Row Rozniczkowe

  • Published on
    17-Nov-2015

  • View
    13

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Rownania Rozniczkowe

Transcript

  • Rwnania rniczkowe

    Krzysztof Frczek

    Version 1.0b, 2003/07/07

    1

  • SPIS TRECI 2

    Spis treci

    1 Rwnania rniczkowe 31.1 Przykady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Co to jest rwnanie rniczkowe zwyczajne? . . . . . . . . . . 61.3 Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Rwnanie o rozdzielonych zmiennych . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Istnienie i jednoznaczno rozwiza 102.1 Istnienie i jednoznaczno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Rozwizania globalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3 Schematy numeryczne 253.1 Definicje i podstawowe wasnoci . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Schematy Rungego-Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Praktyczne zastosowania schematw numerycznych . . . . . . 33

    4 Ukady rwna liniowych 374.1 Rwnania liniowe o staych wspczynnikach . . . . . . . . . . 434.2 Rwnania liniowe wyszych rzdw . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 Liniowe rwnania rnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Liniowe schematy wielokrokowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5 Zalenoci rozwiza od warunkw pocztkowych 67

    6 Rwnania rniczkowe czstkowe pierwszego rzdu 756.1 Podstawowe definicje i wasnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Rozmaitoci (przypomnienie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Rozwizywanie rwna liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4 Rwnania quasi-liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    7 Rwnania rniczkowe czstkowe drugiego rzdu 907.1 Rwnanie struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    8 Problem Dirichleta 998.1 Metoda siatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 3

    1 Rwnania rniczkowe

    1.1 Przykady

    Przykad 1.1.1. Do banku wkadamy w chwili t0 pewien kapita pocztkowyN0. Bank oferuje nam oprocentowanie k(t)(w stosunku rocznym) - zmiennew czasie. Jaka bdzie warto wkadu w chwili t? Zaley to oczywicie odtego jak czsto bank kapitalizuje (dolicza odsetki) nasz wkad. Jeli okreskapitalizacji wynosi h, to:

    N(t+ h) = N(t) + h k(t)N(t) (1.1.1)

    Co moemy powiedzie na temat N(t) jeli kapitalizacja przebiega w sposbcigy, czyli h 0?

    N(t+ h)N(t)h

    = k(t)N(t) (1.1.2)

    Przechodzc z h 0 otrzymujemydNdt

    = k NN(t0) = N0

    (1.1.3)

    Przykad 1.1.2. (Druga zasada dynamiki)Obserwujemy ruch pewnej czstki w R3. Wiemy e w chwili t0 znajduje si wx0 R3 i porusza si z prdkoci v0 R3. Zamy, e na czstk znajdujcsi w x R3 i poruszajc si z prdkoci v R3 w chwili t dziaa siaF (t, x, v) R3. Wwczas ruch czstki x(t) R3 opisuje rwnanie Newtona:

    m x(t) = F (t, x(t), x(t))x(t0) = x0x(t0) = v0

    x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))m xi (t) = F (t, x1(t), x2(t), x3(t), x1(t), x2(t), x3(t))

    i = 1, 2, 3.

    (1.1.4)

    Powysze rwnanie mona sprowadzi do, w pewnym sensie, prostszego rw-

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 4

    nania. Oznaczmy v(t) = x(t). Wwczas:m v(t) = m x(t) = F (t, x(t), x(t)) = F (t, x(t), v(t))x(t) = v(t)x(0) = x0v(0) = v0

    (1.1.5)

    Wwczas poszukiwana funkcja jest postaci t 7 (x(t), v(t)) R3 R3.Przykad 1.1.3. (Wahado matematyczne)Wahado dugoci l, ktre posiada ciarek o masie m, wprawiono w ruchw chwili t0 pod ktem 0 z prdkoci ktow 0. Jakie bdzie pooeniewahada oraz jego prdko ktowa w chwili t?

    Na wahado dziaaj dwie siy: sia cikoci mg oraz sia z jak sznurektrzyma ciarek. Niech (x, y) = (l sin, l cos).

    Zatem sia dziaajca na wahado w pooeniu (l sin, l cos) wynosiF (l sin, l cos) = mg sin( cos, sin). Niech x(t) = l(sin(t), cos(t))oznacza pooenie wahada w chwili t, czyli (t) jest ktem jego wychylenia.Druga zasada dynamiki mwi:

    x(t) = F (x(t)) (1.1.6)

    Zatem

    x(t) = l(cos(t) (t), sin(t) (t))x(t) = l( sin(t)((t))2 + cos(t) (t), cos(t)((t))2 sin(t) (t)).

