RMO Solved Paper 2007

  • Published on
    09-Jan-2016

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

papers

Transcript

  • #$ %

    ' ( * , - / 1 2 3 , 6 8 6 ;< - , ? 6 8 A C ,F - G I 6 8 A C , M / O3 , - Q , 3 I R ,; - S G S UV 1 / 2 Y I - Q OS 8 1 2 M

    6 8 F 1 \ 3 , - Q , 6 C - I - < F , U G S a 1 S 8 / 2( d Q S Y - Q 6 - V 2 \ O k m o q (

    s t v x z { t | }

    G 6Y

    * , G ,8 F I ;< C 6 G - S/ 1 M O , G ?

    ,8 F I ; < C 6 G- S / 2M 6 8 F O ,G , 8 F I ; < ?

    C 6 G- S 1 \ ( Q , 8 \ O ( d I 8 ;,

    / O 3 I R , ; - R V / Y , S 3 R ,G , - Q 6 - V 1 / O

    V / O ( Q < R I 8 - G I 6 8 A C , R / O 6 8 F

    / O Y , R ,, - Q 6 - V / O V / OM

    V / O q V / O M 6 8 F / O I R ;S a ?

    aS 8 ( ,8 ; , - G I 6 8 A C ,R / O 6 8 F / O

    6 G , ; S 8 A G < ,8 - A I I 8 A O O ( < -

    O k O R I 8 ;, 1 \ C I ,R I 8 R I F , - Q ,

    - G I 6 8 A C , 3 6 ;< - ,8 , R R G S ,G - ( Q < R

    \ k O ( Q I R I a C I ,R - Q 6 - V \ O k

    V O \

    q

    V \ O ( ,; S 8 ;C < F ,

    - Q 6 - V \ O k m o q( d I 8 ;, V 2 \ O

    V \ O - Q , G ,R < C - U S C C S Y R(

    A

    B CD

    E

    K

    LM

    v z | z s t v x z { t | }

    E

    A

    B D Ca

    c b

    ab/(b+c)

