statistiques MATHÉMATIQUES & probabilités ?· AGIR MATHÉMATIQUES COLLÈGE. LYCÉE. statistiques &…

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    11-Sep-2018

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<ul><li><p>A G I R</p><p>MATHMATIQUES</p><p>COLLGE LYCE</p><p>statistiques &amp; probabilits</p><p>De la sixime la terminale</p><p>Christophe RolandEnseignant au lyce Paul Duez de Cambrai</p><p>Anne KellerEnseignante au collge Louise Michel de Lille</p><p>Xavier BrioitEnseignant au lyce Marguerite de Flandre de Gondecourt</p><p>Laurent CharlemagneEnseignant au lyce Marguerite Yourcenar de Beuvry</p><p>Charles SuquetProfesseur des universits, UFR de mathmatiques, Lille 1</p><p>Michael KaimEnseignant au lyce International Montebello de Lille</p><p>Luc PicotEnseignant au lyce International Montebello de Lille</p><p>Coordonn par Christophe RolandEnseignant au lyce Paul Duez de Cambrai</p><p>Sous la direction de Franois Capy et Michel GouyIA-IPR de mathmatiques</p></li><li><p>Sommaire</p><p>7 Prface</p><p>9 Introduction</p><p>13 STATISTIQUE DESCRIPTIVE</p><p>17 LA NOTION DE FRQUENCE AU COLLGE</p><p>19 Comprendre et utiliser les diffrentes critures dune frquence</p><p>21 Dterminer une proportion en appliquant successivement deux taux de pourcentage</p><p>23 Dterminer une frquence lors de la runion de deux groupes</p><p>24 Comprendre et utiliser un pourcentage dvolution</p><p>30 Comprendre limportance des effectifs</p><p>34 Dautres ressources</p><p>37 LA NOTION DE MOYENNE AU COLLGE</p><p>39 Calculer une moyenne pour de petits effectifs</p><p>41 Calculer une pente moyenne</p><p>45 Utiliser le tableur pour calculer une moyenne</p><p>50 Dautres ressources</p><p>53 LES NOTIONS DE MDIANE, QUARTILES ET TENDUE AU COLLGE</p><p>55 Introduire de nouvelles caractristiques pour exploiter une srie statistique</p><p>60 Travailler mentalement les notions de mdiane et dtendue</p><p>62 Interprter des caractristiques dune srie statistique</p><p>63 Utiliser le tableur pour exploiter une srie statistique</p><p>67 ANALYSE DE DONNES EN CLASSE DE SECONDE</p><p>69 Construire des sries statistiques sous contraintes</p><p>71 Critiquer et proposer une reprsentation</p><p>72 Un exemple de travail interdisciplinaire</p><p>77 Dterminer les paramtres statistiques dune srie discrte ou continue</p><p>PARTIE 1</p></li><li><p>83 ANALYSE DE DONNES EN CLASSE DE PREMIRE</p><p>84 Introduire lcart-type</p><p>87 Calculer un cart-type avec de petits effectifs</p><p>89 Comparer des sries</p><p>91 Dautres ressources</p><p>93 DU CT DE LA THORIE</p><p> Mesure ponctuelle associe une srie statistique*</p><p> Intgration par rapport une mesure ponctuelle*</p><p> Fonction de rpartition et mdiane(s)*</p><p> Fonction de rpartition et moyenne*</p><p> Rsums dune srie statistique et minimisation*</p><p>97 PROBABILITS</p><p>99 LA NOTION DE PROBABILIT</p><p>101 Comprendre des notions lmentaires de probabilit</p><p>110 Utiliser des notions lmentaires de probabilit (1)</p><p>112 Utiliser des notions lmentaires de probabilit (2)</p><p>115 Utiliser les probabilits pour laborer une stratgie</p><p>118 tudier et modliser une exprience alatoire</p><p>121 Interprter des vnements de manire ensembliste</p><p>127 Proposer et valider un modle probabiliste</p><p>133 LA NOTION DE LOI DE PROBABILIT DUNE VARIABLE ALATOIRE DISCRTE</p><p>135 Prendre une dcision partir de lesprance</p><p>138 Choisir sa stratgie partir dune esprance</p><p>141 Justifier ses choix laide doutils probabilistes</p><p>146 Dcouvrir la loi binomiale</p><p>152 Consolider les connaissances sur la loi binomiale</p><p>156 Complter et exploiter un arbre pondr</p><p>160 Dcouvrir dautres lois discrtes</p><p>165 LA NOTION DE LOI DE PROBABILIT DENSIT</p><p>167 Introduire la loi uniforme et dcouvrir dautres lois continues (triangulaire, de Bates) </p><p>174 Dcouvrir le thorme de la limite centre. Introduire la loi normale</p><p>PARTIE 2</p></li><li><p>179 Centrer et rduire</p><p>183 Consolider les connaissances sur la loi normale</p><p>185 Exploiter les lois