Soal-soal GeoAanalitikRuang

  • Published on
    14-Aug-2015

  • View
    262

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

xx

Transcript

<p>(Dengan Pendekatan Vektor)</p> <p>Oleh: Murdanu, M.Pd.</p> <p>JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2004</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011</p> <p>1. Diberikan titik A(4,3,2) dan B( 2,3,2). Carilah persamaan vektor suatu garis yang: (a) melalui O dan A; (b) melalui B dan sejajar dengan OA ; (c) melalui A dan sejajar dengan OB ; (d) melalui A dan B. 2. Diberikan titik A(0,1,2), B(3,0,0), C( 1, 2, 1): (a) Carilah persamaan vektor garis-garis yang memuat sisi-sisi ABC; (b) Carilah persamaan vektor garis yang melalui A dan sejajar dengan BC ; (c) Carilah persamaan vektor garis yang melalui B dan sejajar dengan CA ; (d) Carilah persamaan vektor garis yang melalui C dan sejajar dengan AB . 3. Diberikan titik-titik A( 1,0,0), B(5, 1,9), dan C(9, 5,15) dan garis g dengan persamaan:g x y z 3 2 6 2 1 3</p> <p>. Selidikilah: apakah A, B, C</p> <p>g?</p> <p>4. Gambar berikut merupakan visualisasi dari sebuah limas beraturan T.ABCD. AB = OT = 4 sp.z T</p> <p>D O C y B</p> <p>A</p> <p>x</p> <p>(a) Jika P merupakan titik tengah TB , carilah persamaan vektor garis OP ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang memuat TD ! (c) Kemukakan pendapatmu tentang OP dan TD ! (d) Jika Q, R, dan S berturut-turut titik-titik tengah dari AB , AD , dan DT , carilah persamaan vektor dari PQ dan RS ! (e) Kemukakan pendapatmu tentangPQ dan RS</p> <p>5. Carilah persamaan vektor dari bidang-bidang yang melalui titik-titik: (a) O(0,0,0), A(2, 3,4), B( 5, 2,1); (b) D(3,0,0), E(0,2,0), F(0,05); (c) G(0,0,4), H(1, 2,4), I(3,1,4). Apakah keistimewaan bidang-GHT ? 6. Carilah persamaan vektor dari bidang yang melalui A(3, 4,2), dan memuat vektor-vektor:a 2 3 1 dan b 1 2 . 0x y z x y z 0 2 3 2 1 3 1 2 1</p> <p>7. Carilah persamaan vektor dari bidang yang: (a) melalui garis-garis gx y z 4 1 2 1 2 1</p> <p>dan2 5 1</p> <p>h</p> <p>; (b) melalui titik (3, 2,1) dan memuat garis k</p> <p>.</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 1</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/20118. Lukiskan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran rusuk 4 sp., sedemikian, sehingga D=O (pusat sistem koordinat siku-siku), sumbu-x memuat DA , sumbu-y memuat DC , dan sumbu-z memuat DH . Carilah persamaan vektor dari: (a) bidang-sisi- ABFE dan bidang-sisi-EFGH; (b) bidang-diagonal-ABGH dan bidang-diagonal-ACGE; (c) bidang-AFH dan bidang BEG. 9. Selidikilah! Apakah titik-titik A(4, 2, 2) dan B( 7,4,4) terletak pada bidang:x y z 0 0 1 1 1 0 2 2 0</p> <p>?</p> <p>10. Selidikilah! Apakah titik-titik A( 1,3, 1), B(0,0, 2), C(2,0,1), dan D(5, 3,5) terletak pada satu bidang? 11. Selidikilah! Apakah garis-garis: gx y z 2 0 0 1 2 1</p> <p>x y z</p> <p>0 0 3</p> <p>2 0 4x y z 2 1 1</p> <p>,h2 1 0</p> <p>x y z</p> <p>0 4 01 2 0</p> <p>5 2 22 0 1</p> <p>,</p> <p>k</p> <p>, sejajar dengan bidang</p> <p>?</p> <p>12. Tunjukkanlah bahwa garis gx y z 0 1 3 1 0 2</p> <p>x y z</p> <p>2 1 7</p> <p>terletak pada bidang</p> <p>!