Simulación y Finanzas (MIM)

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    30-Jun-2015

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<p> FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA I MODELOS Y MTODOS DE SI MULACI N. VALORACI N DE OPCI ONES FI NANCI ERAS Begoa Vitoriano bvitoriano@mat.ucm.es Universidad Complutense de Madrid Mayo 2009 10/06/2009 i FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA INDICE IMODELADO DE SI STEMAS MEDI ANTE SI MULACI N ......................... 3 I.1 SISTEMAS, MODELOS Y SIMULACIN............................................................. 3 I.2 VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LA SIMULACIN ....................................... 6 I.3 TIPOS DE SISTEMAS Y DE SIMULACIN ......................................................... 7 I.4 ELEMENTOS DE UN MODELO DE SIMULACIN DINMICO ............................... 9 I.4.1 El reloj de simulacin................................................................... 9 I.4.2 Mecanismo de transicin............................................................ 10 I.5 ETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN ESTUDIO DE SIMULACIN ..................... 11 I IMODELADO DE LA ALEATORI EDAD EN SI MULACI N..................... 15 II.1 REVISIN DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA............................................. 15 II.1.1 Variables aleatorias y sus propiedades ........................................ 15 II.1.2 Procesos estocsticos ................................................................ 21 II.1.3 Estimacin puntual ................................................................... 22 II.1.4 Estimacin por intervalos de confianza....................................... 24 II.1.5 Contrastes o tests de hiptesis ................................................... 25 II.2 IDENTIFICACIN DE PATRONES................................................................. 27 II.2.1 Distribuciones empricas ........................................................... 28 II.2.2 Distribuciones tericas .............................................................. 30 II.3 GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS................................................. 37 II.3.1 Generacin de muestras uniformes............................................. 37 II.3.2 Generacin de variables aleatorias discretas................................ 42 II.3.2.1 Mtodo general o estndar ............................................................................................. 42 II.3.2.2 Binomial ( , ) np ............................................................................................................. 43 II.3.2.3 Geomtrica ( ) p ............................................................................................................. 43 II.3.3 Generacin de variables aleatorias absolutamente continuas ......... 44 II.3.3.1 Mtodo de la transformada inversa ................................................................................ 44 II.3.3.2 Mtodo de aceptacin - rechazo...................................................................................... 44 II.3.3.3 Aplicacin a una discreta: Poisson( ) ......................................................................... 47 II.3.3.4 Normal ( , ) .............................................................................................................. 48 II.3.3.5 Lognormal ( , ) ......................................................................................................... 50 II.3.3.6 ( , ) p a y Beta ( , ) ................................................................................................ 50 II.3.3.7 2n ................................................................................................................................ 51 II.3.3.8 ntde Student................................................................................................................. 52 II.3.3.9 , m nFde Fisher-Snedecor............................................................................................... 52 II.3.4 Generacin de variables aleatorias mixtas ................................... 52 II.3.5 Generacin de variables aleatorias multidimensionales ................. 53 II.3.5.1 Nociones de clculo matricial ......................................................................................... 53 II.3.5.2 Normal Multivariante N( , ) ..................................................................................... 