Sisteme Complexe Gazodinamice

  • Published on
    03-Jan-2016

  • View
    13

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Sisteme Complexe Gazodinamice

Transcript

Cap. 2. SISTEME COMPLEXE GAZODINAMICE Procesele termodinamice simple care se utilizeaz n termodinamic pentru descrierea schimbrii de stare a gazelor perfecte la efectuarea lucrului mecanic nu iau n consideraie variaia energiei cinetice de micare a gazului considernd-o drept nul. Totodat exist foarte multe sisteme tehnice care produc lucru mecanicutiliznd enrgia de curgere a gazelor la viteze mari (100 m/s i mai mult). Aceste sisteme tehnice gazodinamice sunt : avioane, rachete ,nave aerospaiale, turbine cu abur, turbine cu gaze, propulsoare cu reacie, compresoare centrifuge i axiale, aparatele tehnologice i de conducerea automat cu jet. Teoria sistemelor tehnice gazodinamice face parte din dintr-o disciplin care poart numele Dinamica gazelor sau Gazodinamic. Scopul principal al teoriei sistemelor gazodinamice const n determinarea variaiei parametrilor gazodinamici n sistemele tehnice ca o funcie de coordonatele spaiale (x,y,z) i de timpul (t) :

n acest capitol vom studia sistemele gazodinamice cele mai simple care pot fi descrise prin teoria curgerilor unidimensionale, adic se determin variaia parametrilor n funcie numai de o singur coordonat x. Pentru aceasta se rezolv sistemul ecuaiilor gazodinamice n care sunt exprimate matematic legile fizice fundamentale de conservarea masei, impulsului i a energiei scrise n forma diferenial sau integral.

Ca s fie nchis, la sistemul se adaug ecuaia de stare a gazului perfect , care descrie legtura ntre presiunea (P), densitatea ( ) i temperatur (T) :

,

unde : , n care este constanta universal a gazului perfect, iar ( mas molar a unui gaz concret.

Acest sistem se completeaz cu ecuaia trasformrii termodinamice, care are loc la curgerea gazului n condiii date (adiabatic, politropic, izoterm, izentropic etc.).

n cazul cnd transformarea termodinamic nu este cunoscut se face apel la ecuaia caloric de stare a gazului perfect, care reprezint relaia ntre variaia temperaturii T i variaia energiei interne unitare e sau a entalpiei unitare i a unei mase de gaz.

Astfel ecuaia caloric poate fi scris n dou forme :

sau ,

unde cp, cv ( cldura specific a gazului la presiune constant, respectiv la volum constant.

n cele ce urmeaz, vom demonstra ecuaiile fundamentale ale gazodinamicii: ecuaia de continuitate, ecuaia impulsului, ecuaiile de micare ale gazului ideal, ecuaia energiei gazului n micare i ecuaia Bernoulli pentru curgerea adiabatic a gazului perfect, toate acestea constituind sistemul ecuaiilor gazodinamice.

n acest capitol vom studia sistemele gazodinamice cele mai simple care pot fi descrise prin teoria curgerilor unidimensionale.

2.1.1. Ecuaia de continuitate

Aplicm legea de conservarea masei pentru un tub de curent cu seciunea variabil (fig. 2.1):

Fig.2.1. Curgerea gazului printr-un tub de curent cu seciunea variabil

Vom considera c tubul de curent este foarte subire astfel nct s putem admite c parametrii gazodinamici (viteza, presiunea i densitatea) sunt constani n toat seciunea sa. Volumul elementar , iar masa de gaz coninut n acest volum elementar este egal cu dm =, unde este densitatea gazului, S aria seciunii transversale curent a tubului.

n conformitate cu legea de conservarea masei, variaia masei n unitatea de timp este egal cu diferena dintre fluxul de mas intrat i cel ieit prin cele dou seciuni normale S i S + dS. Deci:

,

sau

Din ultima relaie dup simplificarea cu , rezult ecuaia de continuitate pentru un tub de curent cu seciunea variabil:

(2.1)

La curgerea permanent (t =const) avem , aa nct ecuaia devine mai simpl:

,

de unde reiese c , sau c debitul masic de gaz, trecut printr-un tub de curent cu seciunea variabil, este constant :

(2.2)

Relaia obinut reprezint ecuaia de continuitate pentru un tub de curent n form integral.Difereniind ecuaia (2.2) rezult: .