    * , - V 2 \ O ( , Q 6 , 2 O

    6 8 F 2 \ ;S R 2( R I 8 A R I 8 , G < C , I 8 - G I 6 8 A C ,

    2 \ O Y , Q 6 ,

    2 O

    R I 8

    2 \

    R I 8 2

    Q I R G ,F < ;,R - S

    R I 8 ; S R 2 R I 8 2 ; S R ;S R 2 R I 8

    d I a C I ;6 - I S 8A I ,R R I 8 ; S R 2 R I 8 2 ; S R F R S - Q 6 -

    - 6 8

    R I 8 2

    ;S R 2

    R I 8 1

    ;S R 2

    R I 8 1

    R I 8

    2

    d I 8 ; , / 1 2 I R 6 ;< - , ? 6 8 A C ,F Y , Q 6 , / ( ,8 ;, 1 2 k S G 1 k

    2(

    Q ,G , U S G , R I 8 1 k R I 8

    2 ( Q I R I a C I ,R - Q 6 - - 6 8 k ' 6 8 F Q , 8 ;, k m (

    ( * , - 3 , - Q G , ,8 6 - < G 6 C8 < a 3 ,G R R < ; Q - Q 6 - 6 8 F A ;F

    ' (

    d < S R ,- Q ,G , , I R - R 6 8 I 8 - ,A ,G R < ; Q - Q 6 - U S G a - Q , R I F ,R S U 6

    G I A Q - ? 6 8 A C ,F - G I 6 8 A C , ( G S , - Q 6 - - Q ,G , , I R - I 8 - ,A , G R R < ; Q - Q 6 - (

    s t v x z { t | }

    , Q 6 ,

    Q I R G , F < ; ,R - S

    www.examrace.com

  • d S C I 8 A - Q , < 6 F G 6 - I ; , < 6 - I S 8U S G Y , S 3 - 6 I 8

    d I 8 ; , I R 6 8I 8 - ,A , G a < R - 3 , 6 ,G U , ; - R < 6 G , M R 6

    < - A ;F ' ( ,8 ; , Y , Q 6 ,

    S G

    Y Q ,G , k 6 8 F k 6 8 F A ; F ' ( 8 ,I - Q , GS U - Q , ;6 R ,R (

    8 - Q , G R - ;6 R ,

    , S 3 R ,G , - Q 6 - I a C I , R - Q 6 - ' 6 8 F Q , 8 ;, ' ( , 8 ;,

    6 G , - Q G ,,;S 8 R , ;< - I ,I 8 - ,A , G R( ,6 C R S R ,, - Q 6 - ' U S G ; I 8 A

    ; S 8 - G 6 F I ; - I 8 A - Q 6 - I R 6 R I F , S U 6 - G I 6 8 A C , ( Q < R 6 8 F Q , 8 ;, I R - Q , R < a

    S U - Y S 8 S 8 ? ,G S I 8 - ,A , G R < 6 G ,R (

    d I aI C 6 G C I 8 - Q , R ,;S 8 F ;6 R , Y , A , - ( Q < R I R - Q , R < aS U

    - Y SR < 6 G ,R(

    v z | z s t v x z { t | }

    8 , a 6 < R , ; Q 6 G ,; - 6 G I R 6 - I S 8S U G I a I - I , - Q 6 A S G ,6 8 - G I C ,R (

    3 R ,G , - Q 6 - A ;F

    ' I a C I ,R - Q 6 - 6 G , G ,C 6 - I , C G I a, ( ,8 ;, - Q , G , , I R -

    I 8 - ,A ,G R k R < ; Q - Q 6 -

    ( I 8 F6 C C 6 I G R S U G ,6 C 8 < a 3 ,G R R < ; Q - Q 6 - Y Q ,8 , ,G I R 6 G S S - S U

    I R 6 C R S6 G S S - S U - Q , , < 6 - I S 8 (

    s t v x z { t | }

    S 8 R I F ,G - Q , , < 6 - I S 8 ( - Q 6 R - Y S G S S - R 8 S - 8 ,; ,R R 6 G I C G ,6 C R 6

    6 8 F ( I - Q , G S G (

    }

    d < S R , R S- Q 6 - I R 6 F S < 3 C ,G S S -( d I 8 ;,

    I R 6 C R S 6 G S S -- Q ,S 8 C

    S R R I 3 I C I - I R

    ( Q I R G ,F < ;,R - S '

    ( , 8 ;,

    ' S G (

    3 R ,G , - Q 6 -

    6 8 F ( Q < R ' S G

    m m (

    }

    d < S R , ( Q ,G , 6 G ,U S < G S R R I 3 I C I - I , RM

    6 8 F

    M

    6 8 F

    M

    6 8 F M S G

    6 8 F

    , G ,

    ' S G

    ' ( ,8 ;,

    '

    (

    d < S R ,

    6 8 F

    ( Q ,8

    d I 8 ; , Y , A , -

    ' ( S Y , ,G Y , 6 C R S Q 6 ,

    m

    m

    www.examrace.com

  • Q < R ' ' m Y Q I ; Q I a C I ,R - Q 6 - ' ( Q ,G , U S G ,

    '

