Teorema de Bell

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    18-Oct-2015

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  • Teorema de Bell 1

    Teorema de BellEl teorema de Bell o desigualdades de Bell se aplica en mecnica cuntica para cuantificar matemticamente lasimplicaciones planteadas tericamente en la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen y permitir as su demostracinexperimental. Debe su nombre al cientfico norirlands John S. Bell, que la present en 1964.El teorema de Bell es un metateorema que muestra que las predicciones de la mecnica cuntica (MC) no sonintuitivas, y afecta a temas filosficos fundamentales de la fsica moderna. Es el legado ms famoso del fsico JohnS. Bell. El teorema de Bell es un teorema de imposibilidad, que afirma que:

    Ninguna teora fsica de variables ocultas locales puede reproducir todas las predicciones de la mecnicacuntica.

    Introduccin

    Ilustracin del test de Bell para partculas de espn 1/2. La fuente produce un par deespn singlete, una partcula se enva a Alicia y otra a Bob. Cada una problema de

    la medidamide uno de los dos espines posibles.

    Como en el experimento expuesto en laparadoja EPR, Bell consider unexperimento donde una fuente producepares de partculas entrelazadas. Porejemplo, cuando un par de partculas conespines entrelazados es creado; una partculase enva a Alicia y la otra a Bob. En cadaintento, cada observadorindependientemente elige entre variosajustes del detector y realiza una medidasobre la partcula. (Nota: aunque lapropiedad entrelazada utilizada aqu es el espn de la partcula, podra haber sido cualquier "estado cuntico"entrelazado que codifique exactamente un bit cuntico.)

    Cuando Alicia y Bob miden el espn de la partcula a lo largo del mismo eje (pero en direcciones opuestas), obtienenresultados idnticos el 100% de las veces.Pero cuando Bob mide en ngulos ortogonales (rectos) a las medidas de Alicia, obtienen resultados idnticosnicamente el 50% de las veces.En trminos matemticos, las dos medidas tienen una correlacin de 1, o correlacin perfecta cuando se miden de lamisma forma; pero cuando se miden en ngulos rectos, tienen una correlacin de 0; es decir, ninguna correlacin.(Una correlacin de 1 indicara tener resultados opuestos en cada medida.)

    Mismo eje: par 1 par 2 par 3 par 4 ...n

    Alicia, 0: + + ...

    Bob, 180: + + ...

    Correlacin: ( +1 +1 +1 +1 ...)/n = +1

    (100% idntica)

    Ejes ortogonales: par 1 par 2 par 3 par 4 ...n

    Alicia, 0: + + ...

    Bob, 90: + + ...

    Correlacin: ( 1 +1 +1 1 ...)/n = 0.0

    (50% idntica)

  • Teorema de Bell 2

    De hecho, los resultados pueden ser explicados aadiendo variables ocultas locales - cada par de partculas podrahaber sido enviada con instrucciones sobre cmo comportarse segn se las mida en los dos ejes (si '+' o '' para cadaeje).Claramente, si la fuente nicamente enva partculas cuyas instrucciones sean idnticas para cada eje, entoncescuando Alicia y Bob midan sobre el mismo eje, estn condenados a obtener resultados idnticos, o bien (+,+) o(,); pero (si todos las posibles combinaciones de + y son generadas igualmente) cuando ellos midan sobre ejesperpendiculares vern correlacin cero.Ahora, considere que Alicia o Bob pueden rotar sus aparatos de forma relativa entre ellos un ngulo cualquiera encualquier momento antes de medir las partculas, incluso despus de que las partculas abandonen la fuente. Si lasvariables ocultas locales determinan el resultado de las medidas, entonces las partculas deberan codificar en elmomento de abandonar la fuente los resultados de medida para cualquier posible direccin de medida, y no slo losresultados para un eje particular.Bob comienza este experimento con su aparato rotado 45 grados. Llamamos a los ejes de Alicia y , y a los ejesrotados de Bob y . Alice y Bob entonces graban las direcciones en que ellos miden las partculas, y losresultados que obtienen. Al final, comparan sus resultados, puntuando +1 por cada vez que obtienen el mismoresultado y 1 si obtienen un resultado opuesto - excepto que si Alicia midi en y Bob midi en , puntuarn +1por un resultado opuesto y 1 para el mismo resultado.Utilizando este sistema de puntuacin, cualquier posible combinacin de variables ocultas producira una puntuacinmedia esperada de, como mximo, +0.5. (Por ejemplo, mirando la tabla inferior, donde los valores mscorrelacionados de las variables ocultas tienen una correlacin media de +0.5, i.e. idnticas al 75%. El "sistema depuntuacin" inusual asegura que la mxima correlacin media esperada es +0.5 para cualquier posible sistema queest basado en variables locales.)