55 ii10/06/2009 FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA III.3.5.3 Multinomial ....................................................................................................................56 II.3.5.4 nTde Student multivariante ..........................................................................................57 I I IANLI SI S DE RESULTADOS...........................................................59 III.1 COMPORTAMIENTOS TRANSITORIO Y ESTACIONARIO DE UN PROCESO ESTOCSTICO .................................................................................................59 III.2 TIPOS DE SIMULACIN SEGN EL ANLISIS DE RESULTADOS .....................61 III.3 ESTIMACIN DE VARIABLES RESPUESTA: PRECISIN Y TAMAO MUESTRAL62 III.4 ESTIMACIN DE PARMETROS ESTACIONARIOS: EL PROBLEMA DEL ESTADO INICIAL TRANSITORIO......................................................................................64 III.5 ESTIMACIN DE INTEGRALES POR MONTE CARLO ...................................66 III.5.1 Mtodo Monte Carlo de acertar o fallar......................................67 III.5.2 Mtodo de Monte Carlo crudo ...................................................67 III.6 TCNICAS DE REDUCCIN DE LA VARIANZA .............................................67 III.6.1 Muestreo correlado (nmeros aleatorios comunes) ......................68 III.6.2 Variables antitticas.................................................................69 III.6.3 Variables de control .................................................................70 III.6.4 Condicionamiento ....................................................................71 III.6.5 Muestreo estratificado ..............................................................72 III.6.6 Muestreo por importancia.........................................................73 I V APLI CACI ONES DE LA SI MULACI N EN FI NANZAS .......................75 IV.1 NOCIONES BSICAS SOBRE DERIVADOS FINANCIEROS ...............................75 IV.1.1 Contratos de futuros.................................................................76 IV.1.2 Opciones .................................................................................77 IV.1.2.1 Opciones vainilla (vanilla options) .............................................................................77 IV.1.2.2 Opciones exticas (exotic options)..............................................................................80 IV.2 VALORACIN DE OPCIONES Y FUTUROS ...................................................82 IV.2.1 Conceptos bsicos en valoracin de derivados .............................82 IV.2.2 Estimacin del valor de opciones sin posibilidad de ejercicio anticipado mediante simulacin...........................................................87 IV.2.3 Estimacin del valor de opciones con posibilidad de ejercicio anticipado mediante mtodos numricos ...............................................90 IV.2.3.1 Mtodo binomial............................................................................................................93 V REFERENCI AS..................................................................................97 VIBI BLI OTECA DE PROBLEMAS.........................................................99 VI IRESULTADOS DE LA BI BLI OTECA DE PROBLEMAS.....................103 VI I IPRCTI CAS PROPUESTAS PARA FI NANZAS..............................109 MODELOS Y MTODOS DE SIMULACIN 10/06/2009 3 FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA II Modelado de sistemas mediante simulacin I.1 Sistemas, modelos y simulacin La primera vez en la historia que se habl de simulacin fue en el ao 1949 cuandoJohnVonNeumannyStanislawUlampresentaroneldenominado mtodo de Monte Carlo. Desde entonces la simulacin ha sufrido un crecimiento muy fuerte y, especialmente en las dos ltimas dcadas, este crecimiento ha sido vertiginoso gracias al desarrollo de los ordenadores. Darunadefinicinexactadelasimulacinnoesunatareafcildadala amplituddelasaplicacionesysistemasalosqueseaplica.Sinembargo,una buena definicin sera la dada por Shannon en 1975, segn la cual, simulacin es el proceso de disear un modelo de un sistema real y llevar a cabo experiencias con l, con la finalidad de aprender el comportamiento del sistema o de evaluar diversas estrategias para el funcionamiento del sistema. Varios conceptos son utilizados en esta definicin y deben ser precisados. Sistema:Conjuntodeobjetosoideasqueestninterrelacionadasentres como una unidad para la consecucin de un fin. Forma parte de la vida real. Modelo:Representacinsimplificadadeunsistema.Esunaabstraccindel sistema. Elobjetivoescrearunmodelodelsistemaapartirdelaobservacin.Sin embargo,estonoesparticulardelasimulacinyaqueentodoanlisisde sistemas ste es un paso necesario, lo que es particular es el tipo de modelo y el uso que se hace de l. As,sedicequeexistendosprocedimientosparaobtenermodelosde sistemas: Anlisis terico o mtodo deductivo: con este procedimiento se lleva a cabo un estudio cualitativo de los fenmenos que caracterizan el comportamiento delsistema,quesonplasmadosenrelacionesmatemticasconcretasque definenlasecuacionesdescriptivasdelproceso.Paradarunarespuestacon este tipo de modelos hay que resolver las ecuaciones descriptivas del proceso, tarea que en ocasiones es especialmente difcil. I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIN 410/06/2009 FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA IComo ejemplo, supngase un objeto que se mueve con una cierta trayectoria, una velocidad en cada momento y una aceleracin, que a