    (1.1.7)

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 5

    Std

    ml( sin(t)((t))2 + cos(t) (t)) = mg sin(t) cos(t) / cos(t)ml( cos(t)((t))2 sin(t) (t)) = mg sin2 (t) / sin(t)

    l(t) = g sin(t).(1.1.8)

    Jeli (t) = (t), to (t) = (t)(t) = g

    lsin(t)

    (t0) = 0(t0) = 0.

    (1.1.9)

    Przykad 1.1.4. (Rozwj populacji)Niech N(t) bdzie wielkoci populacji (np. ilo krlikw, bakterii itp.) najakim zamknitym obszarze. Wiemy, e w chwili t0 wielko populacji wynosiN0. Jakie prawa rzdz rozwojem populacji? Przyrost populacji N (t) jestproporcjonalny do jej wielkoci, czyli

    N (t) = k(N(t)) N(t), (1.1.10)

    gdzie k(N) jest wspczynnikiem wzrostu populacji gdy jej wielko wyno-si N . Poniewa ilo pokarmu jest staa, wic funkcja k jest malejca. Dlauproszczenia moemy przyj k(N) = a b N . Zatem dynamik populacjiopisuje rwnanie: N (t) = (a b N(t))N(t)N(t0) = N0 (1.1.11)Przykad 1.1.5. (Wspistnienie gatunkw)Na danym terenie yj dwa gatunki: drapieniki i ofiary. Niech x(t) oznaczaliczb drapienikw, y(t) liczb ofiar w chwili t.x(t) = (b y(t) a)x(t)y(t) = (e d x(t))y(t) (1.1.12)(Rwnanie Volterry-Lotki)

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 6

    1.2 Co to jest rwnanie rniczkowe zwyczajne?

    Definicja 1.2.1. Rwnaniem rniczkowym zwyczajnym rzdu n nazywamyrwnanie postaci:

    F (t, x(t), x(t), ..., x(n)(t)) = 0, (1.2.1)

    przy czym szukan funkcj jest funkcja x : [t0, t0 + ] Rd, ktra speniawarunek (1.2.1), gdzie F : [t0, t0 + ] Rd ... Rd

    n+1

    Rk jest funkcj

    przynajmniej cig.

    Jeli k = d oraz F mona rozwika dla ostatniej wsprzdnej to rwna-nie (1.2.1) ma posta

    x(n) = f(t, x(t), x(t), ..., x(n1)(t)), (1.2.2)

    gdzie f : [t0, t0 + ] Rd ... Rd n

    Rd

    Rwnanie (1.2.2) moe posiada wiele rozwiza. Aby ograniczy si do jed-nego rozwizania rwnanie (1.2.2) rozwaa si wraz z warunkami pocztko-wymi postaci:

    x(t0) = x0x(t0) = x1...x(n1)(t0) = xn1

    (1.2.3)

    Stwierdzenie 1.2.1. Dowolne rwnanie postaci (1.2.2) mona sprowadzido rwnania pierwszego rzdu (czyli n = 1).

    Dowd. Oznaczmy:

    x1(t) = x(t)x2(t) = x(t)

    ...

    xn(t) = x(n1)(t)

    x(t) = (x1(t), ..., xn(t)) Rdn.

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 7

    Wwczas

    x1(t) = x(t) = x2(t)

    x2(t) = x(t) = x3(t)

    ...

    xn1(t) = x(n1)(t) = xn(t)

    xn(t) = x(n)(t) = f(t, x1(t), ..., xn(t)) = f(t, x(t)).

    Std otrzymujemy rwnanie

    x(t) = f(t, x(t)) (1.2.4)

    gdzie f : [t0, t0 + ] Rdn Rdn, f i(t, x) = xi+1 dla i = 1, . . . , n 1 orazfn(t, x) = f(t, x). Natomiast warunek pocztkowy wyglda nastpujco

    x(t0) = (x1(t0), ..., xn(t0)) = (x(t0), x(t0), ..., x(n1)(t0)) = (x0, ..., xn1).

    Jeli teraz rozwiemy rwnanie (1.2.4) z powyszym warunkiem poczt-kowym, to y(t) = x1(t) jest rozwizaniem rwnania (1.2.2) z warunkiempocztkowym (1.2.3).

