TemaIII a Numeros Complexos

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TEMA III Trigonometria e Nmeros ComplexosMiguel Moreira Jlia Justino Mariana Dias

Contedo1 Trigonometria 1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 O conceito de ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Algumas propriedades de tringulos planos . . . . . . . . . . . . 1.4 As funes Seno e Coseno de ngulos entre 0 e . . . . . . . . . 2 1.4.1 A relao entre o Seno e o Coseno . . . . . . . . . . . . . 1.5 As funes Secante e Cosecante para ngulos entre 0 e . . . . 2 1.6 As funes Tangente e Cotangente para ngulos entre 0 e . . . 2 1.7 O crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 O Seno e o Coseno no crculo trigonomtrico . . . . . . . 1.7.2 A Tangente e a Secante no crculo trigonomtrico . . . . 1.7.3 A Cotangente e a Cosecante no crculo trigonomtrico . . 1.8 Valores de funes trigonomtricas para ngulos arbitrrios . . . 1.8.1 Reduo de um ngulo arbitrrio ao intervalo [0, 2[ . . . 1.8.2 Reduo de uma funo trigonomtrica ao 1o quadrante 1.9 Equaes com funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Equao sen x = sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Outras equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Algumas importantes frmulas trigonomtricas . . . . . . . . . . 1.10.1 O seno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 O coseno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 A lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4 A lei do coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 7 9 12 13 15 15 20 24 28 28 29 30 30 31 33 33 34 35 37 39 44 48 48 49 53 57 61 66 68 70 71 72 75

2 Nmeros Complexos 2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Forma algbrica dos nmeros complexos e sua representao geomtrica 2.3 Operaes com nmeros complexos na forma algbrica . . . . . . . . . 2.4 Forma trigonomtrica dos nmeros complexos e representao geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica . . . . . . 2.6 Domnios planos e condies em varivel complexa . . . . . . . . . . . . 2.6.1 |z1 z2 | como distncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 |z z1 | = |z z2 | como mediatriz de um segmento de recta . . . 2.6.3 arg (z z1 ) = como semi-recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . sua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1

TrigonometriaIntroduo

"A palavra trigonometria uma combinao de duas palavras gregas, trigonon, que signica tringulo e metron, medir. A palavra apareceu na imprensa em nais do sculo XVI quando foi usada como ttulo de um trabalho de Bartholomaeus Pitiscus, publicado pela primeira vez em 1595 como suplemento de um livro sobre esferas. A palavra grega para ngulo gonia, e antes falava-se de goniometria como sendo a cincia da medida dos ngulos."in Tom Apostol, Os Primrdios da Histria da Humanidade, Boletim da SPM-no 47.

1.2

O conceito de ngulo

A noo de ngulo encontra-se rigorosamente caracterizada na obra de Euclides, matemtico e gemetra da antiguidade, chamada Elementos. Esta obra encontra-se dividida em treze livros. A oitava denio presente no primeiro livro precisamente a denio de ngulo plano: Denio 1 Um ngulo plano a inclinao mtua de duas rectas que se cruzam num mesmo plano. Basicamente o conceito de ngulo mede a inclinao relativa de duas rectas que se intersectam. Diz-se que a rotao plana de uma recta em torno dum seu ponto descreve um ngulo positivo se a rotao se vericar no sentido anti-horrio. Se a rotao se vericar no sentido horrio o ngulo descrito diz-se negativo.

Figura 1: ngulo (positivo) e (negativo) Os ngulos podem ser medidos em graus, radianos ou grados. 1

M a io d e 2 0 0 6

Quando atravs de uma rotao plana, em sentido anti-horrio, de uma recta orientada em torno de um seu ponto, esta volta pela primeira vez posio inicial o ngulo descrito igual a 360 (trezentos e sessenta graus), 2 radianos ou 400 grados.

Figura 2: ngulo = 360 = 2 rad = 400 grados. Se a rotao plana da recta anterior descrever apenas 180 , radianos ou 200 grados, a recta ca disposta na mesma direco embora com uma orientao oposta. habitual designar este ngulo por ngulo raso.

Figura 3: ngulo raso = 180 = rad = 200 grados. Se a rotao plana da recta em questo descrever 90 , descrito diz-se recto. 2

radianos ou 100 grados o ngulo

Figura 4: ngulo recto = 90 =

2

rad = 100 grados.

