TemaIII Trigonometria Numeros Complexos

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    08-Apr-2016

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  • TEMA IIITrigonometria e Nmeros Complexos

    Miguel Moreira Jlia Justino Mariana Dias

  • Contedo

    1 Trigonometria 11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 O conceito de ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Algumas propriedades de tringulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 As funes Seno e Coseno de ngulos entre 0 e

    2. . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4.1 A relao entre o Seno e o Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 As funes Secante e Cosecante para ngulos entre 0 e

    2. . . . . . . . . . . 12

    1.6 As funes Tangente e Cotangente para ngulos entre 0 e 2. . . . . . . . . . 13

    1.7 O crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1 O Seno e o Coseno no crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 A Tangente e a Secante no crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . 201.7.3 A Cotangente e a Cosecante no crculo trigonomtrico . . . . . . . . . 24

    1.8 Valores de funes trigonomtricas para ngulos arbitrrios . . . . . . . . . . 281.8.1 Reduo de um ngulo arbitrrio ao intervalo [0, 2[ . . . . . . . . . . 281.8.2 Reduo de uma funo trigonomtrica ao 1o quadrante . . . . . . . 29

    1.9 Equaes com funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9.1 Equao sen x = sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9.2 Outras equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.10 Algumas importantes frmulas trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10.1 O seno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10.2 O coseno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.10.3 A lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10.4 A lei do coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    1.11 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.12 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2 Nmeros Complexos 482.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2 Forma algbrica dos nmeros complexos e sua representao geomtrica . . . 492.3 Operaes com nmeros complexos na forma algbrica . . . . . . . . . . . . 532.4 Forma trigonomtrica dos nmeros complexos e sua

    representao geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica . . . . . . . . . 612.6 Domnios planos e condies em varivel complexa . . . . . . . . . . . . . . . 66

    2.6.1 |z1 z2 | como distncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6.2 |z z1 | = |z z2 | como mediatriz de um segmento de recta . . . . . . 702.6.3 arg (z z1) = como semi-recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    2.7 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.8 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

  • 1 Trigonometria

    1.1 Introduo

    "A palavra trigonometria uma combinao de duas palavras gregas, trigonon, que significatringulo e metron, medir. A palavra apareceu na imprensa em finais do sculo XVI quandofoi usada como ttulo de um trabalho de Bartholomaeus Pitiscus, publicado pela primeiravez em 1595 como suplemento de um livro sobre esferas. A palavra grega para ngulo gonia, e antes falava-se de goniometria como sendo a cincia da medida dos ngulos."in TomApostol, Os Primrdios da Histria da Humanidade, Boletim da SPM-no 47.

    1.2 O conceito de ngulo

    A noo de ngulo encontra-se rigorosamente caracterizada na obra de Euclides, matemticoe gemetra da antiguidade, chamada Elementos. Esta obra encontra-se dividida em trezelivros. A oitava definio presente no primeiro livro precisamente a definio de nguloplano:

    Definio 1 Um ngulo plano a inclinao mtua de duas rectas que se cruzam nummesmo plano.

    Basicamente o conceito de ngulo mede a inclinao relativa de duas rectas que se intersec-tam.Diz-se que a rotao plana de uma recta em torno dum seu ponto descreve um ngulopositivo se a rotao se verificar no sentido anti-horrio. Se a rotao se verificar no sentidohorrio o ngulo descrito diz-se negativo.

    Figura 1: ngulo (positivo) e (negativo)

    Os ngulos podem ser medidos em graus, radianos ou grados.

    1 M aio de 2006

  • Quando atravs de uma rotao plana, em sentido anti-horrio, de uma recta orientadaem torno de um seu ponto, esta volta pela primeira vez posio inicial o ngulo descrito igual a 360 (trezentos e sessenta graus), 2 radianos ou 400 grados.

    Figura 2: ngulo = 360 = 2 rad = 400 grados.

    Se a rotao plana da recta anterior descrever apenas 180, radianos ou 200 grados, a rectafica disposta na mesma direco embora com uma orientao oposta. habitual designareste ngulo por ngulo raso.

    Figura 3: ngulo raso = 180 = rad = 200 grados.

    Se a rotao plana da recta em questo descrever 90, 2radianos ou 100 grados o ngulo

    descrito diz-se recto.

    Figura 4: ngulo recto = 90 = 2rad = 100 grados.

    O sistema de medio de ngulos em graus designado por sistema sexagesimal, no qual asfraces de grau so representadas porminutos (angulares) e segundos (angulares). Comose sabe, nos sistemas sexagesimais, 60 minutos (ou 600) correspondem a 1 e 60 segundos(ou 6000) correspondem a 1 minuto.

