Skalarni proizvod vektora

  • Published on
    08-Jun-2015

  • View
    3.648

  • Download
    8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

matematika

Transcript

<p>Gimnazija u Pirotujun,2006Maturski rad iz matematikeSkalarniproizvodvektoraMentor: ucenik:prof.Valemtina Kostic Ivan Jovanovic IV51 Pojam vektora-Definicija.Velicine odredjene svojom brojnom vrednoscu,pravcem i smerom zovu se vektorske velicine ili vektori.-Neke vaznije osobine vektora:1.Pomeranje,sila,brzina,ubrzanje,moment sile,jacina magnetnog polja,i dr.-primeri su velicina koje su odredjene svojom brojnom vrednoscu,pravcem i smerom.2.Dva vektora su jednaka ako su istog pravca i istog smera i imaju jednake brojne vrednosti u odnosu na istu jedinicu.3.Duzina ili intenzitet vektora zove se jos i apsolutna vrednost ili modul,na primer za vektorABuuur,oznacavamo ABuuur.4.Vektor je takodje okarakterisan uredjenim parom tacaka,pa se zato i tako oznacacava,npr. (A,B) , (M,N) , itd.5.Sve vektore koje leze na istoj pravoj nazivamo kolinearnim vektorima.6.Vektor duzine 1 zove sejedinicni vektor ili ort1. VEKTORI NA PRAVOJ I U RAVNI-Definicija.algebarska vrednost MN vektora MNuuuur na datoj osi je realan broj + MNuuuur ili - MNuuuur zavisno od toga da liMNuuuur ima isti smer kao osa ili suprotan smer (1) MN=+ MNuuuur ili MN=- MNuuuur.Algebarska vrednost nula-vektora,tj. vektora cija je duzina jednaka 0, je 0.Ako je ar dati vektor,tada jedinicni vektor(ort) istog pravca i smera kao ar oznacavamo ortar pa je ma za koji vektorar razlicit od nula-vektora2(2)ar= arg ortar.Neka su na osi LL(sl.1.1)sa jedinicnim vektorom u dati vektoriABuuur iCDuuur , ur A BDC </p> <p> L LSl.1.1 i to istog smerakao osa (tj.pozitivnog smera),a drugi suprotnog smera.Tada je s obzirom na (2):(3)ABuuur= ABuuurur,CDuuur= CD uuuur r,A kako su algebarske vrednostitih vektora na osi LL(4) AB= ABuuur,CD= CDuuur,imacemo ABuuur=ABgur, CDuuur=CDgur.Osa na kojoj su utvrdjene tacke 0 i 1 zove se,kao sto je poznato,koordinatna osa;tacku 0 koordinatni pocetak oznacavamo sa0,a koordinatnu osu sa xo ,Loi sl.Koordinatna osa je , preme tome,odredjena svojim jedinicnim vektorom ( 1) OM uu uuuur r r i zadaje se tim vektorom.Izmedju skupa realnih brojeva i skupa svih tacaka na koordinatnoj osi(brojevnoj pravoj), postojiuzajamno jednoznacna korespondencija:svakoj tacki odgovara po jedan realan broj i svakom realnom broju odgovara po jedna tacka na koordinatnoj pravoj.Ako su OAuuur iOBuuur ma koja dva vektora na osixotada uvek mozemo naci takav broj 0 i / da je 0 OA OB i + uuur uuurg,To jest'OB OA i uuur uuur</p> <p>'( ) i i .3Za vektore OAuuur iOBuuur tada kazemo da su linearno zavisni.Dva vektora istog pravca (bez obzira da li su na istoj pravoj ili na paralelnim pravim) nazivamo kolinearnim( u sirem smislu );ako dva vektora nemaju isti pravac ,nazivamo ih nekolinearnim vektorima;ocigledno,ti vektori nisu linearno zavisni. Sl.1.2 sl.1.3Uocimo sada u ravni,dva uzajamno ortogonalna jedinicna vektora,ir ijr, sa zajednickim pocetkom 0 (sl.1.2).ti vektori odredjuju dve uzajamno