Resumen Final Mat Sup

  • View
    50

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

El Siguiente es un cronograma tentativo de clases, llevado a 12 semanas consecutivas, cumpliendo con el programa de temas previsto :

MATEMTICA SUPERIOR : Temas Tericos de Examen

Unidad 1 : Introduccin a las seales y sistemas1. Funciones impulso unitario y escaln unitario en tiempo continuo. Definiciones. Representacin incremental. Propiedades del impulso y relacin matemtica entre ambas seales.Impulso Unitario (t). Tiempo ContinuoDefinicin

La Funcin Delta de Dirac, conocida tambin como Impulso Unitario o funcin Delta es una funcin infintamente angosta, infintamente alta y cuya integral tiene un valorunitario. (vale 0 cuano t 0 y tiende a cuando t se acerca a 0).

No es una funcin realmente, es lo que se conoce como una funcin generalizada o distribucin.

(t) = ; Aunque en t=0 es infinita, se representa al Impulso con su rea representativa.

En General si tenemos k. (t), un impulso escalado, el rea es igual a k, con k= cte.

Representacin incremental (t)(t) tiene rea unitaria para cualquier valor de y es 0 fuera del intervalo 0 < t < . A medida que (0, (t) se hace ms angosta y ms alta y en el lmite es igual a (t).

(t) =

= crecimiento infinitesimal. Area = Base x Altura = 1

Area = x = 1PropiedadesPropiedad de desplazamiento

x(t).(t) = x(0). (t)

x(t).(t-t0) = x(t0). (t- t0)

Escaln Unitario (t). Tiempo ContinuoDefinicinEs una funcin que vale 0 para t < 0 y 1 para t > 0. Ntese que es discontinua en el origen, sin embargo no necesita ser definida en este punto ya que no es necesario en teora de la seales.

(t) = ;;Representacin incremental (t).A medida que (0, (t) se asemeja ms a (t), y en el lmite se hacen iguales.

(t) = Relacin matemtica entre el Impulso y el Escaln UnitarioIMPORTANTE!!!El Escaln Unitario (t) es la integral de la funcin Impulso Unitario (t). (t) = El Impulso Unitario (t) es la derivada de la funcin Escaln Unitario (t). (t) =

La relacin (t) = , se puede escribir de forma diferente cambiando la variable de

integracin por = t - . Despejando, = t - y d = -d

(t) = =

Otra forma equivalente,

(t) = = 2. Funciones exponenciales de exponente imaginario puro en tiempo continuo. Periodicidad y frecuencias. Definicin y caractersticas de las funciones exponenciales complejas armnicas. Funciones Exponenciales. Tiempo Continuo. La seal exponencial compleja tiene la forma

, donde son generalmente, nmeros complejos. Dependiendo de stos valores, pueden presentarse distintas situaciones:1) Exponencial Real

. Dependiendo del valor de pude darse que:

>0 =0 0 r = 0

r < 0

3) Forma Imaginaria Pura , donde = r + j.w0 y C = 1. Como la parte Real r es 0, = j.w0 . Entonces puede escribirse como

Periodicidad y Frecuencia. Una seal es perodica, con perodo T si:

Una propiedad importante de la funcin es que se trata de una seal peridica, con lo cual podemos deducir que:

Segn la forma de Euler para los nmeros complejos, podemos reescribir , por lo tanto

Si w0 = 0, entonces es peridica para cualquier valor de T. Por otro lado, la Frecuencia Fundamental de una seal constante es igual a 0 (velocidad de oscilacin igual a 0). Si w0 0, entonces w0.T = 2.K.; con K = 0, 1, 2, 3, ... y el perodo queda determinado por

Si k = 1, tenemos el Perodo y la Frecuencia Fundamental.Perodo Fundamental

Frecuencia Fundamental

Se observa que ambas son inversamente proporcionales, si aumenta el Perodo disminuye la Frecuencia y viceversa.Funciones Exponenciales Complejas ArmnicasDefinicin Seales Exponenciales Complejas relacionadas de forma Armnica, son un conjunto de Exponenciales peridicas todas mltiplo de una Frecuencia Fundamental positiva w0 tal que:

, con k = 0, 1, 2, 3,

CaractersticasSi k = 0, entonces es una constante.Si k 0, entonces es peridica, con Perodo Fundamental o lo que es lo mismo, con Frecuencia Fundamental .Como una seal peridica con perodo T es tambin peridica con m.T, para cualquier entero positivo m, entonces todas las seales tienen un perodo comn

3. Funciones exponenciales de exponente complejo.Visto pg. 3.

4. Propiedades de los sistemas: memoria, invertibles, Causalidad, Estabilidad, Linealidad, Invariabilidad en el tiempo. Memoria