    ' (

    U

    6 8 F - Q ,8 ( Q < R S G

    ' ' ( 8 - Q I R ;6 R , m 6 8 F ' (

    S - , - Q 6 - 6 8 F I R I F ,8 - I ;6 C - S R S - Q 6 - Y , A , -

    , 6 ; - C R 6 a , 6 I G R (

    Q < R Y , A , - 6 I G RM m m ' ' ' ' m ' (

    m ( S Y a 6 8 ? F I A I - 8 < a 3 ,G R 6 G , - Q ,G , R < ; Q - Q 6 -

    6 - Q , F I A I - R S U ,6 ; Q 8 < a 3 , G 6 G , 6 C C U G S a - Q , R , - ' m o M

    3 6 8 F I A I - - Q 6 - 6 ,6 G R I 8- Q , 8 < a 3 , G 6 ,6 G R 6 - C ,6 R - - Y I ;,

    6 a C , o o I R 6 8 6 F aI R R I 3 C , 8 < a 3 ,G Y Q I C , ' I R 8 S -(

    s t v x z { t | }

    d I 8 ; , ,6 ; Q F I A I - S ;; < G R 6 - C ,6 R - - Y I ;, Y , Q 6 , U S C C S Y I 8 A S R R I 3 I C I - I ,R

    Q G , , F I A I - R S ;; < G - Y I ;, ,6 ; Q ( , a 6 ; Q S S R , - Q G ,, F I A I - R U G S a ' m o I 8

    o

    ' Y 6 R( U ,6 ; Q S ; ;< G R , 6 ; - C - Y I ; , - Q , 8 < a 3 , G S UR < ; Q6 F a I R R I 3 C , ? F I A I -

    8 < a 3 , G R I R

    '

    Y SF I A I - R S ;; < G - Q G ,, - I a,R ,6 ; Q ( , ;6 8 ; Q S S R , F I A I - R I 8

    o

    ' Y 6 R(

    ,8 ; , - Q , 8 < a 3 ,G S U6 F aI R R I 3 C , ? F I A I - 8 < a 3 , G R I R

    '

    8 , F I A I -S ;;< G R U S < G- I a , R 6 8 F - Q , S - Q ,G- Y I ;, ( , 6 G , ; Q S S R I 8 A - Y S F I A I - R 6 A 6 I 8

    Y Q I ; Q ;6 8 3 , F S 8 , I 8 ' Y 6 R( Q , - Y S F I A I - R 6 G , I 8 - , G ; Q 6 8 A ,6 3 C , ( ,8 ; , - Q , F , R I G ,F

    8 < a 3 , G S U6 F a I R R I 3 C , ? F I A I - 8 < a 3 ,G R I R

    m

    '