</p> <p>13. Selidikilah! Apakah garis-garis mx y z 0 2 1 3 1 2</p> <p>x y z 0 1 4</p> <p>6 2 3</p> <p>dan n</p> <p>x y z</p> <p>0 2 0</p> <p>3 0 2</p> <p>menembus</p> <p>bidang</p> <p>? Apabila kedua garis tersebut menembus bidang</p> <p>tersebut, carilah koordinat-koordinat titik tembusnya! 14. Carilah koordinat-koordinat titik tembus sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z dengan bidangx y z 2 6 0 2 0 5 2 3 0</p> <p>!</p> <p>15. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB , BC , GH , EH . Ukuran rusuk kubus tersebut 2a sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Carilah persamaan vektor dari bidang- yang melalui P, Q, R, dan S; (b) Carilah koordinat-koordinat titik potong bidangTunjukkanlah bahwa KG bidang- . dengan AE dan CG . (c) KAE BE .</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 2</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201116. Vektor-vektor ac1 c2 c3</p> <p>a1 a2 a3dan d</p> <p>dan b</p> <p>b1 b2 b3</p> <p>adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- , dan vektor-</p> <p>vektor c</p> <p>d1 d2 d3</p> <p>adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- . Rumuskanlah ciri</p> <p>kesejajaran antara bidang- dan bidang- dengan menggunakan determinan. 17. Selidikilah! Apakah pasangan-pasangan bidang berikut sejajar ataukah berpotongan: (a)x y z x y z x y z 8 5 0 2 3 1 4 3 5 1 0 1 4 0 1 2 2 0 2 1 0 2 3 0 dan x y z x y z x y z 4 2 3 4 5 1 0 7 5 0 1 1 0 1 2 0 6 1 2 5 3 3 2 1</p> <p>;2 3 2</p> <p>(b)</p> <p>dan</p> <p>;</p> <p>(c)</p> <p>dan</p> <p>.</p> <p>18. Tunjukkanlah bahwa bidang-bidang berikut berimpit:x y z 1 1 0 2 3 0 1 0 2 dan x y z 0 4 2 1 3 2 0 3 4</p> <p>!</p> <p>19. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. . Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB , EH , AD , BC . Tunjukkanlah bahwa: (a) BH bidang PDE ; (b) PQ bidangRSH ; (c) bidang-DGQ bidang-ASF.</p> <p>20. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang-bidangx y z 0 2 0 1 0 2 1 2 0 dan x y z 1 0 0 0 1 2</p> <p>!</p> <p>21. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakang perpotongan antara bidangx y z 3 6 0 3 2 0 1 2 1</p> <p>dengan bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ.</p> <p>22. Diberikan titik-titik A(3,0,1), B(5,1,1), dan C(4, 1, 1). (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A, B, dan C; (b) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui titik P(5,2,0) dan sejajar dengan bidang- ; (c) Carilah persamaan vektor garis-garis yang merupakan perpotongan antara bidang-XOZ dan bidang- , bidang-XOZ dan bidang- ; (d) Tunjukkan kedua garis tersebut saling sejajar.</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 3</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201123. Diketahui bidang- melalui garis-garis: gx y z 0 0 4 0 1 0 dan h x y z 8 0 0 0 1 0</p> <p>, dan</p> <p>bidang- melalui titik-titik O(0,0,0), A(6,0,3), dan B(0,3,2). Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang- ! 24. Bidang- memuat garis kx y z 0 2 1 1 0 2</p> <p>dan garis-garis yang sejejar dengan sumbu-z.