Segnali e Sistemi Parte2

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    04-Jul-2015

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Capitolo 6

Trasformata di Fourier

In questo capitolo affrontiamo in maniera sistematica lo studio della trasformata di Fourier dei segnali TC e TD, sviluppando ed approfondendo i primi concetti gi introdotti nel cap. 4 con riferimento alla risposta in frequenza di un sistema LTI. Mostreremo nel corso di questo capitolo che la trasformata di Fourier uno strumento di grande utilit non solo per lo studio dei sistemi LTI, ma pi in generale per la caratterizzazione di segnali e sistemi nel dominio della frequenza. Lo studio partir dalle denizioni fondamentali di trasformata ed antitrasformata di Fourier nel caso TC e TD, e dalla discussione delle loro propriet elementari. In seguito mostreremo che la relazione i-u dei sistemi LTI ammette una forma particolarmente semplice e generale se espressa in termini delle trasformate di Fourier del segnale di ingresso e di uscita. Successivamente approfondiremo alcune condizioni matematiche relative allesistenza ed allinvertibilit della trasformata di Fourier, ed analizzeremo pi estesamente le sue propriet, con particolare attenzione verso le applicazioni, ed evidenziando il pi possibile i legami e le interpretazioni nellambito dei segnali e dei sistemi. Un concetto centrale sar quello di banda (di un segnale o di un sistema), che sar introdotto nellambito pi generale della caratterizzazione sintetica di segnali e sistemi nel dominio della frequenza. Inne, mostreremo che la trasformata di Fourier pu essere applicata anche ai segnali periodici; poich per questi ultimi abbiamo a disposizione anche la serie di Fourier, ricaveremo interessanti ed utili relazioni tra queste due rappresentazioni nel dominio della frequenza. Tra le possibili applicazioni, approfondiremo nel corso del capitolo quelle del ltraggio, della distorsione e dellequalizzazione, e della modulazione.

6.1 Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier uno strumento fondamentale nello studio dei segnali e dei sistemi, in quanto consente di introdurre un dominio alternativo a quello del tempo, il dominio della frequenza, nel quale affrontare i pi comuni problemi di analisi o sintesi. Il concetto di trasformata di Fourier stato gi introdotto nel cap. 4, con riferimento al problema del calcolo delluscita di un sistema LTI sollecitato da un fasore al suo ingresso. In tal caso, si osservato (cfr. 4.7) che il comportamento

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Trasformata di Fourier

del sistema perfettamente descritto dalla sua risposta in frequenza1 H(), e che questultima si pu interpretare come la trasformata di Fourier della risposta impulsiva h(). Successivamente, nel cap. 5 abbiamo mostrato che la risposta in frequenza H() pu essere utilizzata anche per calcolare luscita di un sistema LTI sollecitato da un arbitrario segnale periodico, applicando la (5.46) o la (5.50). Tale risultato si fonda sulla rappresentazione di un segnale periodico come sovrapposizione di fasori (serie di Fourier o DFS). naturale allora cercare di estendere i beneci di tale rappresentazione anche al caso di segnali non periodici o aperiodici, utilizzandola poi per analizzare le modiche introdotte dai sistemi LTI su tali segnali. A differenza del caso di segnali periodici, per i quali sufciente considerare solo il sottoinsieme discreto dei fasori aventi frequenze multiple della frequenza fondamentale, per un segnale aperiodico dovremo considerare tutti i possibili fasori, ovvero dovremo far variare con continuit la frequenza dei fasori. Tale rappresentazione in effetti prende il nome di trasformata di Fourier, ed uno degli strumenti matematici fondamentali nellelaborazione dei segnali. Per capire intuitivamente come sia possibile rappresentare un segnale aperiodico come sovrapposizione continua di fasori, partiamo dalla rappresentazione in serie di Fourier. Per comodit, faremo riferimento solo ai segnali TC; analoghe considerazione si possono fare anche nel caso TD. Consideriamo allora un segnale aperiodico x(t) e supponiamo che, su ogni intervallo temporale nito, tale segnale soddis le condizioni che ne garantiscono la sviluppabilit in serie di Fourier. Pi precisamente, detto (Z/2, Z/2) un arbitrario intervallo nito di R, supponiamo che x(t) soddis le condizioni di Dirichlet (cfr. teor. 5.2) su tale intervallo, per ogni Z > 0. In tal caso, limitatamente allintervallo considerato, possiamo rappresentare il segnale x(t) in serie di Fourier: x(t) =+ k=

Xk e j2 k f t ,

t (Z/2, Z/2) ,

(6.1)

dove f = 1/Z la frequenza fondamentale, ed i coefcienti di Fourier sono dati da: Xk = 1 ZZ/2 Z/2

x( ) e j2 k f d .

