Stabilité des familles exponentielles naturelles par convolution (Convolution et familles exponentielles naturelles)

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    04-Jul-2016

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<ul><li><p>C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 929-933, 1999 StatistiquelSfafisfics </p><p>Stab&amp;t&amp; des familles exponentielles naturelles par convolution (Convolution et familles exponentielles naturelles) </p><p>Denys POMMERET </p><p>CREST (Rennes), ENITIAA, laboratoire de statistique, rue de la GkraodiZre, B.P. 82225, 44322 Nantes cedex 3, France Courriel : pommeret@enitiaa-nantes.fr </p><p>(Requ le 15 novembre 1998, accept6 apr&amp;s r&amp;vision le 8 mars 1999) </p><p>R&amp;urn&amp; Letac (voir [lo]) a montrC que le produit de convolution de deux familles exponentielles naturelles (FEN) est encore une FEN si et seulement si ces familles sont gaussiennes ou de Poisson. Nous &amp;tendons ce rkultat en considkrant la convolution de n (n &gt; 2) FEN en proposant une dkmonstration originale et adaptable au cas multidimensiannel. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris </p><p>Stability of natural exponential families from the convolution </p><p>product </p><p>Abstract. When the convolution of two natural exponential families is still a natural exponential family, then these families are either Gaussian or Poisson. We generalize this result of Letac in the case ofn (n &gt; 2) families. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris </p><p>A bridged English Version </p><p>Letac (see [lo]) has shown that if FI and F2 are two natural exponential families (NEF) on R and if F = FI * F2 = {PI * P2 ; PI E FI , P2 E FZ}, where * denotes the convolution product, is still a NEF on W, then Fl, Fz and F are either Gaussian families or Poisson families. In the following theorem we offer a generalization of this result and the multidimensional case will follow by the same method (see [7]). </p><p>THEOREM 1. - Let F,, F2,. . . , F, be n independent NEF on W and let F = Fl * Fz * . . . * F,, = {PI * PZ * . . . * P, ; Pi E F,, i = 1, . . . , n}. If F is still a NEF on R, then FI, . . . , F,, and F are either Gaussian families or Poisson families. </p><p>Note prCsentCe par Paul MALLIAVIN. </p><p>0764-4442/99/03280929 0 Acadtmie des Sciences/Elsevier, Paris 929 </p></li><li><p>D. Pommeret </p><p>Proof - Let X; be the random variable with distribution vi E Ft. Write tXi = C Xj </p><p>and 5 = Xi + tXi, and denote 4; the law of (S, Xi) on Iw. By derivating the e$ility Ic$% (61,&amp;) = C kv, (6) + k,&lt; (6, + &amp;), we obtain </p><p>j#i </p><p>Then F(&amp;) is a NEF on Iw2 (see [12]) and using a result of Barndorff-Nielsen and Koudou [2] we may show that </p><p>E(xjls)=ori(~xj) +/A, j=1 </p><p>Vtw(Xi 1 S) = yi 2 x, ( &gt; </p><p>+ sf,, 3=1 </p><p>where M; &gt; 0 and y,, 2 0. We conclude with the help of two results of Bryc (see [31 and [4]). </p><p>1. Introduction </p><p>I1 est bien connu que la convolee l1 * ,&amp; de deux lois gaussiennes (resp. de Poisson) independantes est encore une loi gaussienne (resp. de Poisson). Ce resultat setend naturellement aux familles exponentielles naturelles (FEN) comme il est remarque dans [6] et Letac (voir [lo]) a montre la caracterisation suivante : </p><p>TH&amp;&amp;ME 1. - Soient Fl et F2 deux FEN sur Iw indbpendantes et soit F = Fl* F2 = (PI * Pz ; PI E Fl, I2 E Fz}. Si F est encore une FEN sur R, alors F 1, Fz et F sont des FEN de lois soit de Poisson, soit gaussiennes. </p><p>11 est interessant de vouloir Ctendre cette propriete dans deux directions : tout dabord la gentralisation a n (n &gt; 2) FEN independantes ; puis la version multidimensionnelle sur I@. Dans cette Note nous nous contentons de donner une demonstration du resultat pour n &gt; 2 