su vez dependen de otrascondicionesexternascomolascaractersticasdelterrenoenquese encuentreolacercanadeotrosobjetossimilares.Paradarrespuesta,por ejemploalpuntoenqueseencontrarpasadoundeterminadotiempocon estetipodemodelo,hayqueresolverlasecuacionesdelmovimientodel objeto,locualnoesinmediatosielobjetocambiasutrayectoriay aceleracin con el tiempo, las caractersticas de la posicin, el movimiento de otros objetos, etc. Anlisisexperimentalomtodoinductivo:consisteenconstruirunmodelo matemticoapartirdemedidasrealizadassobreelsistema,dandouna descripcin detallada de cmo evoluciona a lo largo del tiempo, con el fin de observarelcomportamientodelmodeloyllevaracaboexperienciasconl: simulacin del modelo. Conelmismoejemplodelobjetomvil,sepuedeirrepresentandoen pequeosintervalosdetiempolasvariacionesdevelocidad,aceleracin, posicin, mediante la definicin directa que relaciona a estas variables, tanto del mvil observado como de los cercanos, modificando en cada momento los parmetros segn la posicin en que est l y los dems objetos, hasta llegar acumplireltiempoquesedeseaobservar.Conestemodeloesposible ensayar diversas respuestas ante distintas situaciones. Aspues,conesteprocedimientoelobjetivonoesconocerelsistemaens, sino su comportamiento ante diversas situaciones Los modelos de simulacin no se resuelven, se hacen funcionar! Ejemplo1:Sedeseaconstruirunacarreterayparaellosehadehacerun tnelatravsdeunamontaa.Existendospuntosposiblesdondehacerel tnel,correspondientesadosmontaasdistintasM1yM2cercanas. Supongamos que se tiene que decidir si hacerlo en un punto o en otro. Mediante estudios preliminares se sabe que en el punto M1 la longitud del tnel habra de ser L1 y en la montaa M2, L2. En la primera de ellas, por las caractersticas delterreno,seperforaraarazndex1unidadesporjornadadetrabajo, mientras que en la otra montaa sera a razn de x2 unidades. Laempresadeberecibirunamaquinarianuevaconunaprobabilidad0.71. La probabilidad de que la nueva maquinaria se avere en M1 es 0.14 y en M2 es 0.16. Para la maquinaria vieja estas probabilidades son, respectivamente, 0.28 y 0.19. MODELOS Y MTODOS DE SIMULACIN 10/06/2009 5 FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA ILasaveraspuedenserdedostipos:gravesconprobabilidad0.35y4 jornadasdetrabajodereparacinolevescon1jornadadetrabajode reparacin. Lapreguntaes:dndesedebeperforareltnelparatardarlomenos posible en la construccin de la carretera? UnmodelodesimulacindesarrolladoparalaperforacinenelpuntoM1 sera, por ejemplo, el de la figura 1. Perforacin M1Llegamaquinarianueva?AveraDT=L1/x1+DATipo averaDA=4 DA=1 DA=0p=0.14 p=0.280.29 0.71NO SI0.65Leve Grave0.35SI NO1-p p Figura 1. Modelo de simulacin de perforacin montaa M1. Anlogamente, se hara otro para el punto M2. Este modelo se programa en unlenguajegeneralyluegoessimuladoenelordenadorvariasvecesdemodo que se obtenga una muestra simulada de la duracin de la perforacin en cada unodelospuntos.Unavezobtenidalamuestraladecisinpuedesertomada eligiendoelpuntoquetengaunmenorvalordeladuracinesperada.Sin embargo,esteclculotambinpuedeserobtenidomedianteelmtodoterico, es decir, mediante clculo de probabilidades. A modo de ejemplo, con el mtodo terico se obtuvo una duracin esperada en M1 de 19.37023 jornadas y en M2 de 20.345835 y despus de 50 simulaciones se obtuvo una duracin media en M1 de 19.34 jornadas y en M2 de 20.22 jornadas. I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIN 610/06/2009 FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA IDeesteejemplo,tambinsededucelanecesidaddeunmecanismoeficaz paragenerarvariablesaleatoriasquesearpido,dadoquehayquerepetirla simulacinunnmeroelevadodevecesparadarporvlidoslosresultados obtenidos. Ejemplo2:APepe,sumejoramigoJuanleproponeunjuego:lanzarun dadohastaqueladiferenciaentrelasvecesquehansalidonmerosparese imparesseatres.Pepepagar100monedasencadatiradaycobrar1000al final. Cmo puede comprobar Pepe si Juan es realmente un buen amigo? Para comprobarlo, Pepe puede hacer los clculos necesarios para calcular la esperanza de la ganancia o de la prdida o puede simular las tiradas del dado y observar los resultados. I.2 Ventajas e inconvenientes de la simulacin Puestoqueexistendosmtodosparaobtenermodelos,cabepreguntarse cundo es ventajoso utilizar la simulacin y qu inconvenientes puede tener. Cundo puede ser ventajosa la simulacin: Si no existe formulacin matemtica del modelo o los mtodos de resolucin. Porejemplo,cuandosevaaconstruirunaeropuertoparapreverlas necesidadesdeinfraestructurasnecesariasnoexisteunmodelomatemtico que pueda contemplar todo conjuntamente. Otro ejemplo son los sistemas de lneas de espera para los que se puede plantear un modelo, pero para muchos deellosnoexistenmtodosmatemticospararesolverlasecuaciones resultantes. Sexisten,peroresultamsbaratoysencillosimular,yaqueenmuchas ocasiones el modelo y su resolucin resultan ms sencillos. Sisedeseaexperimentarconelsistemaantesdesuusooconstruccin.El ejemplo ms conocido son los simuladores de vuelo, pero no es el nico, ya que cada vez es ms habitual la implantaci...</p>