ortogonalne koordinatne ose , xoi yo,sa zajednickim koordinatnim pocetkom 0.Svaki vektor OAuuur (tj. vektor polozaja svake tacke 0 A /)u toj ravni mozemo predstaviti kao zbir jednog vektorana osi xoi jednog na osi yo (tj. razloziti u komponente duz vektora ir i jr);dobicemo: (5)1 2OA OA OA +uuur uuur uuur, (sl.1.3)gde je (6) 1 1 xOA OAi a i uuur r rg, 2 2 yOA OA j a j uuur r rg (sa xai yaoznacene su,redom,algebarske vrednosti1OA i 2OAvektora 1OAuuur ,odn. 2OAuuur ).Sada , na osnovu (6) mozemo OA predstaviti zbirom (7)x yOA a i a j +uuur r r,4y1x 1jrir0yxAir1Ajr2AGde su xa i ya realni brojevi(koji nisu istovremeno 0);takav zbir nazivamo linearnom kombinacijom vektora ir i jr.Dakle,jednakostx yOA a i a j +uuur r r, daje nam razlaganje vektora OAuuurna { , i jr r ,realni brojevi xai ya su koordinate vektora OAuuur , Istovremeno ,koordinate tacke A u odnosu na koordinate ose; to oznacavamo:(8){,x yOA a a uuur ili( , )x yOA a auuur, odn.( , )x yA a a ;2. VEKTOR U KOORDINATNOJ RAVNI Kao sto smo pokazali,polozaj tacke u koordinatnoj ravni jednoznacno je odredjen njenim koordinatama ili njenim vektorom polozaja uodnosu na koordinatni pocetak .Neka je , na sl. 2.1 (gde su ir i jr istaknuti),A data tacka u koordinatnoj ravni,a OAuuur . sl.2.1ir2Ax0OAuuur( , ) ax yA a5y2A2AjrProjekcija vektora OAuuur naxoje1OAuuur, a na osuyo je2OAuuur; pritomje1 2OA OA OA +uuur uuur uuurx ya i a j +r r.Dakle,komponente vektora OAuuur razlozene na{ , i jr r su istovremeno projekcije vektora OA na osu xo i na osu yo ; Ako je dat vektor OAuuur{,x ya a ,tada je njegova duzina OAuuur2 2x ya a +;odatle nalazimo kvadrat duzine tog vektora , 2OAuuur,koji se oznacava 2OAuuur:(1)2OAuuur2 2x ya a + .Imajuci u vidu jos da je (2)yxatgao (( , ), OA i o uuur rRtj. ugao vektora OAuuur prema osi), mozemo konstatovati da ,znajuci koordinate vektora polozaja tacke, mozemo odrediti duzinu,pravac i smer tog vektora.Dolazimo do zakljucka :Vektori kojima su odgovarajuce koordinate jednake jednaki su.Za resavanje zadataka iz ove oblasti potrebno je poznavanje proizvoda vektora, i to sklarni prizvod vektorai vektorski proizvod vektora .Medjutimmi cemo sada objasniti samo skalarni proizvod vektora. 3.SKALARNI PROIZVOD VEKTORA63.1.IZRACUNAVANJE ALGEBARSKE VREDNISTI PROJEKCIJAVEKTORAProjekcije vektora OAuuur iOBuuur(sl.3.1)na vektor OLuuur (ili,sto je u ovom slucaju isto,na osu OL)jesu vektori 1OAuuuri 1OBuuur,cije su algebarske vrednosti(zavisno od njihove orijentacije ); Sl.3.1(1)1 1OA OA uuur,(2)1 1OB OB uuur.Iz1AOA Vje (1)( )1cos , , OA OA OL OA OA o uuur uuur uuur uuur uuurg ga iz 1BOB Vje(2)( )1 1cos , OB OB OB OB uuur uuur uuur uuurgcos( ) cos OB OB r uuur uuurg g .S obzirom na jednakosti (1),(2) i (1),(2) sada imamo jednakosti(*) 11cos ,cos ,OA OAOB OBo -' -uuuruuur7L 01B1ABAiz koje zakljucujemo:Algebarska vrednost projekcije vektora na drugi vektor jednaka je proizvodu intenziteta prvog vektora i kosinusa ugla zahvacenog tim vektorima.Posto se pri promeni znaka ugla vrednost njegovog kosinusa ne menja,jasno je da je svejedno koji krak ugla uzimamo kao pocetni,a koji je kao zavrsni.