</p> <p>Carilah persamaan vektor bidang- dan persamaan vektor garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang XOY. 25. Hitunglah cosinus dari sudut antara pasangan-pasangan garis berikut: (a) gx y z 0 3 2 0 2 2 3 dan h x y z 1 0 2 3 4 0</p> <p>;</p> <p>(b) m</p> <p>x y z</p> <p>0 0 1</p> <p>4 2 1</p> <p>dan n</p> <p>x y z</p> <p>2 1 3</p> <p>3 5 2</p> <p>.</p> <p>26. Garis k melalui titik-titik A( 5,8,5) dan B(5, 7,0); garis j melalui titik-titik C( 9, 7,0) dan D(6,2,3). (a) Apakah kedua garis tersebut berpotongan? (b) Apabila kedua garis tersebut: (1) Tentukanlah m (j,k); (2) Carilah koordinat dari E = j k. 27. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 2 sp. P adalah titik tengah AB dan Q BG CF . Pilihlah sebuah sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Hitunglah cosinus dari: (1) m ( DF , DP ) ; (2) m ( DF , DG ) ; (3) m ( DF , EC ) ; (b) Buktikan bahwa DF menyilang tegaklurus, masing-masing dengan BE , BG , EG . 28. Carilah persamaan vektor garis-garis yang melalui titik (3,2,0), sejajar dengan bidang-XOZ, dan membentuk sudut berukuran1 4</p> <p>dengan garis k</p> <p>x y z</p> <p>1 2 0x y z</p> <p>2 2 1</p> <p>.</p> <p>29. Diketahui sebuah garis g</p> <p>x y z</p> <p>0 0 4</p> <p>2 3 1</p> <p>dan bidang</p> <p>2 1 0</p> <p>1 0 2</p> <p>1 1 1</p> <p>.</p> <p>(a) Selidikilah! Apakah g bidang- ?; (b) Bidangsumbu-z = A, A h, dan h persamaan vektor dari garis h!; (c) Jelaskan hubungan antara g dan h ! 30. Diketahui bidangx y z 0 2 5</p> <p>bidang- . Carilah</p> <p>bidang- dan garis g. Buktikanlah: g2 3 4</p> <p>g</p> <p>.</p> <p>31. Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A(3,1,0) dan tegaklurus dengan garisk</p> <p>dan tentukan koordinat dari B = bidang-</p> <p>k.</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 4</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201132. (a) Carilah persamaan vektor garis m yang melalui titik B(0,3,7) dan memotong tegaklurus garisn x y z 0 3 2 1 1 2</p> <p>; n;</p> <p>(b) Tentukanlah koordinat S = m (c) Tentukan m BS ! (a) AGbidang BDE ;</p> <p>33. Buktikanlah, bahwa dalam kubus ABCD.EFGH: (b) AGbidang CFH .</p> <p>34. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah EF . Pilih D berimpit dengan pusat sistem koordinat siku-siku. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui P dan tegaklurus dengan DF ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang BCGF. 35. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas 4 sp., dan ukuran garis tingginya m OT 4 sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku dengan OT berimpit dengan sumbu-z. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui D dan tegaklurus dengan TB ! ; (b) Tentukan koordinat titik potong bidang- dengan TB !; (c) Carilah persamaan vektor garis-potong antara bidang- dan bidang-ABT ! 36. Tentukanlah ukuran sudut antara garis g dan bidang- yang memiliki persamaan-persamaan vektor berikut: (a) gx y z x y z x y z 1 1 2 0 1 0 8 5 7 dan x y z 1 1 2 1 1 2 dan 3 8 5 x y z x y z 4 0 3 1 1 1 3 10 8 2 3 0 0 2 1 2 1 1</p> <p>;</p> <p>(b) g</p> <p>;1 1 2</p> <p>(c) g</p> <p>dan</p> <p>.</p> <p>37. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah FG dan Q AH DE . (a) Tentukan m ( DF , bidang (b) Tentukan m ( BQ , bidangBDG ) ; ACGE ) .