    I 8 6 C C 6 C C F I A I - R 6 G , - Q , R 6 a, ( Q , G , 6 G , o R < ; Q8 < a 3 ,G R(

    Q < R - Q , - S - 6 C 8 < a 3 ,G S U6 F aI R R I 3 C , 8 < a 3 ,G R I R o 'm o (

    o ( - G 6 , I < a / 1 2 O I 8 Y Q I ; Q / 1 I R 6 G 6 C C ,C - S 2 O I R I 8 R ; G I 3 , F I 8 6 ;I G ; C , Y I - Q

    ; ,8 - G , ( d < S R , - Q , F I 6 A S 8 6 C R / 2 6 8 F1 O S U- Q , - G 6 , I < a I 8 - ,G R , ; - 6 - 6 8 F

    (

    6 U V / 1 I R q F , - ,G aI 8 , Y I - Q G S S U - Q , F I ,G , 8 ;, 3 , - Y , ,8 - Q , C ,8 A - Q R S U

    - Q , 6 G 6 C C ,C R I F ,R(

    3 U V / OI R q 8 F - Q , F I , G , 8 ;, 3 , - Y ,,8 - Q , C , 8 A - Q R S U - Q , 6 G 6 C C ,C R I F ,R(

    s t v x z { t | }

    d < S R , V / 1 q( Q ,8 / 1 6 8 F 2 O 6 G , , < I C 6 - ,G 6 C - G I 6 8 A C , R(

    G 6 Y

    ,G , 8 F I ;< C 6 G - S 1 O( R ,, I A ( ' S - , - Q 6 - 3 I R ,; - R V / 1 R S - Q 6 - V

    www.examrace.com

  • q ( ,8 ;, ' ( - U S C C S Y R - Q 6 -

    ( , 6 C R S

    S 3 R , G , - Q 6 -

    / 1 2 O 1 O 1 O

    R I 8 ; , I R - Q , aI F ? S I 8 - S U1 O( , 8 ;, / 1 2 O (

    A B

    M

    D C

    K

    O

    Fig. 1

    A B

    CDM

    OQ

    K P

    Fig. 2

    d < S R , V / O q R S - Q 6 -V / 1 ' q(

    G 6Y - Q G S < A Q 6 G 6 C C ,C - S

    / 2 Y I - Q S 8/ 1 6 8 F S 8 1 O ( R ,, I A ( A 6 I 8 3 I R , ; - R V / 1 R S - Q 6 -

    V V

    q

    ( Q < R I R 6 8 , < I C 6 - ,G 6 C - G I 6 8 A C , ( ,8 ;,F I 6 a , - , G

    ,G , 8 F I ;< C 6 G - S 1 O 6 C R S 3 I R , ; - R ( Q I R A I , RO 1 ( 8 - Q ,- G I 6 8 A C , R

    O 26 8 F 1 Y , Q 6 , 1 O V O 2 ' q V 1 6 8 F V O 2

    V 1 G S , G - S U ; ;C I ; < 6 F G I C 6 - ,G 6 C ( , 8 ;, O 2 6 8 F 1 6 G , ; S 8 A G < ,8 - R S

    - Q 6 - O 21 ( Q < R / 1

    O 2 / ( S - , - Q 6 - / R I 8 ; , / I R 6

    6 G 6 C C , C S A G 6 a ( < - I R - Y I ;, - Q , 6 C - I - < F , S U - G I 6 8 A C , ( d I 8 ;, - Q ,

    6 C - I - < F , S U I R

    ( Q I R A I ,R /

    (

    v z | z s t v x z { t | }

    R I 8 A R S a, - G I A S 8 S a , - G Y , ;6 8 A , - R S C < - I S 8 RU S G 3 S - Q- Q , 6 G - R R I a < C - 6 8 , S < R C (* , -

    3 , - Q , aI F ? S I 8 - R S U / 16 8 F 2 O G ,R , ; - I , C ( Q ,8 6 G , ;S C C I 8 ,6 G

    R , , I A ( 6 8 F I A ( m ( * , - V / V O 6 8 F ( d I 8 ; , / 1 6 8 F

    2 O 6 G , R I aI C 6 G - G I 6 8 A C , R I U O 2 - Q ,8 / 1 # U S G R S a,

    S R I - I , ; S 8 R - 6 8 - # (

    S Y # ;S R ; S R R S - Q 6 - & # ; S R

    & 6 8 F ; S R (

    C R S/ # R I 8 6 8 F O R I 8 ( R I 8 A

    /

    /

    O

    O

    Y , A , -

    #

    R I 8

    # ;S R

    R I 8

    ; S R

    m

    www.examrace.com

  • A B

    CD L

    M

    O

    K

    Fig. 3

    x x

    k x k x

    CD L

    O

    Fig. 4

    A B

    M

    K

    x x

    k x k x

    d I a C I ;6 - I S 8A I ,R

    #

    '

    # ' ; S R

    d I 8 ; ,# ' k Y , A , - # ' ;S R ( Q < R

    / 1 2 O / O # R I 8 R I 8

    #

    ' R I 8

    m ;S R R I 8

    R I 8

    U V / 1 q - Q , 8 q ( U V / O q - Q , 8 ' q( 8 , I - Q ,G ;6 R ,

    R I 8

    ( U - Q ,8 / 1

    2 O

    I 8 3 S - Q- Q , ;6 R ,R (

    ( G S , - Q 6 -

    6 o

    o ,

    o .

    o M

    3 /k

    /

    ,

    /

    .

    / M

    ; k

    ,

    .

    U S G 6 C C I 8 - ,A ,G R 1 (

    s t v x z { t | }

    , Q 6 ,

    m

    / m o R S - Q 6 -

    o k

    ( ,8 ; ,

    .

    o k

    k '

    m 6 R '

    m

    '

    ( Q ,G , U S G ,

    ,

    o k

    .

    o k '

    m ( F F I 8 A Y , A , -

    o

    ,

    o

    .

    o k

    '

    m '

    m o

    , S 3 R ,G , - Q 6 -

    ,

    / 6 8 F.

    / ,

    / ( Q < R

    /

    ,

    /

    .

    / 3 /

    d < S R , 1 ( Q , 8 1 R S - Q 6 - 1

    ( Q I R A I ,R

    6 ( Q , G , U S G ,

    .

    ,

    6 ( , - Q < R S 3 - 6 I 8

    ,

    .

    o

    www.examrace.com