    Modelo clsico: variables altamente correlacionadas variables menos correlacionadas

    Variable oculta para 0 (a): + + + + + + + +

    Variable oculta para 45 (b): + + + + + + + + -

    Variable oculta para 90 (a'): + + + + - + + + - +

    Variable oculta para 135 (b'): + + + + + + + +

    Puntuacin de correlacin:

    Si se mide sobre a-b, puntuacin: +1 +1 +1 1 +1 +1 +1 -1 +1 1 1 1 1 1 1 +1

    Si se mide sobre a'b, puntuacin: +1 +1 1 +1 +1 +1 1 +1 1 1 1 +1 +1 1 1 1

    Si se mide sobre a'-b', puntuacin: +1 1 +1 +1 +1 1 +1 +1 -1 +1 1 1 1 1 +1 1

    Si se mide sobre ab', puntuacin: 1 +1 +1 +1 1 +1 +1 +1 1 1 +1 1 1 +1 1 1

    Puntuacin esperada promedio: +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

    El teorema de Bell muestra que si las partculas se comportan como predice la mecnica cuntica, Alicia y Bobpueden puntuar ms alto que la prediccin clsica de variables ocultas de correlacin +0.5; si los aparatos se rotan45 entre s, la mecnica cuntica predice que la puntuacin esperada promedio ser 0.71.(Prediccin cuntica en detalle: Cuando las observaciones en un ngulo de son realizadas sobre dos partculasentrelazadas, la correlacin predicha es . La correlacin es igual a la longitud de la proyeccin del vector dela partcula sobre su vector de medida; por trigonometra, . es 45, y es , para todos los pares

    de ejes excepto donde son 135 y pero este ltimo se toma negativo en el sistema de puntuacinacordado, por lo que la puntuacin total es ; 0.707. En otras palabras, las partculas se comportan como si

    cuando Alicia o Bob hacen una medida, la otra partcula decidiese conmutar para tomar esa direccininstantneamente.)

  • Teorema de Bell 3

    Varios investigadores han realizado experimentos equivalentes utilizando diferentes mtodos. Parece que muchos deestos experimentos producen resultados que estn de acuerdo con las predicciones de la mecnica cuntica [1],conduciendo a la refutacin de las teoras de variables ocultas locales y la demostracin de la no localidad. Todavaexisten cientficos que no estn de acuerdo con estos hallazgos [2]. Se encontraron dos escapatorias en el primero deestos experimentos, la escapatoria de deteccin [3] y la escapatoria de comunicacin [4] con los experimentosasociados para cerrar estas escapatorias. Tras toda la experimentacin actual parece que estos experimentos danprima facie soporte para las predicciones de la mecnica cuntica de no localidad [5].

    Importancia del teoremaEste teorema ha sido denominado "el ms profundo de la ciencia."[6] El artculo seminal de Bell de 1964 fue titulado"Sobre la paradoja de Einstein Podolsky Rosen."[7] La paradoja Einstein Podolsky Rosen (paradoja EPR) demuestraque, sobre la base de la asuncin de "localidad" (los efectos fsicos tienen una velocidad de propagacin finita) y de"realidad" (los estados fsicos existen antes de ser medidos) que los atributos de las partcula tienen valores definidosindependientemente del acto de observacin. Bell mostr que el realismo local conduce a un requisito para ciertostipos de fenmenos que no est presente en la mecnica cuntica. Este requisito es denominado desigualdad de Bell.Despus de EPR (EinsteinPodolskyRosen), la mecnica cuntica qued en una posicin insatisfactoria: o estabaincompleta, en el sentido de que fallaba en tener en cuenta algunos elementos de la realidad fsica, o violaba elprincipio de propagacin finita de los efectos fsicos. En una modificacin del experimento mental EPR, dosobservadores, ahora comnmente llamados Alicia y Bob, realizan medidas independientes del espn sobre un par deelectrones, preparados en una fuente en un estado especial llamado un estado de espn singlete. Era equivalente a laconclusin de EPR de que una vez Alicia midiese el espn en una direccin (i.e. sobre el eje x), la medida de Bob enesa direccin estara determinada con total certeza, con resultado opuesto al de Alicia, mientras que inmediatamenteantes de la medida de Alicia, el resultado de Bob estaba slo determinado estadsticamente. Por tanto, o el espn encada direccin es un elemento de realidad fsica, o los efectos viajan desde Alicia a Bob de forma instantnea.En mecnica cuntica (MC), las predicciones son formuladas en trminos de probabilidades por ejemplo, laprobabilidad de que un electrn sea detectado en una regin particular del espacio, o la probabilidad de que tengaespn arriba o abajo. Sin embargo, persiste la idea de que un electrn tiene una posicin y espn definidos, y que ladebilidad de la MC es su incapacidad de predecir exactamente esos valores de forma precisa. Queda la posibilidad deque alguna teora ms potente todava desconocida, como una teora de variables ocultas, pueda ser capaz depredecir estas cantidades exactamente, mientras al mismo tiempo est en completo acuerdo con las respuestasprobabilsticas dadas por la MC. Si una teora de variables ocultas fuera correcta, las variables ocultas no serandescritas por la MC, y por lo tanto la MC sera una teora incompleta.El deseo de una teora local realista se basaba en dos hiptesis:1.1. Los objetos tienen un estado definido que determina los valores de todas las otras variables medibles, como la

    posicin y el momento.2. Los efectos de las acciones locales, como las mediciones, no pueden viajar ms rpido que la velocidad de la luz

    (como resultado de la relatividad especial). Si los observadores estn suficientemente