Teorema de Bernoulli

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    04-Jul-2015

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<p>TEOREMA DE BERNOULLI I. OBJETIVOS: Demostrar el Teorema de Bernoulli a travs de prcticas experimentales por medio de los tubos de Pitot y las medidas piezometricas. I. FUNDAMENTO TERICO: Bernoulli, Teorema de, principio fsico que implica la disminucin de la presin de un fluido (lquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad. Fue formulado en 1738 por el matemtico y fsico suizo Daniel Bernoulli, y anteriormente por Leonhard Euler. El teorema afirma que la energa total de un sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo. Puede demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminucin de su presin. Para ello se puede considerar los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinando la energa mecnica de una porcin de ste, a lo largo del filete de fluido en movimiento que los une. Si m es la porcin de masa considerada, su rapidez, la altura</p> <p>vsobre el nivel tomado como base, la presin y</p> <p>Y</p> <p>p</p> <p>la densidad en</p> <p>cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el teorema trabajo-energa cintica:</p> <p>pm 1 p m 1 2 mv12 + mgY1 + 1 = mv 2 + mgY2 + 2 . 2 1 2 2</p> <p>Si ahora se divide a todos los trminos de los dos miembros, entre la masa considerada, se obtendr la ecuacin de Bernoulli, que corresponde a la ley de la conservacin de la energa por unidad de masa. Si el fluido es incompresible, como supondremos en lo sucesivo, donde , la ecuacin de Bernoulli adopta la forma:</p> <p>1 = 2 = </p> <p>p1 +</p> <p>p m 1 2 1 2 v1 + gY1 = p 2 + v 2 + gY2 + 2 . 2 2 2</p> <p>El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avin o las hlices de un barco. Las alas estn diseadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presin sobre esta ltima es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presin proporciona la fuerza de sustentacin que mantiene al avin en vuelo. Una hlice tambin es un plano aerodinmico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presin que se produce al girar la hlice proporciona el empuje que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli tambin se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el dimetro del tubo, con la consiguiente cada de presin. Asimismo se aplica en los caudalmetros de orificio, tambin llamados venturi, que miden la diferencia de presin entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor dimetro, con lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal. Considerando el caudal en dos secciones diferentes de una tubera y aplicando la ley de conservacin de la energa, la ecuacin de Bernoulli se puede escribir como: . (1)</p> <p>P V1 P V 1 + + Z1 = 2 + 2 + Z 2 2g 2gY, ene este equipo ; y</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>Z1 = Z 2</p> <p>P = h</p> <p>Con esto, se quiere demostrar en estas prcticas que, para una tubera dada con dos secciones, 1 y 2, la energa entre las secciones es constante. La suma de los tres trminos anteriores es constante y, por lo tanto, el teorema de Bernoulli queda como sigue: . (2)</p> <p>H =Donde: = Altura cintica</p> <p>P V2 + 2g</p> <p>V2 2g</p> <p>= Altura piezomtrica: es la altura de una columna de agua</p> <p>P =h asociada con la presin del campo gravitacional. Representacin grafica del teorema de Bernoulli.</p> <p>Figura 1 En estas bases tericas, se considera que el fluido es ideal, pero las partculas rozan unas con otras. En este proceso la velocidad de las partculas disminuye y la energa del sistema se transforma en calor. Se considera que H es la prdida de presin entre las dos secciones, por lo que: . (3)</p> <p> P = g Q HDonde: . (4)</p> <p>H =</p> <p>P g Q</p> <p>Donde: P es la perdida de potencial. Con esto, se considera la ecuacin de Bernoulli como: . (5)</p> <p>P V P V 1 + + Z1 = 2 + 2 + Z 2 + H 2g 2gTUBOS DE PITOT El tubo de Pitot es un tubo vertical en su mayor parte, y horizontal en su extremo, el cual se sumerge en contra del flujo, tal como se muestra en la figura. El tubo est abierto por ambas extremidades. La velocidad y presin del agua, hace que esta ascienda en el tubo, hasta que la presin de la columna de agua equilibre la energa de velocidad del agua y de presin en el punto 2.</p> <p>2 1</p> <p>2</p> <p>El tubo de Pitot sirve para calcular la presin total, tambin llamada presin de estancamiento (suma de la presin esttica y de la presin dinmica). La operativa con un tubo de Pitot es: En primer lugar, se considera un obstculo fijo en el fluido en movimiento</p> <p>Figura 2 L a lnea P termina en el punto de impacto (P), si se hace un orificio en este punto P y se une ste con un tubo de medida, se est midiendo la presin total. Se puede tambin conocer la velocidad en la tubera, esto es: . (6)</p> <p>P V P V 1 + = 2+ 2 2g 2g</p> <p>2 1</p> <p>2</p> <p>V1 = V (Velocidad de las partculas), V2 = 0 (7)</p> <p>V P P = 2 1 = h 2g 2</p> <p>V =</p> <p>2 g h</p> <p>II. DESCRIPCION DEL EQUIPO Descripcin: El equipo de demostracin del teorema de Bernoulli, FME03, est formado por un conducto de seccin circular con la forma de un cono truncado, transparente y con siete llaves de presin que permiten medir, simultneamente, los valores de presin esttica que correspondiente a cada punto de las siete secciones diferentes.