exponentielles</p><p>193 Dcouvrir une autre loi continue : la loi bta</p><p>195 DU CT DE LA THORIE</p><p> Espaces probabiliss*</p><p> Probabilits conditionnelles*</p><p> Indpendance*</p><p> Variables alatoires relles*</p><p> Lois classiques*</p><p> Esprance*</p><p> Loi des grands nombres*</p><p> TLC (convergence vers une loi normale)*</p><p>199 STATISTIQUE INFRENTIELLE**</p><p>201 LA NOTION DE FLUCTUATION</p><p>203 Dcouvrir un intervalle de fluctuation et les notions affrentes</p><p>208 Faire une analyse critique dun rsultat dchantillonnage</p><p>213 Comprendre limportance de la population de rfrence</p><p>216 Prendre une dcision partir dun chantillon</p><p>221 DU CT DE LA THORIE</p><p> Intervalle de fluctuation*</p><p> Intervalle de confiance*</p><p> pilogue*</p><p>PARTIE 3</p><p>* Ces chapitres sont consultables en ligne : https://www.reseau-canope.fr/notice/statistiques-et-probabilites-de-la-6e-a-la-terminale.html.</p><p>** Ce chapitre est le complment de larticle consquent Les intervalles de fluctuation de la seconde la terminale contenu dans louvrage Mathmatiques : comptences et volution des pratiques, classe de terminale. Cet article est consultable en ligne : https://www.reseau-canope.fr/notice/statistiques-et-proba-bilites-de-la-6e-a-la-terminale.html.</p></li><li><p>Prface</p><p>Le monde contemporain se caractrise par une profusion dinformations, parmi lesquelles les donnes chiffres occupent une place importante. Pour exercer son libre arbitre, le citoyen doit tre en mesure de se reprer parmi elles afin de les interprter avec discernement.</p><p>Statistiques et probabilits de la sixime la terminale sinscrit pleinement dans cette perspective. Proposant une grande diversit de situations, il prend appui sur des questions de la vie courante ou sur des documents issus des mdias.</p><p>Ainsi conu, lenseignement des statistiques et des probabilits est propice un renouvellement des pratiques pdagogiques, en offrant un terrain privilgi pour placer les lves en situation dactivit.</p><p>Les diffrentes tapes du travail (synthse, reprsentation, caractrisation dun chantillon, simulation, calculs, etc.) visent prparer linterprtation des donnes. La dmarche de llve consiste faire merger des questions et rsumer des informations, pour comprendre et analyser une situation en vue dmettre un avis ou de prparer une dcision.</p><p>Dans cet esprit, lusage dun tableur ou dautres logiciels facilite lexploitation de donnes relles, qui peuvent tre issues dautres disciplines.</p><p>Cet ouvrage prsente le double mrite de couvrir lensemble des classes du collge au lyce et darticuler lapproche des statistiques avec celle des probabilits.</p><p>Les problmes proposs, issus de situations concrtes, donnent lieu des tches non guides propices la prise dinitiative. ce titre, ils correspondent parfaitement aux enjeux des programmes. Dbouchant sur des questions ouvertes, ils fournissent loccasion dinstaurer dans la classe un dbat au cours duquel les lves doivent faire valoir leurs arguments.</p><p>Rjouissons nous de cette initiative de lacadmie de Lille. Que soient flicits les auteurs pour la qualit de ce travail, qui contribuera enrichir la rflexion des quipes de professeurs et dvelopper le got des lves pour les math-matiques travers la rsolution de problmes stimulants !</p><p>Xavier Sorbe Inspecteur gnral de lducation nationale.</p></li><li><p>19</p><p>LA NOTION DE FRQUENCE AU COLLGE</p><p>Comprendre et utiliser les diffrentes critures dune frquence</p><p>LAVARE</p><p>Niveau : cinquime</p><p>Prrequis : diffrentes critures dun nombre ; passage dune criture une autre ; critures fractionnaires.</p><p>Objectifs : motiver et travailler le passage dune criture une autre ; introduire (ou rinvestir) la comparaison de deux proportions (ici exprimes sous la forme de fractions de numrateur gal 1) ;</p><p> mettre en uvre un travail interdisciplinaire.</p><p>Comptences mises en uvre1 : matrise de la langue ; argumentation loral.