faisant intervenir les moments conditionnels, et qui conduira a une generalisation multidimensionnelle. </p><p>Nous resumons tout dabord quelques resultats sur les FEN (nous renvoyons le lecteur aux livres [l] et [lo] pour plus de details). Si E est un espace vectoriel de dimension finie de dual E* et si p est une mesure de Radon positive sur E, non concentrte sur un hyperplan affine, on note </p><p>la transformee de Laplace de CL, oti (., .) designe la forme bilineaire canonique sur E* x E. Nous noterons 0, Iinterieur (suppose non vide) du domaine de L,, et k,, le logarithme de L,. La derivee premiere k$ d&amp;nit un diffeomorphisme entre 0, et son image notee M. Pour (3 E O,,, soit F(B, !L) la mesure de probabilite dont la densite par rapport B la mesure LL secrit exp{ (0, z) - kp(0)}. La famille des lois F = F(p) = {P(B, p) ; 0 E O,,} est appelee famille exponentielle naturelle (FEN) engendree par /A. 11 est bien connu que la moyenne et la matrice de variance-covariance de P(B, /I) </p><p>930 </p></li><li><p>Convolution et familles exponentielles naturelles </p><p>sont respectivement m = ks(19) et V(m) = k:(0). 0 n note $,)11 la fonction reciproque de l$. I1 est alors nature1 dutiliser la parametrisation par la moyenne en Ccrivant F = {P(m, F) ; m E Ad}, oti la densite de P(7n, F) par rapport a ,U nest autre que </p><p>fiL(xcl m) = exp {(tip(m), x) - f$L($p(m))}. </p><p>La fonction V : M -+ {formes lineaires de E* --j E} est appelee la function variance de F. Elle caracterise la FEN associte et nous la notons VF. Lorsque E = R, Morris (voir [ 111) a class6 les FEN dont la fonction variance est de degre deux en la moyenne en six types : gaussien, Poisson, gamma, binomial, negative binomial et hyperbolique. Chaque type de loi contient les affinites et les puissances de convolution de cette loi. </p><p>2. Stabilit6 par projection et moments conditionnels </p><p>Nous allons donner quelques resultats relatifs aux moments conditionnels qui permettront de demontrer le theoreme principal de cette Note (theoreme 3). Supposons que lespace E peut secrire comme le produit de deux espaces vectoriels E = El x Ea. Barndorff-Nielsen et Koudou [2] ont montre que si F est une FEN sur E et si la projection p(F) de F sur El est encore une FEN, ce qui signifie quil existe une mesure v sur El telle que p(F) = F(v), a ors on a les resultats suivants I (que nous resumons pour El = Iw dans cette Note) : </p><p>(i) il existe des fonctions analytiques Q! et ,l3 telles que </p><p>k(h, 02) = a(%) + P(b), </p><p>02 m = t(ml,mz) = k$(O,,&amp;) E E ; (ii) il existe des fonctions analytiques 4 et &lt; telles que </p><p>6 = 4(v) + I(h) ; (iii) il existe une dbintkgration r(dz)K,(dy) de v telle que : </p><p>k&amp;, (0,) + E(S,)n: - Dye,) = 0. </p><p>De (i)-(ii) on obtient </p><p>am1 ml = d(ml)- i381 </p><p>m2 = ,O(&amp;) + ck(m,)s. 2 </p><p>dml 1 = #(mr)- </p><p>i3rnl a91 </p><p>0 = q!+l1)- do2 + EW </p><p>Avec (iii) il vient </p><p>drn,l am1 m2w + (X - ml)w </p><p>VqX) = J&amp;,(02) = l am, 2 </p><p>7 (1) </p><p>, drni- d*k, ou - = -. De la m&amp;me maniere, on peut obtenir Var(Y 1 X) = kg, (02). Rappelons </p><p>dBj dtQ3Oj ici des resultats de Bryc ([3] et [4]) resumes dans le theoreme suivant dont la demonstration utilise principalement les proprietes de la transformte de Laplace (un resultat plus detail16 se trouve dans [S]) : </p><p>931 </p></li><li><p>D. Pommeret </p><p>T&amp;oR~%E 2. - Soit X et Y deux variables alkatoires rdelles, indkpendantes et ayant des moments du second ordre jinis. Sil existe des rtfels a, p, y, 6 tels que : </p><p>E(XIX+Y)=a(X+Y)+P, Var(X]X+Y)=y(X+Y)+S, </p><p>alors, si P(Y = 0) &lt; 1 et si y &gt; 0, X et Y sont de type Poisson. Si y = 0, X et Y sont de type gaussien. </p><p>3. StabilitC par convolution </p><p>Nous nous plaFons ici dans le cas E = R. </p><p>TH~ORI~ME 