Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

  • Published on
    11-Jan-2016

  • View
    90

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System). Antrian M/M/1. Dalam antrian M/M/1: Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov) Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov) Hanya ada satu server Disiplin antrian: FIFO Antrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

<ul><li><p>Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)</p></li><li><p>Antrian M/M/1Dalam antrian M/M/1:Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov)Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov)Hanya ada satu serverDisiplin antrian: FIFOAntrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:</p></li><li><p>Analisa antrian M/M/1Misalkan Pn( t ) menyatakan peluang adanya n customers di dalam antrian pada waktu tPeluang adanya n customers pada waktu t+t dinyatakan sebagai berikut bila t kecil:Pn( t + t )= Pn( t )[(1t)(1t )+ t t ] + Pn 1( t ) [ t ( 1 t ) ] + Pn + 1( t ) [ t ( 1 t ) ]= [1( + )t]Pn(t)+t Pn1(t) + t Pn+1( t ) (orde keduat2 diabaikan)</p></li><li><p>Persamaan tadi merupakan differential-difference equationJika kita hanya memperhatikan nilai stasioner Pn(t), yang dinyatakan oleh Pn , faktor waktu dapat dihilangkan dan persamaan-perbedaan (difference equation) berikut dapat diperoleh :( + )Pn = Pn 1+ Pn + 1Ini merupakan suatu homogenous second-order difference equationMetoda standard untuk penyelesaiannya adalah dengan mengasumsikan bahwa bentuk solusinya adalah Pn= An Maka kita memperoleh hasil berikut P0 = A0 =A, sehingga kita dapatkan Pn= P0nDengan substitusi, dapat dinyatakan sebagai /Dengan demikian, solusinya adalah Pn =P0n dimana = /</p></li><li><p>Untuk menentukan P0, kita nyatakan bahwa</p><p>maka akan diperoleh P0 sama dengan (1)Akhirnya distribusi probabilitas kondisi (state probability distribution of) antrian M/M/1 diperoleh sebagai berikut:Pn=(1 )n, &lt; 1Peluang tidak ada customer di dalam sistem adalah sama dengan P0=(1 ), maka peluang sistem sibuk adalah 1P0=, Ini merupakan alasan mengapa dinyatakan sebagai utilisasi sistem antrian M/M/1</p></li><li><p>Ukuran antrian rata-rata dapat dihitung sebagai berikut := n</p></li><li><p>Analisa menggunakan diagram kondisiMisalnya jumlah customer di dalam sistem pada waktu t adalah N(t)Pada awalnya tidak ada customer, maka N(0) = 0Ketika suatu customer bergabung dengan antrian, nilai N(t) naik 1Setelah suatu customer meninggalkan antrian, nilai N(t) turun 1Jumlah N(t) menyatakan kondisi (state) sistemJika sistem diamati satu kali setiap t, sistem hanya akan berubah dari suatu kondisi ke kondisi terdekat dari suatu pengamatan yang berurutan, karena jumlah customers hanya dapat memiliki kemungkinan berikut :Akan sama, atauNaik 1, atauTurun 1</p></li><li><p>Transisi kondisi (state transition) untuk antrian M/M/1 dikenal sebagai suatu birth-death process:Perhatikan bahwa pada diagram di atas, transisi ke kondisi yang sama telah diabaikan karena transisi seperti ini tidak mempengaruhi hasil yang akan kita peroleh untuk sistem antrian yang akan kita diskusikan</p></li><li><p>Kesetimbangan aliran (flow balancing)Diasumsikan bahwa sistem antrian akan menjadi setimbang setelah beberapa saatDalam kondisi setimbang, peluang untuk memasuki suatu kondisi akan sama dengan peluang untuk meninggalkan kondisi tersebutIni merupakan konsep kesetimbangan aliran (flow balancing) dan diilustrasikan dalam diagram berikut ini (aliran pada state yang diberi lingkaran elips (aliran masuk/keluar kondisi n) adalah setimbang):</p></li><li><p>Persamaan berikut dapat diperoleh :Memasuki kondisi n: Pn1 + Pn+1Keluar dari kondisi n : ( + )PnDengan menggunakan kesetimbangan aliran, kita dapatkan( + ) Pn = Pn 1 + Pn + 1Yang sama dengan persamaan yang telah kita peroleh sebelumnya</p></li><li><p>Kondisi kesetimbangan aliran akan memberikan :Pn = Pn+1, atauPn+1 = Pn , untuk n = 1, 2, Solusi untuk persamaan ini adalah Pn = n P0Dan hasil serupa akan diperoleh seperti yang sudah kita dapat