Un Sistema tiene Memoria, si su salida en cada instante de tiempo depende slo de valores pasados o futuros. Ej. y(t) = x(t 1).Un Sistema no tiene Memoria, si su salida en cada instante de tiempo depende slo del valor de entrada en ese instante de tiempo. Ej. y(t) = x(t) (Sistema Identidad).Invertibilidad Un Sistema es Invertible, si al observar su salida puede recuperarse su entrada. Ej. y(t) = 2.x(t), por lo tanto su inverso

Causalidad Un Sistema es Causal, si su salida en cualquier instante de tiempo depende slo de valores pasados o presentes, es no-anticipativo. Ej. y(t) = x(t) + x(t-1)Estabiliad

Un Sistema es estable, si para toda entrada acotada produce una salida acotada y por lo tanto no diverge. |x(t)| Mx < ( |y(t)| My < , para todo t. Linealidad

Un Sistema es Lineal, si satisface el principio de Superposicin o Aditividad, o sea, si una entrada consiste en una suma de varias seales, entonces la salida es la superposicin de las seales o suma de las respuestas del Sistema a cada una de las seales de entrada.

x1(t) y1(t)

x2(t) y2(t)

Invarianza en el Tiempo

Un Sistema es Invariante en el Tiempo, si un desplazamiento en la seal de entrada provoca un desplazamiento en la seal de salida.

x(t) y(t)

x(t - t0) y(t - t0)Unidad 2 : Introduccin a las seales y sistemas5. Escudriamiento del impulso en tiempo discreto. Respuesta de un Sistema LTI. Suma de convolucin: Concepto e interpretacin grfica de la definicin (no como en el prctico con reflexin y desplazamiento). Los Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (SLIT), poseen la propiedad de superposicin, con lo cual podemos representar la entrada en trminos de seales bsicas, en especial el Impulso Unitario. Escudriamiento del impulso en Tiempo Discreto

Es una combinacin Lineal de Impulsos Unitarios desplazados en el tiempo. Por ejemplo si tenemos una seal

x[n]

Podemos escribirla como

x[n] = + + + x[1] = 1.(n-1) + x[2] = 3.(n-2) + x[3] = 2.(n-3) + x[4] = 1.(n-4)

Generalizando

Respuesta de un Sistema LTI. La salida de un Sistema ante la entrada de un Impulso Unitario, es la respuesta a ese Impulso.

[n] h[n]

Por lo tanto, podemos escribir la salida y[n] como:

Suma de convolucinConcepto Si conocemos la respuesta de un Sistema Lineal para un conjunto de muestras unitarias desplazadas en el tiempo, podemos construir la respuesta a una determinada entrada a travs de la superposicin.Entonces, la respuesta a un Sistema Lineal en un instante de tiempo, es slo la superposicin de las respuestas a cada uno de los valores de entrada.

Si adems el Sistema es Invariante en el tiempo, podemos decir que hk[n] = h[n-k]

[n] h[n]

[n-k] h[n-k] = hk[n]

De esta manera, la salida

Se conoce como Suma de Convolucin.Por lo tanto, un Sistema Lineal Invariante en el Tiempo queda por completo caracterizado por su respuesta al Impulso.

De forma simblica la Suma de Convolucin se representa como:

Interpretacin grfica Como interpretacin podemos observar que la respuesta a una entrada x[k] en el instante k es x[k].h[n-k], la cual es una versin desplazada y escalada de h[n]. La respuesta real es la superposicin de todas estas respuestas. Para cualquier instante fijo n, la salia y[n] consiste de la suma de todos los valores x[k].h[n-k]. Si y ,

Entonces para n 0

6. Convolucin en tiempo continuo: aproximacin incremental, integral de convolucin.Convolucin en Tiempo ContinuoAproximacin incremental

Toda seal se puede expresar en forma de un lmite como una Combinacin Lineal de Impulsos desplazados como:

Donde, (t) =

= Altura = BaseGrficamente

. . . . . .Entonces,

Aplicando el Lmite para cuando 0,

Con lo cul, la sumatoria (de las reas) pasa a ser una Integral,

Integral de convolucin

Si definimos como la respuesta a la entrada (t k.), podemos determinar la salida y(t) a travs de la superposicin.

Cuando 0, la sumatoria pasa a ser una Integral

Adems, al ser Lineal e Invariante en el Tiempo, podemos escribir

(t) h(t)

(t - ) h(t - ) =

De esta manera la salida

Se conoce como Integral de Convolucin.

7. Condiciones en la respuest