    2 Maio de 2006

  • Exemplo 1 Exprima em graus e radianos, 50 grados.

    Resoluo:Como se sabe, 90 e

    2radianos correspondem a 100 grados. Assim,

    x

    50 grados=

    90

    100 grados x = 45

    ex

    50 grados=

    2radianos

    100 grados x =

    4radianos.

    1.3 Algumas propriedades de tringulos planos

    Definio 2 Um tringulo plano uma figura geomtrica com trs lados (constituidospor trs segmentos de recta) que definem trs ngulos internos, como se observar na Figura5. Nesta figura denotamos os ngulos referidos pelas letras , e . habitual representaros lados de um tringulo por letras maisculas e os respectivos comprimentos pelas mesmasletras minusculas. Na Figura 5 representamos os lados pelas letras A, B e C.

    B

    A

    C

    B

    A

    C

    Figura 5: Tringulo plano.

    No caso em que A = B = C o tringulo diz-se equiltero; se tiver dois lados iguais e umdiferente diz-se um tringulo issceles e se tiver os lados todos diferentes o tringulodiz-se escaleno.No caso em que um dos ngulos internos do tringulo recto

    90o =

    2rad, o tringulo

    diz-se rectngulo.A Figura 6 representa um tringulo rectngulo, onde o ngulo recto se encontra assinalado.

    c

    b

    a

    2

    c

    b

    a

    2

    Figura 6: Tringulo rectngulo.

    Notemos igualmente que o tringulo ilustrado, apresenta mais dois ngulos internos aquidenotados pelas letras gregas e . As letras a, b e c representam respectivamente os

    3 Maio de 2006

  • comprimentos dos diferentes lados do tringulo. O lado oposto ao ngulo que recto designa-se por hipotenusa. Os restantes lados so designados habitualmente por catetos.

    Os tringulos planos, na geometria Euclideana, possuem algumas propriedades que importareferir pela sua utilidade.

    Teorema 1 (Teorema de Pitgoras) Em qualquer tringulo rectngulo, o quadrado dahipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos:

    c2 = a2 + b2.

    Uma das importantes propriedades dos tringulos planos que interessa assinalar, pelo seualcance, a que caracteriza a soma dos ngulos internos.

    Propriedade 2 A soma dos ngulos internos de um qualquer tringulo igual a 180o, isto, a dois ngulos rectos.

    Na Figura 7 podemos observar uma construo geomtrica que pode servir de base demons-trao deste resultado.

    r

    C

    r

    C

    Figura 7: + + = 180.

    Com efeito, se fizermos passar uma recta paralela ao lado C, neste caso a recta r, pelo vrticedo tringulo que se lhe ope, facilmente conclumos que

    + + = 180.

    De notar que o resultado enunciado s vlido no contexto da geometria Euclideana, isto nas geometrias que satisfazem, entre outros, o V axioma (da geoemtria) de Euclides. Esteaxioma estabelece que por um ponto exterior a uma recta, existe uma e uma s recta paralela recta dada. Observe-se que este facto esteve por trs dos argumentos atrs apresentados nademonstrao efectuada. Existem efectivamente outras geometrias, conhecidas por geome-trias no-Euclideanas, igualmente teis em que o correspondente enunciado distinto. Comoexemplos de geometrias no-Euclideanas que no satisfazem este enunciado podemos referira geometria dos tringulos esfricos (utilizada na navegao martima e area) e a geometriade Lobachevsky (com aplicaes em cosmologia).

    4 Maio de 2006

  • Exemplo 2 Suponha que num tringulo rectngulo um dos ngulos internos tem 35. Qualo valor do outro ngulo no-recto?

    Resoluo:Teremos de ter

    + 35 + 90 = 180

    donde resulta = 90 35 = 55.

    Seguidamente iremos referir mais algumas propriedades dos tringulos planos.Suponha-se que a partir dos lados A1, A2 e A3 de comprimento a1, a2 e a3, de um dadotringulo A, construmos um novo tringulo B, cujos lados tem comprimentos b1 = ra1,b2 = ra2 e b3 = ra3, em que r representa um qualquer nmero real estritamente positivo.

    A B

    1a

    11 rab =

    A B

    1a

    11 rab =

    Figura 8: Tringulos semelhantes.

    Nestas circunstncias, o tringulo B diz-se semelhante ao tringulo A e os lados

    Ai e Bi com 1 i 3

    dos tringulos A e B, dizem-se homlogos.

    Definio 3 Sejam A e B dois tringulos com lados A1, A2 e A3, B1, B2 e B3, e comprimen-tos a1, a2 e a3, b1, b2 e b3, respectivamente. Se existir uma constante de proporcionalidader > 0 tal que

    bi = rai