Dup mprirea, termen cu termen, a expresiei obinute la ecuaia iniial (2.2) se obine ecuaia de continuitate pentru un tub de curent n forma diferenial: (2.3)

NOT. Ecuaia de continuitate pentru un tub de curent arat c, datorit permanenei debitului masic, variaia seciunii tranversale(S) a canalului conduce att la schimbarea valorii vitezei () de curgere, ct i la modificarea densitii () a gazului.

2.1.2. Ecuaia de impuls

Legea conservrii impulsului din mecanic enun c suma vectorial a forelor ce acioneaz asupra unei mase de fluid n micare este egal cu variaia impulsului n unitatea de timp, respectiv:

,

(2.4)

n care m reprezint masa unui volum de fluid n micare cu viteza medie de curgere .

Vom generaliza ecuaia (2.4) pentru cazul unui tub de curent cu seciunea constant S = const. Suma forelor din partea stng a ecuaiei (2.4) include forele unitare exterioare de inerie (gravitaional) Fg i cele interioare de suprafa (de presiune) Fp , care acioneaz asupra fluidului n micare din volumul examinat. n cazul gazelor, forele unitare de inerie datorit densitii reduse, se neglijeaz (Fg = 0 ) i rmne numai fora de presiune (Fp).

Diferena presiunilor din seciunea de intrare (P1) i din seciunea de ieire(P2) a tubului de curent se datoreaz forei de presiune : ,care la rndul su conform ecuaiei (2.4 ) va fi egal cu variaia n timp a impulsului, sau , (2.5)

unde reprezint debitul masic, 2 este vitez n seciunea de ieire,iar 1 - vitez n seciunea de intrare. Considernd distana dx infinit de mic , putem nlocui: , i mprind-o ecuaia (2.5) cu S se obine ecuaia impulsului n form diferenial: ,

sau , i n forma final :

(2.6)unde este vitez medie de curgere, P presiunea i densitatea gazului din tubul de curent.

NOT. La fel ca i legea a doua a lui Newton din mecanica clasic a punctului material, ecuaia impulsului este relaia iniial principal din care pot fi deduse toate ecuaiile de micare, care descriu att curgerea continu n timp, ct i curgerea cu discontinuiti ce apar n gaze la viteze supersonice, de exemplu cu unde de oc, de detonaie etc.

2.1.3. Ecuaia de energie pentru curgerea adiabatic a gazului (ecuaia Bernoulli) Derivnd expresia (2.7) pentru entalpia

, (2.7)

rezult ecuaia:

(2.8)

Substituind-o n relaia pentru energie din Principiul nti al termodinamicii n forma diferenial (2.9): , (2.9)rezult expresia ecuaiei de energie n forma entalpic: , (2.10) la care este volumul specific, q cldura masic obinut de gaz ( sau eliminat din gaz) prin transferul de cldur, P presiunea i densitatea gazului din tubul de curent.

Substituind ecuaia impulsului (2.6) n expresia (2.10) rezult relaia: . (2.11)Considernd curgerea gazului fiind adiabatic, la absena transferului de cldur dq= 0, expresia (2.11) se simplific: , sau

Prin integrarea ultimei se obine :

, (2.12)unde i0 este entalpia total a gazului n micare.

Lund n consideraie expresia pentru entalpia unitar

, (2.13)

relaia lui Robert Mayer de legtur ntre cldurile specifice cp i cv , (2.14)

precum i expresia exponentei a procesului adiabatic

, (2.15)

rezult entalpia gazului in procesul adiabatic:

(2.16)

Dup introducerea expresiei pentru entalpia (2.16) n ecuaia (2.12) se obine ecuaia Bernoulli pentru curgerea adiabatic a gazelor perfecte: , (2.17)

n care:

este entalpia, care reprezint energia potenial unitar a unei mase de gaz, energia cinetic unitar a unei mase de gaz, iar ( entalpia total, care reprezint energia total unitar a unei mase de gaz n micare. Parametrii P, sunt presiunea i densitatea a gazului care curge cu viteza , respectiv P0, 0 reprezint presiunea i densitatea gazului n stare de repaus (cnd = 0). Din ecuaia de stare a gazului perfect , (2.18) reiese ca raportul presiunea-densitatea se poate nota .

Atunci ecuaia Bernoulli poate fi exprimat i prin temperaturile: