Sistemas de gauss jordan 1

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Gauss-Jordan

Bachiller: Jorge Franco Calkitis C.I: 10.292.157Instituto Universitario Politcnico Santiago MarioMinisterio del Poder Popular para la Educacin UniversitariaIngeniera IndustrialCtedra: Algebra LinealSede BarcelonaProfesora: Milagros MaitaPRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Gauss y Gauss-Jordan

MTODO DE GAUSSAPLICACION DEL METODO DE GAUSSMTODO DE GAUSS-JORDANAPLICACIN DE GAUSS-JORDANPUNTOS A TRATAR

PRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

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MTODO DE GAUSS

El mtodo de Gauss para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformar un sistema en otro equivalente con forma triangular, cuya resolucin es sencilla.

Para ello se mantiene invariable la primera ecuacin y se sustituyen las siguientes ecuaciones por las que resultan de eliminar la primera incgnita entre la primera ecuacin y cada una de las restantes

Se mantendrn invariables las ecuaciones por las que se obtienen de eliminar la segunda incgnita entra la segunda ecuacin y cada una de las siguientes.

Se contina as el proceso hasta obtener un sistema en forma triangularPRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

APLICACION DEL METODO DE GAUSSReducir a forma triangular los siguientes sistemas:

x + y + z = 3 x+ 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = - 2

( m =3, n = 3)

Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera ecuacin y las dos restantes. Para ello:PRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 3 2 0 1 2 -1 1 4 9 -2 -f1 + f2 0 3 8 -5 -f1 + f3

ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuacin,

1 1 1 3 1 1 1 31 2 3 -1 0 1 2 -1 0 3 8 -5 -3 / 2 + f3 0 0 2 -2

obtenemos as el sistema equivalente en forma triangular y + 2z = -1 x + y + z = 3 2z = -2PRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

APLICACION DEL METODO DE GAUSS

-2x + y + z = 1 x 2y + z = -2 (m = n = 3) x + y 2z = 4

-2 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 -3 3 -3 1 1-2 4 f1 + 2f2 0 3 -3 9 f2 + f3 f1 + 2f3

-2 1 1 10 -3 3 3 0 0 0 6

obteniendo el sistema triangular equivalente al original: -2x + y + z = 1 -3y + 3z = -3 0 = 6APLICACION DEL METODO DE GAUSSPRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

2x + y +z = 1 (m = 2 n =3)3x + y z = 0

efectuando transformaciones:

2 1 1 1 2 1 1 13 1 -1 0 -3f1 + 2f2 0 1 5 -3

y obtenemos el sistema triangular : 2x + y + z = 1 -y 5z = -3APLICACION DEL METODO DE GAUSSPRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

Es similar al mtodo de Gauss. Se emplea en la resolucin de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incgnitas.

Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Mtodo de Gauss.

OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero.

Sea: a.x + b.y + c.z = d a.x + b.y + c.z = da.x + b.y + c.z = d

Opero mediante el Mtodo de Gauss, obteniendo:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j

METODO DE GAUSSPRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

Aplico el mtodo de Jordan:

Resto a la 2 fila la 3 fila multiplicada por f / hResto a la 1 fila la 3 fila multiplicada por c / hQueda:a.x + b.y = k + e.y = p h.z = j

Resto a la 1 fila la 2 fila multiplicada por b / eQueda:a.x = q x = q / a e.y = p y = p / e h.z = j z = j / h

METODO DE GAUSS- JORDANPRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

La suma de las tres cifras de un nmero es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el nmero aumenta en 396 unidades. De qu nmero se trata?.

Resolucin:

Sea N = zyx el nmero pedido Sea x = la cifra de las unidades.Sea y = la cifra de las decenas.Sea z = la cifra de las centenas.

Tenemos:x+y+z = 14x + y + z = 14z+y=xx y z = 0 xyz=zyx+396100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396

PRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

APLICACION DE GAUSS-JORDAN

PRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS

APLICACION DE GAUSS-JORDAN0 99 198 990El sistema de ecuaciones quedar as:

x + y + z = 14x y z = 0 99.x 99.z = 396

Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los trminos independientes:

1 1 1 141 -1 -1 099 0 -99 396

Aplicando el mtodo de Gauss:

F3 = F3 99F1 y F2 = F2 - F1 1 1 1 140 2 2 14

Dividiendo entre - 2 la segunda y entre 99 la tercera, queda:

1 1 1140 1 1 70 1 2 10

A la tercera fila o ecuacin la resto la segunda fila o ecuacin.F3 = F3 F2 1111401170013

Aplicando el mtodo de Jordan:A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera:

1007 x = 70104 y = 40013 z = 3PRESENTACIN ECUACIONES LINEALESJORGE LUIS FRANCO CALKITIS