</p><p>Lexpression pour cent sest impose au sicle des Lumires, comme latteste lEncyclopdie de Diderot et dAlembert. Auparavant, une frquence ou un taux snonait en recherchant le dnominateur dune fraction quivalente dont le numrateur est gal 1.</p><p>Dans lextrait suivant de LAvare (acte II, scne I), la Flche, valet de Clante, parle dun prt au denier dix-huit . Pour actualiser les propos du personnage, il est ncessaire de comprendre lexpression et de la reformuler en passant dune criture fractionnaire une criture en pourcentage.</p><p>DROULEMENTCette activit est introduite en classe entire, pour sassurer de la comprhension par tous de la situation et du rle de chaque personnage. Il ne sagit pas, cette tape, dexpliquer tout le vocabulaire, certes droutant pour certains lves, mais de permettre chacun de sinvestir dans le travail de groupe qui va suivre. Le professeur peut notamment inviter les lves reformuler les questions, traduire les expressions sp-cifiques lactivit avec leurs propres mots ( prteur , taux dintrt , taux dusure ). Les questions sont formules pour susciter des changes entre les lves et laisser place leurs initiatives dans la phase de rcriture.</p><p>1 Outre lacquisition de connaissances et de capacits, les programmes visent dvelopper des comptences spcifiques notre matire et transversales, et ce, pour favoriser la formation tout au long de la vie et pour mieux apprhender notre socit en constante volution. Pour le collge, on consultera le socle commun des connaissances et des comptences. Pour le lyce, on consultera le texte de rfrence Les comptences mathmatiques au lyce produit par le groupe des mathmatiques de lIGEN (http://mathematiques.discipline.ac-lille.fr/lycee/documents-lycee/programmes-lycee/competences-lycee.pdf).</p></li><li><p>20</p><p>STATISTIQUES &amp; PROBABILITS</p><p>ACTIVITHarpagon, lavare, naime que son argent. Il ne voit que des voleurs autour de lui, il souponne tout le monde de vouloir lui voler son argent. Il prive ses enfants du ncessaire. Son fils, Clante, qui ne peut compter sur son pre, a besoin de 15 000 francs. Son valet, la Flche, se charge de lui trouver un prteur.</p><p>LA FLCHE. Le prteur, pour ne charger sa conscience daucun scrupule, prtend ne donner son argent quau denier dix-huit.</p><p>CLANTE. Au denier dix-huit ? Parbleu, voil qui est honnte ! Il ny a pas lieu de se plaindre.</p><p>Extrait de LAvare, Molire, acte II, scne I.</p><p>1. lpoque de Molire, on utilisait lexpression au denier pour fixer un taux dintrt. Par exemple, un prt au denier dix signifiait que pour dix deniers emprunts, il fallait verser un denier dintrt. Proposer diffrentes critures dun taux au denier dix .</p><p>2. lpoque de Molire, le taux lgal ou taux du roi tait fix au denier vingt. Le taux rclam par le prteur est-il lgal ou est-il au contraire un taux dusure , taux dintrt suprieur au taux lgal ?</p><p>3. Pour esprer se faire comprendre de nos jours, la Flche ne devrait plus parler dun prt au denier dix-huit . Proposer une rcriture plus actuelle de cet change entre Clante et son valet.</p><p>PROLONGEMENTPar la suite, la Flche apprend Clante que le prteur (qui nest autre quHarpagon lui-mme) ne dispose pas des 15 000 francs en liquide et informe son matre des conditions relles du prt.</p><p>LA FLCHE. Cela est vrai. Mais, comme ledit prteur na pas chez lui la somme dont il est question, et que pour faire plaisir lemprunteur il est contraint lui-mme de lemprunter dun autre sur le pied du denier cinq, il conviendra que ledit premier emprunteur paye cet intrt sans prjudice du reste, attendu que ce nest que pour lobliger que ledit prteur sengage cet emprunt. </p><p>CLANTE. Comment diable ! [] Cest plus quau denier quatre. [...] Il y a encore quelque chose ?</p><p>LA FLCHE. Ce nest plus quun petit article. Des quinze mille francs quon demande, le prteur ne pourra compter en argent que douze mille livres, et, pour les mille cus restants, il faudra que lemprunteur prenne les hardes, nippes et bijoux dont sensuit le mmoire, et que ledit prteur a mis de bonne foi au plus modique prix quil lui a t possible. </p><p>CLANTE. Que veut dire cela ?