O sistema de medio de ngulos em graus designado por sistema sexagesimal, no qual as fraces de grau so representadas por minutos (angulares) e segundos (angulares). Como se sabe, nos sistemas sexagesimais, 60 minutos (ou 600 ) correspondem a 1 e 60 segundos (ou 6000 ) correspondem a 1 minuto. 2M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 1 Exprima em graus e radianos, 50 grados. Resoluo: Como se sabe, 90 e 2

radianos correspondem a 100 grados. Assim, 90 x = x = 45 50 grados 100 grados

e

1.3

Algumas propriedades de tringulos planos

radianos x = 2 x = radianos. 50 grados 100 grados 4

Denio 2 Um tringulo plano uma gura geomtrica com trs lados (constituidos por trs segmentos de recta) que denem trs ngulos internos, como se observar na Figura 5. Nesta gura denotamos os ngulos referidos pelas letras , e . habitual representar os lados de um tringulo por letras maisculas e os respectivos comprimentos pelas mesmas letras minusculas. Na Figura 5 representamos os lados pelas letras A, B e C.

B

A

C

Figura 5: Tringulo plano. No caso em que A = B = C o tringulo diz-se equiltero; se tiver dois lados iguais e um diferente diz-se um tringulo issceles e se tiver os lados todos diferentes o tringulo diz-se escaleno. No caso em que um dos ngulos internos do tringulo recto 90o = rad , o tringulo 2 diz-se rectngulo. A Figura 6 representa um tringulo rectngulo, onde o ngulo recto se encontra assinalado.

c

2

a

b

Figura 6: Tringulo rectngulo. Notemos igualmente que o tringulo ilustrado, apresenta mais dois ngulos internos aqui denotados pelas letras gregas e . As letras a, b e c representam respectivamente os 3M a io d e 2 0 0 6

comprimentos dos diferentes lados do tringulo. O lado oposto ao ngulo que recto designase por hipotenusa. Os restantes lados so designados habitualmente por catetos. Os tringulos planos, na geometria Euclideana, possuem algumas propriedades que importa referir pela sua utilidade. Teorema 1 (Teorema de Pitgoras) Em qualquer tringulo rectngulo, o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos: c2 = a2 + b2 . Uma das importantes propriedades dos tringulos planos que interessa assinalar, pelo seu alcance, a que caracteriza a soma dos ngulos internos. Propriedade 2 A soma dos ngulos internos de um qualquer tringulo igual a 180o , isto , a dois ngulos rectos. Na Figura 7 podemos observar uma construo geomtrica que pode servir de base demonstrao deste resultado.r

C

Figura 7: + + = 180 . Com efeito, se zermos passar uma recta paralela ao lado C, neste caso a recta r, pelo vrtice do tringulo que se lhe ope, facilmente conclumos que + + = 180 . De notar que o resultado enunciado s vlido no contexto da geometria Euclideana, isto nas geometrias que satisfazem, entre outros, o V axioma (da geoemtria) de Euclides. Este axioma estabelece que por um ponto exterior a uma recta, existe uma e uma s recta paralela recta dada. Observe-se que este facto esteve por trs dos argumentos atrs apresentados na demonstrao efectuada. Existem efectivamente outras geometrias, conhecidas por geometrias no-Euclideanas, igualmente teis em que o correspondente enunciado distinto. Como exemplos de geometrias no-Euclideanas que no satisfazem este enunciado podemos referir a geometria dos tringulos esfricos (utilizada na navegao martima e area) e a geometria de Lobachevsky (com aplicaes em cosmologia).

4

M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 2 Suponha que num tringulo rectngulo um dos ngulos internos tem 35 . Qual o valor do outro ngulo no-recto? Resoluo: Teremos de ter + 35 + 90 = 180 donde resulta = 90 35 = 55 . Seguidamente iremos referir mais algumas propriedades dos tringulos planos. Suponha-se que a partir dos lados A1 , A2 e A3 de comprimento a1 , a2 e a3 , de um dado tringulo A, construmos um novo tringulo B, cujos lados tem comprimentos b1 = ra1 , b2 = ra2 e b3 = ra3 , em que r representa um qualquer nmero real estritamente positivo.A B

a1

b1 = ra1

Figura 8: Tringulos semelhantes. Nestas circunstncias, o tringulo B diz-se semelhante ao tringulo A e os lados Ai e Bi com 1 i 3 dos tringulos A e B, dizem-se homlogos. Denio 3 Sejam A e B dois tringulos com lados A1 , A2 e A3 , B1 , B2 e B3 , e comprimentos a1 , a2 e a3 , b1 , b2 e b3 , respectivamente. Se existir uma constante de proporcionalidade r > 0 tal que bi = rai com 1 i 3, ento o tringulo B diz-se semelhante a A. Podemos armar, com um pequeno abuso de linguagem que tringulos semelhantes so proporcionais entre si. A propriedade seguinte permite-nos reconhecer tringulos semelhantes recorrendo noo de ngulo interno. Propried