) naveo sledee varijable uslova:

kompleksnost i opaajnost predmeta, proces uenja tokom ogleda (na osnovu razliitog vremenskog trajanjai ponavljanja),

motivacija osoba koje uestvuju u ogledu. Piaget-ove stadijume Aebli dodue (1963 b) posmatra kao nuni sled koraka u razvoju miljenja, ali iz vise razloga nezavisno od starosti. Ako izvesni faktori (kao opaajnost, uenje uz delanje) imaju vei znaaj za decu nego za odrasle, onda to Aebli (upor. i 1963 b) smatra isto gradualnim razlikama. Treba pretpostavili: to je noviji sadraj miljenja za odraslog, toliko je i njemu potrebno vie opaajnost! za razumevanje.Sveukupno gledano pedagoki prostor kretanja se ini znatno veim kod Aebli-a nego kod Piaget-a. Aebli posmatra razvoj (u okviru svog sopstvenog stanovita u odnosu na Piaget-a) (upor. Aebli 1983, str. 383ff) kao sumu procesa uenja: spontanih, podreenih procesa uenja u porodici i svakodnevnici, sjedne strane, i usmeravanih procesa uenja u koli, sa druge strane (slino Gagne-u 1980 5), str. 144ff). Aebli se za nima, pre svega, za usmeravane procese uenja u koli, tj. za didaktiko pitanje, kako se neka operacija miljenja u glavi uenika moe izgraditi, unaprediti i uvrstiti. To je sadraj sledeih odeljaka.

B. Operacije miljenja kao predmet operativne me tode; primer iz matematikeOperacije miljenja u Piaget-ovom smislu-kao to je ve istaknuto u odeljku 4.1.1 B - obeleene su naroitom unutranjom pokretljivou: sposobnou, da se te operacije na razliiti nain misaono spajaju i obimi (sposobnost za "kompoziciju" i "reverzibilnost"). Izgradnja takvih oper acija miljenja u nastavi predmet je i zadatak Aebti-eve "operativne me tode". Sta je pri tome vano, pokazaemo na jednom primeru iz matematike: Sabiranje prirodnih brojeva je, prema Piaget-u i Aebli- u kao oper acija miljenja onda postignuto, kada su obuhvaene njena sposobnost kompozicije (znai komutativnost i asocijativnost u matematikom smislu) i njena reverzibilnost (to znai mogunost obrtanja kroz oduzi manje) i kada se sve to moe primeniti. To dolazi do izraaja u sposob nosti uenika, da varira i kontrolie put reavanja zadatka sabiranja: Na pr. 4+3+6 = 6+4+3; 11+4= 15, proba: 15-4= II

C. Internalizacija (pounutarnjivanje) operacije i operativna obradaZa delotvomu izgradnju neke operacij e u nastavi, po Aebli-u (1961 (5)), potrebno je "pounutarnjivanje" operacije i "operativna obrada". Pounutarnjivanje neke operacije sprovodi se po Aebii-u (1961, str. 102) u tri glavna stupnja:

"Na poetku stoji efektivno izvravanje na konkretnom predmetu. Na drugom stupnju predmet se prikazuje slikovito i uenik zamilja operaciju na osnovu toga. Na treem stupnju uenik koristi iskljuivo znakove, koji predstavljaju predmet i operaciju."

To bi dakle za uvoenje sabiranja znailo: Konkretni stupanj: Prvo uenici rade sa konkretnim materijalom (na pr. spajanje kocaka u petolane i trolane tapove),Figuraini stupanj: Prikaz (crte) uz pomo traka sastavljenih od kvadrata, Didaktika napomena: Ako se pojave tekoe, nastavnik treba da se vrati na raniji stupanj. Pounutarnjivanje operacije podupire se unapred i naknadno ver- balizacijom delatnosti na konkretnom i figuralnom stupnju. Ono odluujue pri tome nije uzimanje u obzir nekog odreenog redosleda stupnjeva u nastavi, jer to nema velikog uticaja na pounutarnji- vanje operacije. Mnogo je vanije, obezbediti, da doe do procesa unutar uenika, koji e ga kroz stalnu sopstvenu refleksiju o svom delanju i opaanju dovesti do predstave, pri emu opaajna pomo vie nije potrebna. (6). Zbog toga je naroito vano da se uenik navede da razmisli o opaenom i da se o tome izraava u smislu: gta sam uopte radio? Na primeru sabiranja moglo bi to ovako da izgle da: spojio sam tap od 5 kocki sa tapom od 3 kocke i ustanovio sam iz koliko kocki se sastoji dobijeni tap. Uenik onda treba dalje da razmilja: ta treba skici rati? (nakon toga moda pitanje: koja je jo delatnost predstavljena time?). Kako se to moe zabeleiti obinim brojevima? (Nakon toga, kada se vie ne moe videti crte: opisi crte (ili: delatnost) koja tome pripada.) Malo se preteralo sa stilizacijom. AH sta j e bitno? Svaki novi prikaz, svejedno da li u obliku crtea ili simbola, mora sa onim prethodnim da se dovede u to uu vezu. "Cilj je da se simbolikom prikazu da onaj znaaj, koji konkretni poseduje." (upor. Aebli 1983, str. 238). prikaz - Simboliki stupanj: Prikaz uz pomo brojeva i znakova operacije (u primeru 5+3=?),