3. - Soient FI, . . . , F, n FEN indkpendantes sur R telles que F = Fl * Fz * . x F, soit encore une FEN. Alors les families F et F;, i = 1, . . . , n, sont soit toutes de type gaussien, soit toutes de type Poisson. </p><p>Dkmonstration. - Pour i = 1, . . . , n notons Xi la variable de loi vi E Fi et notons tXi = c X, et j#i </p><p>S = Xi + tXi. Les deux variables Xi et tXi sont independantes. De plus, la loi v de 5 appartient a </p><p>F. Notons 4i la loi sur R2 de la variable (S, X;). Pour tout (or, 0,) dans fi Ouj x fi 613,~ on a j=l j=l </p><p>&amp;,(f31,~2) = L,(~1)-&amp;(~1 +Bz)...L*,(h), </p><p>ce qui peut encore secrire </p><p>En derivant cette tgalite successivement deux fois nous obtenons la relation suivante : </p><p>Le domaine de L+% contient fi 0, j=l </p><p>et nest done pas vide. On montre aussi que &amp; </p><p>nest pas concentree sur un hyperplan affine (voir [12], lemme 4.5). Ainsi, $i engendre une FEN sur El x E2 = R x W. Par hypothese, la projection sur El est encore une FEN. Utilisons alors ICgalitC (1). On a : </p><p>E(Xi 1 S) = ffiS + ,Oioi, </p><p>Var(Xi ) S) = yiyis + Si, </p><p>932 </p></li><li><p>Convolution et familles exponentielles naturelles </p><p>Deux cas sont alors possibles : - soit y; = 0 et on doit alors avoir kll,(0) = 0 sur un ouvert ce qui signifie que k!, est constante </p><p>et done que Fi est une famille de lois gaussiennes. Le theoreme 2 montre que Xi et tX, sont simultanement gaussiennes ; </p><p>- soit Ti # 0 et le theoreme 2 montre que Xi et tXi sont simultanement de Poisson. </p><p>Ainsi, pour tout i = 1, . . _ , R,, la variable Xi est une somme de n - 1 variables indtpendantes de lois gaussiennes ou de Poisson. LCgalitC des transformtes de Laplace montre alors que si Xi est gaussienne, les n - 1 autres variables le sont aussi. Inversement, si une variable est de Poisson, les autres ne peuvent etre gaussiennes et sont done aussi toutes de Poisson. 0 </p><p>La demonstration du theoreme 3 se generalise a IFId en utilisant la caracterisation multidimensionnelle des FEN quadratiques simples (voir [5] et [9]). Cette generalisation est en preparation [7]. </p><p>RCfkences bibliograpbiques </p><p>[1] Bamdorff-Nielsen O.E., Information and Exponential Families, Wiley, New York, 1978. [Z] Bamdorff-Nielsen O.E., Koudou A-E., Cuts in natural exponential families, Theor. Probab. and Appl. 40 (1995) 361-372. [3] Bryc W., A characterization of the Poisson process by conditional moments, Stochastics 20 (1987) 17-26. [4] Bryc W., The Normal Distribution, Lect. Notes in Statis. 100, Springer-Verlag, 1995. [5] Casalis M., The 2d + 4 simple quadratic natural exponential families on I@, Ann. Statis. 24 (1996) 1828-1854. [6] Cohen A., Sackrowitz H.B., Constructing unbiased test for homogeneity and goodness of fit, Statis. Probab. Letters 12 </p><p>(1991) 351-355. [7] Koudou A.E., Pommeret D., On the Stability of multidimensional natural exponential families from the convolution </p><p>product, (1999) (en preparation). [8] Laha R.G., Lukacs E., On a problem connected with quadratic regression, Biometrika 47 (1960) 335-343. [9] Letac G., Le problbme de la classification des familles exponentielles sur R ayant une fonction variance quadratique, </p><p>Probability Measures on Groups IX, Lect. Notes in Math. 1306, Springer-Verlag, 1989, pp. 194-215. [lo] Letac G., Lectures on natural exponential families and their variance functions, Instituto de matematica pura e aplicada, </p><p>Monografias de matematica 50, Rio de Janeiro, Bresil, 1992. [1 11 Morris C.N., Natural exponential families with quadratic variance functions, Ann. Statist. 10 (1982) 65-82. [ 121 Pommeret D., Natural Exponential Families and Lie Algebras, Expositiones Math. 14 (1996) 353-381. </p><p>933 </p></li></ul>

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