(6.2)

La (6.1) consente di esprimere il segnale x(t) nellintervallo (Z/2, Z/2) come sovrapposizione di uninnit numerabile di fasori. Ci comporta che x(t), con t (Z/2, Z/2), completamente descritto nel dominio della frequenza dalla successione dei coefcienti di Fourier (6.2): in altre parole, il suo spettro di natura discreta. Sostituendo la (6.2) nella (6.1), ed estraendo dalla sommatoria il termine per k = 0, si ottiene: x(t) = 1 ZZ/2 Z/2

x( ) d +

1 Z k =

+

Z/2 Z/2

x( ) e j2 k f ( t) d ,

t (Z/2, Z/2) ,

(6.3)

k=0

La (6.3) consente di rappresentare il segnale x(t) solo nellintervallo nito (Z/2, Z/2); il nostro obiettivo quello di trovare una valida rappresentazione del segnale x(t) lungo tutto lasse reale. Per fare ci, dobbiamo far tendere formalmente Z allinnito o, equivalentemente, far tendere f a zero. Prima di effettuare questa operazione, aggiungiamo unulteriore ipotesi su x(t), supponendo che sia sommabile su tutto lasse reale, ossia:+ 1 Qui

|x(t)|dt < + .

e nel seguito, useremo la notazione del tipo H() per denotare indifferentemente la risposta in frequenza H( f ) per un sistema TC e la risposta in frequenza H( ) per un sistema a TD.

6.1 Trasformata di Fourier

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In questa ipotesi, al limite per Z +, il primo addendo nella (6.3) tende a zero. Quindi, passando al limite per f 0 nella (6.3), si ha: + 1 2 f j2 fk ( t) (6.4) x( ) e d f , t R , x(t) = lim 1 f 0 k = 2 fk=0

dove si posto fk = k f . Al limite per f 0, i valori di frequenza fk coprono lintero asse reale e la loro separazione f diventa innitesima: in altri termini, fk tende a variare con continuit in tutto R, determinando cos un inttimento dello spettro del segnale. Conseguentemente, per f 0, lintegrale tra parentesi quadre nella (6.4) dipende con continuit dalla variabile f , e si pu scrivere come: f 0 1 2 f

lim

1 2 f

x( ) e j2 fk ( t) d =

+

x( ) e j2 f d e j2 f t ,X( f )

dove X( f ) =+

x( ) e j2 f d .

(6.5)

Inoltre, al limite per f 0, la sommatoria su k nella (6.4) diventa una somma integrale (estesa a tutto R) dellintegrale della funzione X( f ) e j2 f t rispetto alla variabile f (formalmente la differenza nita f diventa un differenziale d f ), cio: x(t) =+

X( f ) e j2 f t d f ,

(6.6)

la quale evidenzia che il segnale aperiodico x(t) pu essere rappresentato sovrapponendo nel continuo (cio, integrando) i fasori e j2 f t aventi frequenza variabile su tutto lasse reale e ampiezza innitesima X( f ) d f . Osserviamo che tale risultato si basa sulle ipotesi che il segnale x(t) sia sommabile su R e che verichi le condizioni di Dirichlet per la serie di Fourier su ogni intervallo nito di R;2 vedremo (cfr. 6.3.1) che tali ipotesi sono sufcienti ma non necessarie per la validit delle equazioni (6.5) e (6.6). La (6.6) prende il nome di equazione di sintesi della trasformata di Fourier; mentre la (6.5), che consente di calcolare il peso specico da attribuire ad ogni singolo fasore, prende il nome di equazione di analisi della trasformata di Fourier. interessante confrontare nuovamente la (6.6) con lequazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier, valida solo per segnali periodici TC: x(t) =+ k=

Xk e j2 k f0t .

In entrambi i casi, il segnale x(t) nel dominio del tempo rappresentato come sovrapposizione di fasori: mentre per la serie di Fourier una rappresentazione discreta, nella quale le frequenze dei fasori sono tutte multiple di una stessa frequenza (la cosiddetta frequenza fondamentale f0 del segnale periodico), lequazione di sintesi (6.6) della trasformata di Fourier una rappresentazione continua, in cui la frequenza f dei fasori pu assumere tutti i possibili valori in R.stretto rigore, la sommabilit su R del segnale x(t) assicura automaticamente che la condizione (d1) del teor. 5.2 sia soddisfatta; pertanto, le ipotesi che assicurano la validit delle relazioni (6.5) e (6.6) sono che, oltre alla sommabilit su R di x(t), il segnale verichi le condizioni (d2) e (d3) del teor. 5.2 su ogni intervallo nito del tipo (Z/2, Z/2).2A

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Trasformata di Fourier

Nel seguito, deniremo in modo pi sistematico la trasformata di Fourier di un segnale a TC e a TD, e presenteremo le propriet pi semplici dal punto di vista matematico (linearit, simmetria hermitiana, dualit, e valore nellorigine). Per chiarezza, presenteremo le denizioni prima nel caso TC, e successivamente in quello TD, mentre le propriet elementari saranno trattate in maniera unicata.6.1.1 Trasformata di Fourier per segnali TC

Nel paragrafo precedente abbiamo presentato una giusticazione intuitiva delle equazioni che deniscono la trasformata di Fourier di un segnale aperiodico x(t), partendo dalla rappresentazione in serie di Fourier del segnale su un intervallo nito e facendo tendere allinnito la lunghezza di tale intervallo. Tali equazioni, possono evidentemente essere assegnate anche senza nessun riferimento alla serie di Fourier, e costituiscono la fondamentale denizione di trasformata di Fourier di un segnale TC: Denizione 6.1 (trasformata di Fourier per segnali TC) La trasformata di Fourier di un segnale TC x(t) denita dalle equaz