-Algebarske vrednosti projekcija jedinicnog vektora OMuuuur na jedinicne vektore ir i jr koordinatnih osa sucosoicos ( ( , ), ( , )) OMi OMj o uuuur r uuuur uurR R; zato svaki jedinicni vektor OMuuuurmozemo napisati u obliku1 2cos cos OM OM OM i j o + +uuuur uuuur uuuuur r r;odatle je (cos , cos ) OM o uuuur,tj. jedinicni vektor ima koordinatne cosoicos gde sui uglovitog vektora prema koordinatnim osama.3.2.SKALARNI PROIZVOD DVA VEKTORADefinicija.Proizvod algebarske vrdnosti projekcije jednog vektora na drugi i intenziteta ovog drugog vektora nazivamo skalarnim proizvodomta dva vektora.Kao sto samo ime ovog proizvoda kaze,rezultat takvog mnozenja dva vektora je skalar.Skalarni proizvod dva vektora obelezavamo tackom ,kao i proizvod skalara ,na primer: AB PQuuur uuurg,ili pomocu male zagrade ,na primer: ( , ) AB PQuuur uuur.Dakle, za dva vektora OLuuuri OAuuur(sl.3.1) skalarni proizvod je,po definiciji,1OL OA OLOA uuur uuur uuurg g ,a za vektore OLuuuri OBuuur skalarni proizvod je 81OL OB OLOB uuur uuur uuurg g ,Uzimajuci u obzir jednakosti (*),dobijamo neposredno:cos( , ) OL OA OL OA OL OA uuur uuur uuur uuur uuur uuurg g g(**) cos OL OA o uuur uuurg g ,cos( , ) OL OB OL OB OL OB uuur uuur uuur uuur uuur uuurg g g cos OL OB uuur uuurg g .Jednakosti (**) sluze kao definicione jednakosti skalarnog proizvoda dva vektora,naime vazi sledecaDefinicija.Skalarni proizvod dva vektora je proizvod njihovih intenzitetai kosinusa ugla izmedju tih vektora.Ako je1, OL uuurtada je ,na primer,11 cos OL OA OA OA o uuur uuur uuurg g g ,tj. algebarska vrednost projekcije vektora OAuuur na jedinicni vektor jednaka je skalarnom proizvodu ova dva vektora.-Za skalarni proizvod, ocigledno,vazi zakon komutacije, to jest u v v u r r r rg g.Sada cemo pokazati da za skalarni proizvod vazi i zakon distribucije.Neka je (sl.3.2) OA AB OB + uuur uuur uuur.Treba da dokazemo da je ( ) OA AB OL OA OL AB OL + +uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuurg g g.</p> <p>9L 01A1BABsl.3.2Zaista je ,po definiciji,1 1 1 1( ), OB OL OLOB OL OA AB +uuur uuur uuur uuur uuurg g 1, OA OL OLOA uuur uuur uuur uuurg g1 1. AB OL OL AB uuur uuur uuur uuuurg gSabiranjem poslednjih dveju jednakosti dobijamo1 1 1 1( ) , OA OL AB OL OL OA AB OLOB + + uuur uuur uuur uuur uuur uuurg g g gdakleOA OL AB OL OB OL + uuur uuur uuur uuur uuur uuurg g g,a odatle je , s obzirom na , OB OA AB +uuur uuur uuur( ) , OA AB OL OA OL AB OL + +uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuurg g gsto je i trebalo dokazati.Skalarni proizvod dva uzajamno ortogonalna vektora je 0;tako je ,na primer , 0. i j r rgPrimer1.Pokazati da kosinusna teoremavazi za ma kakav trougao(to jest i za tupougli trougao). 