Faze pounutarnjivanja saimaju se jednim prikazom od Aebli-a (1983, str.239) (upor. analogni prikaz po Lompscher-u u 4. l .5 b).2 3 4 5 a b c d

Slika 4.4. Pounutarnjivanje operacije po koracima

"Obeleeno je napredovanjem od delanja sa pravim predmetima (a) do razmiljanja o operaciji na osnovu njenih slika (b) i do operisanja znakovima (c). Faze l, 3 i 5 postupka obeleene su pukom upotrebom jednog od tri sredstva za prikazivanje, faze 2 i 4 su prelazne faze, u kojima se znaenje prethodnog sredstva za prikazivanje prenosi na novo. Na svakom stupnju se dobijene relacije formuliu i usmeno (d)".

Za nastavu iz toga, izmeu ostalog, proizlazi da se razliiti naini prikazivanja u pismenom fiksiranju zblie to je mogue vie i stave u jasni raspored, npr. ovako ili slino: Spajam 5 kocki i 3 kocke. Koliko kocki dobijam?Slika 4.5. Povezivanje naina prikazivanja Dobijam ukupno 8 kocaka. Ovde se, naravno, mogu zamisliti sasvim razliiti naini beleenja. Uenici .mogu sami da ih smisle. Najvanije je da se "3+5" povezu u neku jasnu predstavu, iako vise nema jezickog ili crtanog prikaza.

Po Aebli-u uz pounutarnjivanje neke operacije dolazi i tzv. "operativna obrada". Time Aebli oznaava varijabilno, smisaono vebanje

koje slui produbljivanju razumevanja, iji cilj izrazito jo" uvek nije bilo kakva automatizacija, (upor. Aebli 1983, str. 235) Vano je, pri tome, da nain postavljanja zadatka zahteva po novljeno promiljanje na bazi prvobitnog znaaja operacije. ta bi to moglo da znai na primeru "sabiranja"? Nije vano imati (po mogustvu brzo) "spremne" stavke iz tablice mnoenja o "paketiima zadataka" kao to su 2+5=? 4+4=? 6+3=? Akcenat u poetku ne bi trebalo staviti na rezultate, ve na ovakve zadatke: ta uopte znai 2+5, 4+4, 6+3 u opaajnom smislu?,

kako da doem do rezultata?,koji predmeti , koje osobe se tu mogu "spojiti"?, izmislite situacije!, moemo li to i drugaije zabeleiti (npr. uz pomo koturova ili crtica) kako se menja rezultat, ako jedan broj poveamo (ili smanjimo) za 1,2.3? Zamisli situaciju uz to!

ta se deava, kada kod 3+5 brojevima zamenimo mesta? kako se moe proveriti rezultat? Itd. Neemo ovo dalje produbljivati. Mogunost da se unapredi razu-mevanje sastoji se u tome da se poetna situacija promeni u nekoliko smerova: Kako je to, ako....?, ta znaci to.....?, Kako se menja rezultat, ako.-..?, Kada ostaje isto?. Zato ostaje isto?Aebli zamilja da "operacija", psiholoki gledano, tek na ovakav nain dobija izvesnu pokretljivost, kao to je i potrebno za fleksibilnu primenu. Odluujuu taku Aebli vidi zajedno sa Piaget-om u tome, da su "operacije" apstraktne (moglo bi se rei, prema odreenim bitnim po tezima promiljene i na taj nain predstavljene) delatnosti. Uz pomo op erativnog vebanja oslobaaju se od "sluajnosti" prvog susreta. (7) U sledeem odeljku dajemo dalje primere iz nastave matematike i produbljujemo na njima dodatne aspekte operativne metode. Naknadna napomena uz Aebli-evu operativnu metodu. Aebli-eva operativna metoda, iji se bitni deiovi sastoje iz pounutarnjivanja i operativne obrade "operacija", ima, kako smo gore prikazali, za cilj, pre svega, razumevanje operacija (naroito i uvid u postupne korake i njihovu vezu).

Kroz ovo i kroz pojedinane aspekte (koje u daljem tekstu treba...