</p> <p>38. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD, dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. O AC BD dan P adalah titik tengah CT . (a) Tentukanlah m ( BP , bidang BDT ) ; (b) Tentukanlah m ( BT , bidangBDP ) .</p> <p>39. Hitunglah cos m ( , ) yang persamaan-persamaan vektornya diberikan berikut: (a)x y z 2 0 1 0 1 1 dan x y z 1 0 2 0 1 1</p> <p>;</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 5</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011(b)x y z 2 1 5 0 0 1 3 1 4 dan x y z 1 0 2 0 1 0</p> <p>;1 1 0</p> <p>(c)</p> <p>x y z</p> <p>5 1 3</p> <p>0 1 2</p> <p>dan</p> <p>x y z</p> <p>0 0 2</p> <p>1 2 1</p> <p>.</p> <p>40. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P, Q, R berturut-turut merupakan titik-titik tengah dari AB , AE , BC . Tentukanlah: (a) m (bidang-DPE, bidang-DPF); (b) cos m (bidangHQR, bidang-ABC) ; (c) m (bidang-HQR, bidang-ADH); (d) m (bidang-HQR, bidang-DCG). 41. Lukislah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui B dan tegaklurus DT ; (b) Hitunglah cos m (bidang- , bidang-DPF); (c) Tentukanlah koordinat titik potong antara DT dan bidang- ; (d) Carilah persamaan vektor garis potong antara bidang- dan bidang-BCT. 42. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. (a) EF terletak pada bidang- yang tegaklurus terhadap bidang-DBE; (b) Carilah persamaan vektor tiap garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang-bidang koordinat; (c) adalah ukuran sudut antara bidangXOY dan proyeksi EF pada bidang DBE. Tentukanlah sin !</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 6</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011</p> <p>A. PERMUKAAN PUTAR 1. Sebuah kurva pada bidang-XOZ diwakili oleh persamaanf (x, z) 0 . Buktikan bahwa jika y 0</p> <p>z &gt; 0 sebuah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva tersebut mengelilingi sumbu-x adalah f x , y 2 2. Buktikan, bahwa fx2</p> <p>z</p> <p>2</p> <p>0.</p> <p>y ,z</p> <p>2</p> <p>0 adalah sebuah persamaan permukaan yang diperoleh</p> <p>dengan memutar kurva yang persamaannya diandaikan bahwa x &gt; 0.</p> <p>f (x, z) 0 mengelilingi sumbu-z, dan jika y 0</p> <p>3. Tentukanlah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva yang mengelilingi sumbu yang ditunjukkan, kemudian lukiskan permukaan tersebut! a) b) c) d) e) f)x2</p> <p>y</p> <p>16 z , sumbu-x 0</p> <p>g) h) i) j) k) l)</p> <p>y z</p> <p>sin x , sumbu-y 0</p> <p>x</p> <p>2</p> <p>yx2</p> <p>16 z , sumbu-z 0y z2</p> <p>y</p> <p>cos x , sumbu-x z 0e 0x</p> <p>16 0</p> <p>, sumbu-x36</p> <p>y z x2</p> <p>, sumbu-y2</p> <p>9y</p> <p>2</p> <p>4z x</p> <p>2</p> <p>0</p> <p>, sumbu-z , sumbu-y</p> <p>4y z 0</p> <p>16</p> <p>, sumbu-x , sumbu-y , sumbu-z</p> <p>9y</p> <p>2</p> <p>4z x</p> <p>2</p> <p>36</p> <p>x</p> <p>2</p> <p>0</p> <p>4y z 0</p> <p>2</p> <p>16</p> <p>3x z</p> <p>4y 0</p> <p>2</p> <p>, sumbu-x</p> <p>2y</p> <p>z x</p> <p>4 0</p> <p>0</p> <p>B. PERMUKAAN SILINDER DAN KERUCUTLukislah permukaan silinder, kerucut, atau sebuah permukaan putar yang dituliskan persamaannya berikut (pilihlah sumbu putarnya) 1. x2 + y2 = 16 2. y 3 = 0 3. x2 4z = 0 4. 