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 8

    1.3 Interpretacja geometryczna

    Rozwamy rwnanie rniczkowe postaci x(t) = f(x(t)), gdzie f : Rd Rd.Rwnanie takiej postaci nazywamy autonomicznym (niezalenym od czasut). Wwczas na funkcj f : Rd Rd moemy patrze jak na pole wektorowe(pole wektorw prdkoci). Rozwizanie x(t) moemy wwczas traktowa ja-ko opis ruchu czstki w Rd, ktrego wektor prdkoci jest wyznaczony przezwektor pola f umieszczony w punkcie w ktrym znajduje si czstka.

    Jeli rwnanie rniczkowe jest postaci x(t) = f(t, x(t)), okrela si je mia-nem nieautonomicznego (zalenego od czasu). W takim wypadku pole wek-torowe f zmienia si w czasie, co naley uwzgldni w ruchu czstki.

    1.4 Rwnanie o rozdzielonych zmiennych

    Definicja 1.4.1. Rwnanie postaci

    x(t) = h(t)q(x(t)), (1.4.1)

    gdzie h : K R, g : L R s funkcjami cigymi na pewnych odcinkachK i L nazywamy rwnaniem o rozdzielonych zmiennych.

    Twierdzenie 1.4.1. (Metoda rozdzielonych zmiennych)Niech g(x) 6= 0 dla x L. Oznaczmy przez H oraz G funkcje pierwotne

  • 1 RWNANIA RNICZKOWE 9

    odpowiednio funkcji h oraz 1g. Niech u : K L bdzie funkcj rniczkowaln.

    Wwczas u jest rozwizaniem rwnania (1.4.1) wtedy i tylko wtedy gdy:

    CRG(u(t)) = H(t) + C. (1.4.2)

    Dowd. () Zauwamy, e jeli u(t) = h(t)g(u(t)) dla t K, to

    u(t)g(u(t))

    = h(t)

    G(u(t))u(t) = H (t)

    (G u)(t) = H(t)

    G(u(t)) = H(t) + C

    () wystarczy zrniczkowa.

    Uwaga 1.4.1. Poniewa G(x) = 1g(x) 6= 0, wic G jest odwracalna, std

    u(t) = G1(H(t) + C) (1.4.3)

  • 2 ISTNIENIE I JEDNOZNACZNO ROZWIZA 10

    2 Istnienie i jednoznaczno rozwiza

    2.1 Istnienie i jednoznaczno

    Niech f : [t0, t0 + ] G Rd (G Rd otwarty) bdzie funkcj cig.Rozwamy problem Cauchyegox(t) = f(t, x(t))x(t0) = x0. (2.1.1)Kiedy istnieje rozwizanie problemu (2.1.1) i czy jest ono jedyne?Zamy e x : [t0, t0+] G Rd jest funkcj rniczkowaln speniajcrwnanie (2.1.1). Wwczas x jest klasy C1 oraz

    x(t) x(t0) = tt0x()d =

    tt0f(, x())d, (2.1.2)

    czyli

    x(t) = x0 + tt0f(, x())d. (2.1.3)

    Odwrotnie, jeli x jest funkcj cig speniajc (2.1.3), wwczas jest roz-wizaniem problemu Cauchyego (2.1.1). Zatem problemy (2.1.1) i (2.1.3) srwnowane.

    Lemat 2.1.1. GronwallaNiech u, v : [t0, t0 + ] R bd funkcjami cigymi nieujemnymi orazC R, C 0. Jeli:

    v(t) 6 C + tt0u()v()d, (2.1.4)

    tov(t) 6 C e

    tt0u()d

    . (2.1.5)

    Dowd. 1) C > 0. Rozwamy w(t) = C + tt0u()v()d . Wwczas v(t) 6

    w(t) oraz w(t) C > 0. Ponadto w(t) = u(t)v(t) 6 u(t)w(t). Std

    w(t)w(t)

    6 u(t).

    Zatem

    lnw(t) lnw(t0) = tt0

    w()w()

    d 6 tt0u()d

  • 2 ISTNIENIE I JEDNOZNACZNO ROZWIZA 11

    orazv(t) 6 w(t) 6 w(t0) e

    tt0u()d

    = C e tt0u()d

    .

    2) C = 0. Wwczas

    v(t) 6 + tt0u()v()d

    dla dowolnego > 0. Zatem na mocy 1) otrzymujemy

    v(t) 6 e tt0u()d

    Natomiast przechodzc z 0 otrzymujemy v(t) 6 0.

    Definicja 2.1.1. Mwimy, e funkcja ciga f : [t0, t0 + ]G Rd, gdzieG Rd, spenia warunek Lipschitza ze wzgldu na x ze sta L, jeli

    t[t0,t0+]x,yG f(t, x) f(t, y) 6 L x y . (2.1.6)

    Przyk