sebelumnya</p></li><li><p>ThroughputThroughput, , dari suatu sistem antrian adalah jumlah customer rata-rata yang telah dilayani, atau keluaran dari antrian, per satuan Pada antrian M/M/1, dengan adanya buffer yang berukuran tak terhingga, maka buffer tidak akan pernah overflows sehingga setiap job dapat dilayani Dengan demikian, throughput adalah sama dengan laju kedatangan rata-rata yaitu = </p></li><li><p>Throughput dapat pula dihitung dengan cara menganalisa serverPeluang bahwa server pada antrian M/M/1 idle adalah P0, maka prosentase waktu dimana server sibuk adalah 1P0Ketika sibuk, server menyelesaikan pelayanan dengan rate jobs/detik, maka laju rata-rata penyelesaian tugas server (laju ini sama dengan throughput), adalah = (1P0)Untuk antrian M/M/1, P0 = 1 , sehingga = (1P0)= = / = (hasil yang sama telah kita peroleh)</p></li><li><p>Analisa delay untuk antrian M/M/1Biasanya pengetahuan tentang delay sistem diperlukan Delay biasa disebut juga waktu respons (response time)Delay adalah total waktu yang dihabiskan customer di dalam sistem, meliputi waktu menunggu (waiting time) dan waktu pelayanan (service time)Bila kita nyatakan waktu menunggu sebagai W dan waktu pelayanan sebagai S maka delay (bila kita nyatakan sebagai D) adalah : D = W+SDelay rata-rata ditentukan dengan menerapkan teorema Little</p></li><li><p>Teorema LittleJumlah job rata-rata n di dalam sistem antrian pada kondisi steady-state adalah sama dengan perkalian laju kedatangan rata-rata dengan delay rata-rata , yaitu</p></li><li><p>Untuk antrian M/M/1, kita telah peroleh bahwa</p><p>Dengan menerapkan teorema Little kita peroleh:Dimana adalah delay rata-rataMaka delay rata-rata dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:Karena dan memiliki satuan jobs per satuan waktu, maka unit time, memiliki satuan waktu (time) per job, misalnya detik/job, atau menit /job dsb.</p></li><li><p>Menghitung waktu tunggu rata-rata (waiting time)Ingat D = W + S, maka W = D-SDengan demikian :</p></li><li><p>Bila yang diketahui adalah kecepatan link dan panjang paket rata-rata maka perhatikan slide-slide berikut ini</p></li><li><p>Customer = paket = laju kedatangan paket (packet arrival rate) (packets per time unit)L = panjang paket rata-rata (data units)server = link, tempat menunggu = bufferC = kecepatan link (data units per time unit)Waktu pelayanan = waktu transmisi paket rata-rata (packet transmission time)1/ = L/C = waktu transmisi paket rata-rataDefinisi: traffic load merupakan perbandingan antara laju kedatangan (arrival rate) dengan waktu pelayanan (service rate) = C/L:</p></li><li><p>ContohMisalkan ada sebuah link di antara dua paket. Asumsikan bahwa:Rata-rata ada 10 paket baru yang datang di dalam satu detikPanjang paket rata-rata adalah 400 bytes,danKecepatan link adalah 64 kbpsMaka traffic load adalah </p><p>Jika kecepatan link dinaikkan menjadi 150 Mbps, maka load hanya sebesar:</p></li><li><p>Analisa TeletrafficKapasitas sistemC = kecepatan link yang dinyatakan di dalam kbpsTraffic load = Laju kedatangan paket yang dinyatakan di dalam packet/s (anggap sebagai suatu variable)L = panjang paket rata-rata di dalam satuan kbitsQuality of service (dari sudut pandang user)Pz = peluang suatu paket harus menunggu terlalu lama, yakni lebih lama dari waktu referensi zJika diasumsikan sistem merupakan sistem antrian M/M/1, yaitu:Kedatangan paket meruoakan proses Poisson (dengan rate )Panjang paket terdistribusi exponential dengan rata-rata LMaka hubungan kuantitatif antara ketiga faktor (kapasitas sistem,beban trafik dan quality of service) diberikan oleh rumus tunggu (waiting time formula) berikut:</p><p>Catatan: Sistem hanya akan stabil bila &lt; 1, bila tidak maka jumlah paket yang mengantri akan menuju tak terhingga</p></li><li><p>ContohAsumsikan bahwa paket datang dengan laju = 50 packet/s dan kecepatan link adalah C = 64 kbps. Maka peluang paket yang datang menunggu terlalu lama (Pz ) (yaitu lebih lama dari z = 0.1 s) adalah Panjang paket rata-rata di diasumsikan konstant sebesar 1 kbit</p><p>Perhatikan bahwa