</p><p>LA FLCHE. coutez le mmoire. Premirement, un lit de quatre pieds, bandes de point de Hongrie, appliques fort proprement sur un drap de couleur dolive, avec six chaises, et la courtepointe de mme, le tout bien conditionn et doubl dun petit taffetas changeant rouge et bleu. Plus un pavillon queue, dune bonne serge dAumale rose sche, avec le mollet et les franges de soie. </p><p>CLANTE. Que veut-il que je fasse de cela ?</p><p>La Flche. Attendez. Plus une tenture de tapisserie des amours de Gombaut et de Mace. Plus une grande table de bois de noyer, douze colonnes ou piliers tourns, qui se tire par les deux bouts, et garnie par le dessous de ses six escabelles. </p><p>CLANTE. Quai-je affaire, morbleu ?</p><p>LA FLCHE. Donnez-vous patience. Plus trois gros mousquets tout garnis de nacre de perle, avec les trois fourchettes assortissantes. Plus un fourneau de brique, avec deux cornues et trois rcipients, fort utiles ceux qui sont curieux de distiller. </p><p>CLANTE. Jenrage !</p><p>LA FLCHE. Doucement. Plus un luth de Bologne garni de toutes ses cordes, ou peu sen faut. Plus un trou-madame et un damier, avec un jeu de loie renouvel des Grecs, fort propres passer le temps lorsque lon na que faire. Plus une peau dun lzard de trois pieds et demi remplie de foin, curiosit agrable pour pendre au plancher dune chambre. Le tout, ci-dessus mentionn, valant loyalement plus de quatre mille cinq cents livres, et rabaiss la valeur de mille cus par la discrtion du prteur. </p><p>CLANTE. Que la peste ltouffe avec sa discrtion, le tratre, le bourreau quil est ! A-t-on jamais parl dune usure semblable ? Et nest-il pas content du furieux intrt quil exige, sans vouloir encore mobliger prendre pour trois mille livres les vieux rogatons quil ramasse ? Je naurai pas deux cents cus de tout cela ; et cependant il faut bien me rsoudre consentir ce quil veut, car il est en tat de me faire tout accepter, et il me tient, le sclrat, le poignard sur la gorge.</p></li><li><p>21</p><p>LA NOTION DE FRQUENCE AU COLLGE</p><p>1. la lecture de ce dialogue, dterminer la valeur dun cu.</p><p>2. Quel est le taux dintrt rclam par Harpagon son fils ? Prsenter la dmarche et expliquer les calculs effectus.</p><p>COMMENTAIRES DE SANCEPour illustrer cet extrait plus long de la scne I et en faciliter la comprhension, il peut tre intressant de visionner avec les lves un extrait dune version filme de la pice (par exemple le film de Jean Girault et Louis de Funs, sorti en 1980). Dans les adaptations modernes, laspect mathmatique est souvent absent de ce dialogue, au profit dune mise en valeur de lavarice du prteur.</p><p>Une tude plus approfondie de la pice ou de scnes choisies peut se mener en collaboration avec le pro-fesseur de lettres de la classe.</p><p>Dterminer une proportion en appliquant successivement deux taux de pourcentage</p><p>PAYS DVIAN MOBILE</p><p>Niveau : cinquime</p><p>Prrequis : notion de pourcentage ; application dun taux de pourcentage.</p><p>Objectifs : travailler la notion de proportion ; illustrer lapplication successive de deux taux de pourcentage.</p><p>Comptences mises en uvre : matrise de la langue ; recherche de linformation utile.</p><p>DROULEMENTCourte et facile daccs, cette activit peut tre mene en classe, de manire collective, ou propose indi-viduellement aux lves lors dun travail la maison par exemple. La recherche des informations utiles pour rpondre aux questions est loccasion de revenir sur quelques expressions importantes dans lnonc, comme parmi , estiment , autres . Pour aider les lves les plus fragiles extraire linformation et lexploiter correctement, le professeur peut les inviter reformuler certaines phrases, sassurant ainsi dune bonne comprhension, par tous, des donnes de lnonc.</p></li><li><p>33</p><p>LA NOTION DE FRQUENCE AU COLLGE</p><p>Un exemple de travail ralis par des lves est disponible sur le site compagnon. Ayant dabord essay de travailler avec les effectifs, ils se sont...</p></li></ul>

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