10A BCsl.3.3Resenje.Neka trougao ABCobrazujuvektori , CA ABuuur uuur i CBuuur.Ocigledno je (sl.3.3):, , , . CB AB CACB AB CA + a c buuur uuur uuur uuur uuur uuurGornju jednakost pomnozicemo njom samom (sto smemo uciniti,jer je 0 CB /uuur):( ) ( ) CB CB AB CA AB CA + +uuur uuur uuur uuur uuur uuurg gi na tako nastali skalarni proizvod primenicemo zakon distribucije vodeci racuna o tome da je : 2, CB CB a a cos0 auuur uuurg gg</p> <p>2, CA CA b b b cos0uuur uuurg gg</p> <p>2; ABAB c c c cos0uuur uuurg ggdakle,dobicemo: 2 22 . c AB CA b + +2auuur uuurgPreostaje jos skalarni proizvod cos( , ) ( , ), AB CA AB CA AB CA AB CA b c cosuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurg g gg11ugao ( , ) 180 ,oAB CA o uuur uuurRte je cos( , ) cos(180 ) cos ;oAB CA o o uuur uuurna osnovu toga je AB CA o b c cosuuur uuurg ggi2 22 . c b o +2a bc cos gOva jednakost ,kao sto je poznato,izrazava kosinusnu teoremu.Ocigledno,prethodna jednakost vaziza bilo koji trougao.Ako je torugao pravougli,tada je cos cos90 0,oo te se dobija 2 2, b c +2ato jest Pitagorina teoremakao poseban slucaj kosinusne teoreme.Skalarni proizvod vektora je jedno od osnovnih pojmova vektorske algebre.Njegovo svojstvo se siroko primenjuje pri dokazivanju teorema i resavanju zadataka.sada cemo ilustrovati primenu skalarnog proizvoda vektora u resavanju geometrijskih zadataka.4.ZADACI12 Zadatak 1.Strana osnovne pravilne trostrane prizme 1 1 1ABCABCjea.Tacke M i N pravilnog tetraedra MNPQ leze na pravoj ,koja prolazi kroz tacke 1Ci B,a tacke P i Q-na pravoj1AC.Naci:1)zapreminu prizme2)rastojanje izmedju sredisnjih odsecaka MN i PQ.Resenje.(slika 1.) Pogledaj vektore: , BC, CC , CAi BC(slka 1.);1 1 1CAuuur uuur uuuur uuuur uuuurOznaci CA ; ;i.Iz uslova sledi, da je.1u CB v CC h h h u v a uuur r uuur r uuuur r r r rU pravilnom tetraedru dijagonale stranica seku se pod pravim uglomiz toga sledi 1 1CA BC 1uuur uuuur prema tome 1 10 CABCuuur uuuurg .Asa nasim oznakama 1 1i, sledi CA u h BC h v + uuur r r uuuur r r2( ) ( ) 0,0.u h h vu h u v h h v+ +r r r rgr r r r r r rg g gUzimajuci o obzir,da je,i ( , )3h u h v u vr1 1 r r r r r r,dobijamo 2220 ili,2 22a a ah h otuda nalazimo zapreminu prizme 2 33 2 6.4 2 8a a aV B H g g 2)Neka su K i L sredisnji odsecci PQ i MN podudarni .Nadjimo KL.13A BC1C1B1APKQMLNIma nekoliko nacina za izracunavanje rastojanj medju pravama .Mi cemo se opredeliti za resavanje nepoznatog rastojanja pomocu skalarnog proizvoda.Pri tome ,kako mi vidimo ,nece biti neophodno da crtamo opste vertikale .Vazan je samo faktor njenog postojanja .Pa kako K i L leze na pravama 1 1 i u skladu sa tim,imamo CA BC11,(*).CK xCA xu xhBL yBC yh yv + uuur uuur r ruuur uuuur r rJasno je (pogledati sliku 1.), da je </p> <p>KL KC CB BL CK CB BL xu xh v yh yv + + + + + +uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r(1 ) ( ) xu y v y x h ++ r r r.Sve nam se vise ukazuje da KL predstavlja opstu vertikalu pravih 1 1iCA BC .Prema tome 11KL CA OKL BC O'uuur uuurguuur uuuurg,ili ( (1 ) ( ) ) ( ) 0( (1 ) ( ) ) ( ) 0xu y v y x h u hxu y v y x h h v++ + ' ++r r r r rr r r r rPosle primene elementarnih transformacija dobicemo: 1 2 i y= .3 3x Sada mozemo odrediti KL preko skalarnog kvadrata vektora KL:1 1 13 3 3KL u v h + +uuur r r r222 .66a aKL KL KL = uuur14Zadatak 2.U trapezu ABCD bocna strana CD je vertikalna na osnovu AD. , , ( ). BC a AD b a b</p>

Recommended

View more >