sistem akan stabil karena:</p></li><li><p>Analisa antrian M/M/1 terbatasKita amati suatu antrian yang memiliki satu server dan R-1 buffersSehingga sistem dapat menangani maksimum R customersNilai kondisi adalah 0, 1, 2, ... R, dan diagram kondisinya adalah sebagai berikut:</p></li><li><p>Dengan menerapkan kesetimbangan aliran (flow balancing):Pn = nP0, n RUntuk menentukan P0, kita tahu bahwaMaka</p></li><li><p>Distribusi probabilitas kondisi diperoleh sebagai berikut:Perhatikan bahwa tidak perlu kurang dari 1Misalnya jika =1, maka Pn=P0 untuk semua n, sehingga</p></li><li><p>Blocking pada antrian M/M/1 yang terbatasJika suatu customer datang pada saat sudah terdapat R customers di dalam antrian, maka customer tersebut akan di blok (rejected)Untuk antrian M/M/1 yang terbatas dan hanya dapat melayani maksimum R customers, probabilitas blocking PB adalah sama dengan peluang bahwa pada antrian sudah terdapat R customers, yaitu.:Dapat dilihat bahwa jika , probabilitas blocking akan cepat menuju 1, yaitu hampir semua customer di-blok</p></li><li><p>ThroughputPerhatikan suatu sistem antrian dengan bloking yang umum berikut ini:Customers yang tidak di-blok akan berhasil masuk ke dalam antrianJumlah rata-rata customers yang tidak di-blok persatuan waktu ini adalah merupakan throughput g yaitu g = ( 1 PB )Dimana probabilitas blocking adalah PB, dan laju kedatangan adalah Jika kita amati server, maka throughput adalah: g = ( 1 P0 )</p></li><li><p>Untuk antrian M/M/1/R</p><p>Maka throughput untuk antrian M/M/1/R dinyatakan oleh:</p></li><li><p>Antrian yang state-dependentPada beberapa sistem antrian, karakteristik kedatangan (arrival ) dan kepergian (departure) tidaklah tetapKarakteristik bisa tergantung pada kondisi sistemLaju kedatangan pada kondisi n = nLaju pelayanan pada kondisi n = nSolusi UmumUntuk memperoleh solusi umum bagi antrian yang state-dependent, kita dapat menerapkan prinsip flow balancing tetapi dengan laju kedatangan dan kepergian yang state-dependent</p></li><li><p>Perhatikan diagram berikut dan kita terapkan flow balancing pada state yang diberi elips:Persamaan kesetimbangan adalah sebagai berikut:( n + n ) Pn = n 1 Pn 1 + n + 1Pn + 1Atau untuk elips berikut :Persamaan kesetimbangan adalah sbb:n1Pn1 = nPn</p></li><li><p>Solusi umum adalah sbb:Yang dapat disederhanakan menjadi :</p><p>Seperti biasa, P0 dapat ditentukan dari kondisi normalisasi:</p><p>Tergantung dari apakah buffernya tak terhingga atau terbatas</p></li><li><p>Antrian M/M/2Antrian M/M/2 adalah antrian dengan 2 server yang identik dan satu buffer yang sama seperti diperlihatkan di bawah:Ketika suatu customer datang, :Dia akan dilayani oleh server manapun bila kedua server sedang idle, atauDilayani oleh salah satu server jika hanya ada satu server yang idle, atauAkan menunggu di buffer sampai sebuah server bebas (akan dilayani oleh server pertama yang idle)</p></li><li><p>Ketergantungan laju kedatangan pada kondisi:Laju kedatangan konstan dan tidak tergantung pada kondisi yaitu n = Ketergantungan laju pelayanan (service rate) pada kondisi:Jika hanya ada 1 customer di dalam sistem, satu server akan sibuk sedangkan server lainnya idle; pada kasus ini sistem ekivalen dengan sistem yang mempunyai satu server dengan laju pelayanan , yaitu 1 = Jika kedua server sibuk, maka sistem antrian menjadi ekivalen dengan sistem antrian yang memiliki satu server dengan laju pelayanan 2 , yaitu, 2 = 2, 3 = 2, ... dsb, atau secara umum n = 2 untuk n2</p></li><li><p>Dengan didefinisikan sebagai 2, solusi umum untuk distribusi probabilitas kondisi sistem antrian M/M/2 adalah:Dengan ukuran buffer yang tidak terhingga, P0 dapat ditentukan sbb:Probabilitas kondisi lainnya adalah :</p></li><li><p>Panjang antrian rata-rata adalahAverage response time adalah:Throughput bila dilihat dari sisi server:Cara lain untuk menghitung throughput adalah sbb: karena pada antrian M/M/2 tidak ada loss, throughput adalah sama dengan arrival rate </p></li><li><p>Antrian M/M/Antrian ini memiliki jumlah server yang tak terhingga, tetapi tidak