4x2 y2 = 16 5. y = sin x 21. x2 y2 = z2 22. y2 = 4z 6. x = ez 7. y2 z2 = 49 8. z = cosh x 9. x = tg y 10. y = x 26. 4x2 + z2 = 16 27. z2 + 4y = 0 11. y2 + z2 = 4 12. z = sinh x 13. 4x2 9z2 = 36 14. z2 16y = 0 15. 2x 3y = 6 31. x2 + y2 = 25 32. z2 + 4y2 = 4 16. x = cos z 17. 9x2 + 4y2 = 36 18. z2 + x2 = 4 19. y2 9z2 = 16 20. z2 9y = 0 36. z + 2y 6 = 0 37. x2 + y2 = z2</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 7</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201123. x2 y2 + x y 6 = 0 24. xy = yz 25. y2 + z2 = 16 C. BOLA 1. Tentukan persamaan bola dengan pusat dan jari-jarinya diberikan berikut: a) Bola A( 1,2,3), 4) b) Bola(O(0,0,0), 6) c) Bola(B(3,1, 2), 1) d) Bola(C( 1, 1,0), 3) e) Bola(D(2,0, 3), 5) f) Bola(E(0, 4,1), 10) 28. x2 4yz = 0 29. x 3y + 3 = 0 30. 9z2 + 9y2 = x2 33. xy = 5 34. z2 y2 = 0 35. xz + yz = 0 38. 4y2 + 9z2 = 36 39. x2 = 4y 40. y2 z2 = 16x2</p> <p>2. Tentukan pusat dan jari-jari bola-bola berikut ! a) Bola b) Bola c) Bola d) Bola e) Bola x2 + y2 + z2 2x + 4y 6z 11 = 0 2x2 + 2y2 + 2z2 4x + 6z 3 = 0 x2 + y2 + z2 + 2y 4z 4 = 0 3x2 + 3y2 + 3z2 x + 7y + 3z 3 = 0 x2 + y2 + z2 6x + 4z 36 = 0</p> <p>3. Diameter sebuah bola adalah ruasgaris dengan ujung-ujung (5,2, 1) dan ( 3,4,7) Tentukan persamaan bola tersebut ! 4. Sebuah bola melalui titik-titik (2,1,3), (1, 1,2), dan ( 1,3, 1). Pusat bola tersebut terletak pada bidang 3x + y z 2 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut! 5. Sebuah bola melalui titik-titik (2, 1,1), dan (1,3,2). Pusat bola tersebut terletak pada garis 3x + 6 = 2y 3 = 3z. Tentukan persamaan bola tersebut! 6. Sebuah bola berpusat di titik ( 2,3,1) dan menyinggung bidang 2x y + 2z 7 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut! 7. Sebuah bola berpusat di titik (1,1, 3) dan menyinggung bidang x 2y 2z 7 = 0 pada titik (3, 1, 1). Tentukan persamaan bola tersebut! 8. Sebuah bola melalui titik-titik (1, 1,2), dan (2,1,1). Pusat bola tersebut terletak pada garis x = y + 3 = z + 1. Tentukan persamaan bola tersebut! 9. Sebuah bola menyinggung bidang 2x y + 2z + 3 = 0 dan berpusat di titik (3,1,5). Tentukan persamaan bola tersebut! D. ELLIPSOIDA 1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) x2 + 4y2 + 16z2 = 144 b) 9x2 + y2 + 4z2 = 36 c) 16x2 + 9y2 + 4z2 = 144 d) 4x2 + 4y2 + 9z2 = 36 e) x2 + 9y2 + 9z2 = 81 f) 4x2 + 9y2 + 4z2 = 1 g) 5x2 + 25y2 + 25z2 = 25 h) x2 + y2 + 4z2 = 4</p> <p>Written by Mur&amp;u, halaman 8</p> <p>SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/20112. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!2 a) 9 x</p> <p>4y 0 4y 0</p> <p>2</p> <p>36</p> <p>z</p> <p>; sumbu putarnya sumbu-x ; sumbu putarnya sumbu-y0</p> <p>2 b) 9 x</p> <p>2</p> <p>36</p> <p>z</p> <p>2 c) 5 x</p> <p>3z 04z 02</p> <p>2</p> <p>15</p> <p>y</p> <p>; sumbu putarnya sumbu-z ; sumbu putarnya sumbu-y ; sumbu putarnya sumbu-z ; sumbu putarnya sumbu-y</p> <p>2 d) y</p> <p>4</p> <p>0</p> <p>x</p> <p>2 e) x</p> <p>y</p> <p>z 0</p> <p>2</p> <p>16</p> <p>0</p> <p>2 f) 25 y</p> <p>z</p> <p>2</p> <p>625</p> <p>x</p> <p>03y 0 z2 2</p> <p>2 g)...</p>