memiliki buffer (karena tidak diperlukan)Layanan diberikan langsung bila ada customer datangKarena laju kedatangan tidak tergantung kondisi maka n = untuk n=0,1,2,Laju pelayanan tergantung kondisi : n = n untuk n=1,2,</p></li><li><p>Solusi umum untuk probabilitas kondisi adalah sbb:Untuk mencari P0 kita gunakanJumlah rata-rata customers adalah:</p></li><li><p>Karena sistem adalah non-blocking dan tidak ada loss, maka throughput pasti sama dengan laju kedatangan arrival rate Tetapi jika throughput dihitung berdasarkan sudut pandang server, maka throughput dapat dihitung sebagai berikut:Dengan menerapkan teorema Little, the average response time adalah:(perhatikan bahwa 0 = 0)</p></li><li><p>Distribusi Erlang ke-2Tutun JuhanaSTEI - ITB</p></li><li><p>Notasi Kendall dari Distribusi Erlang ke-2 adalah M/M/sProses kedatangan PoissonWaktu pelayanan teridtribusi eksponensial negatifJumlah server sebanyak sBuffer berukuran tak terhinggaBila r menyatakan jumlah customer yang ada di dalam sistem (yang menunggu ditambah yang sedang dilayani), maka diagram sistem antrian M/M/s dapat dilihat di bawah ini. . .lsmr</p></li><li><p>Diagram transisi kondisiBila kondisi steady state tercapai dan dengan menggunakan prinsip rate-out = rate-in maka persamaan di dalam kondisi steady state adalah sbb:(l+rm)Pr(t) = lPr-1(t) + (r+1)mPr+1(t), untuk r &lt; s(l+sm)Pr(t) = lPr-1(t) + smPr+1(t), untuk r sSolusinya adalah sbb (bila a = l/m):</p><p>r-1rr+1ldtldt(r+1)mdtrmdt(untuk r &lt; s ; serupa dgn model loss system)r-1rr+1ldtldtsmdtsmdt(untuk r s; karena ada sebanyak scustomer yg dilayani dan sisanya sebanyak(r-s) sdg menunggu, maka peluang suatu customer selesai dilayani pada waktu t adalah smt (tdk tergantung) r )</p></li><li>Jika Pr merupakan distribusi peluang pada kondisi setimbang maka kondisi normalisasi berikut akan terpenuhiJika a</li><li><p>Waktu tunggu rata-rataPeluang menunggu didefinisikan sebagai peluang suatu kedatangan harus menunggu; kita nyatakan sebagai M(0) yaitu peluang waktu tunggu melebihi 0Suatu customer/call harus menunggu jika dan hanya jika jumlah call yang ada di dalam sistem tidak lebih kecil dari s, maka dengan prinsip PASTA akan kita peroleh:Persamaan di atas disebut rumus Erlang C (rumus distribusi Erlang ke-2)Kalau kita tulis ulang akan diperoleh persamaan berikut (agar dapat dihitung menggunakan rumus rugi erlang (rumus erlang B)Jumlah rata-rata panggilan yang menunggu diberikan olehDengan menggunakan rumus Little, kita akan peroleh waktu tunggu rata-rata sbb:dimana h=1/m dan a=l/m</p></li><li><p>Peluang waktu tunggu melebihi t, yang kita nyatakan sebagai M(t), diberikan oleh persamaan berikut ini (untuk disiplin antrian FIFO (First In First Out)):Peluang waktu tunggu melebihi t, dengan disiplin antrian RSO (Random Service Order) dinyatakan oleh:Disiplin antrian seperti FIFO, RSO, LIFO dsb., diklasifikasikan sebagai non-biased discipline (penanganannya tidak tergantung waktu pelayanan)Untuk non-biased discipline waktu tunggu rata-ratanya akan sama dengan WSedangkan untuk biased discipline (penanganannya tergantung waktu pelayanan), waktu tunggu akan berbeda dengan WContoh biased discipline adalah SSTF (shortest service time first)</p></li><li><p>Contoh:Pada jaringan telepon, waktu sejak off-hook sampai mendapatkan dial-tone disebut dial-tone delay. Di dalam pemakaian praktis, peluang dial-tone delay melebihi 3 detik tidak boleh lebih daripada 1%. Dial digit receivers (register pengolah digit yang di-dial) dirancang untuk memenuhi kriteria kinerja ini. Misalnya di dalam suatu PABX yang melayani 3000 telepon diketahui bahwa setiap telepon membangkitkan rata-rata satu panggilan per jam dan waktu men-dial terdistribusi ekponensial dengan rata-rata 12 detik. Asumsikan bahwa diperlukan waktu selama 0,5 detik (tetap) untuk menghubungkan register di dalam operasi switching, maka waktu tunggu di dalam register yang diperbolehkan adalah 2,5 detik (jangan lupa dial-tone delay tidak boleh melebihi 3 detik)Beban trafik yang diberikan kepada register adalah a=3...</p></li></ul>