</p> <p>Todas las llaves de presin estn conectadas a un manmetro con un colector de agua presurizada o no presurizada. Los extremos de los conductos son extrables, por lo que permiten su colocacin tanto de forma convergente como divergente con respeto a la direccin del flujo. Hay tambin una sonda (tubo de Pitot) movindose a lo largo de la seccin para medir la altura en cada seccin (presin dinmica) La velocidad de flujo en el equipo puede ser modificada ajustando la vlvula de control y usando la vlvula de suministro del Banco o Grupo Hidrulico. Una manguera flexible unida a la tubera de salida se dirige al tanque volumtrico de medida. Para las prcticas, el equipo se montar sobre la superficie de trabajo del banco. Tiene patas ajustables para nivelar el equipo. La tubera de entrada termina en un acoplamiento hembra que debe de ser conectado directamente al suministro del banco. III. DATOS A CONSIGNAR ESPECIFICACIONES Rango del manmetro agua. Nmero de tubos manomtricos Dimetro del estrangulamiento aguas arriba : Estrechamiento. Estrechamiento aguas arriba Estrechamiento aguas abajo : DIMENSIONES Y PESOS: Dimensiones aproximadas Peso aproximado Volumen aproximado : : : 8 25 mm. : 210 100 : O - 300 mm. De</p> <p>800x450x700mm. : 15kg. 0.25 m3</p> <p>I. MATERIALES Banco Hidrulico (FME 00) o Grupo Hidrulico (FME00/B). Cronmetro. I. PROCEDIMIENTO COMO LLENAR LOS TUBOS MANOMTRICOS: En esta seccin, se explica el procedimiento a seguir para un correcto llenado de los tubos manomtricos. 1. Cerrar la vlvula de control del Banco o Grupo Hidrulico (VC) y cerrar tambin la vlvula de control de flujo del equipo (VCC). 2. Poner en marcha la bomba de agua y abrir completamente la vlvula VCC. Abrir despacio la vlvula CV hasta que se alcance un flujo mximo. Cuando todos los tubos manomtricos estn completamente llenos de agua y no hay ninguna burbuja de aire, cirrese VC y VCC. 3. Es muy importante que el equipo sea un compartimiento estanco. 4. Retrese la vlvula anti-retomo o brase la vlvula de purga. 5. Abrase despacio la vlvula VCC. Se puede observar como los tubos comienzan a llenarse de aire.</p> <p>6. Cuando todos los tubos han obtenido la altura deseada (30 40 mm.), cierre la vlvula VCC y coloque la vlvula anti-retomo VCC o cierre la vlvula de purga. 7. Abrir la vlvula de caudal del Banco o Grupo Hidrulico y la vlvula de regulacin del equipo. 8. Fijar un caudal y anotar su valor. 9. Colocar el tubo de Pitot en la primera toma de presin de mnima seccin. Esperar a que la altura en el tubo manomtrico de Pitot se estabilice. Este proceso puede tardar unos minutos. 10.Cuando la altura de ambos tubos sea estable, determinar la diferencia de altura entre los dos tubos manomtricos; presin esttica "hi" y presin total "htp" (tubo de Pitot).</p> <p>11.La diferencia corresponde a la presin cintica dada por "V2/2g". 12.Determinar la seccin con la siguiente ecuacin: S=Q/V, donde Q es el caudal de agua y V es la velocidad obtenida en dicha seccin. 13.Repetir todos los pasos descritos anteriormente para cada toma de presin. 14.Repetir los pasos previos para diferentes caudales de agua. 15.Para cada caudal de agua la seccin debe ser ms o menos la misma. Calcular la media de las secciones obtenidas con diferentes caudales de agua.</p> <p>RESULTADOS Anote en la tabla para cada posicin de estrangulamiento la velocidad del fluido y la altura cintica. 1. Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin inicial TABLA N 01 SOVolumen Tiempo S7 (mm) S0(mm) S7(mm) (litros) (s) Caudal ( m3/s) 196 158 38 3 8.9 0.0003371 198 155 43 3 8.8 0.0003409 200 154 46 3 9.7 0.0003093</p> <p>I.</p> <p>2. Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 1 TABLA N 02 Volumen Tiempo S7 (mm) S1 S1-S7 (litros) (s) Caudal ( m3/s) 395 150 245 3 42 0.000071 420 125 295 3 41.3 0.000073 434 110 324 3 42.1 0.000071 3. Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 2 TABLA N 03 Volumen Tiempo S7 (mm) S2 S2-S7 (litros) (s) Caudal ( m3/s) 150 62 88 3 33.12 0.0000906 148 85 63 3 29.25 0.0001026 152 84 68 3 31.32 0.0000958 4. Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 3 TABLA N 04 Volumen Tiempo S7 (mm) S3 S3-S7 (litros) (s) Caudal ( m3/s) 224 88 136 3 19.57 0.0001533 228 84 144 3 20.03 0.0001498 230 82 148 3 18.54 0.0001618 5. Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 4 TABLA N 05 Volumen Tiempo S7 (mm) S4 S4-S7 (litros) (s) Caudal ( m3/s) 123 105 18 3 46.71 0.00006423 122 105 17 2 31.77 0.00006295 121 107 14 1 19.93 0.00005018 6. Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 5. TABLA N 06 Volumen Tiempo S7 (mm) S5 S5-S7 (litros) (s) Caudal ( m3/s) 148 118 30 1 12.01 0.00008326 142 114 28 1 12.47 0.00008019 141 112 29 1 13.05 0.00007663 Para completar la tabla se siguen los siguientes pasos para el clculo correspondiente: Para el clculo del caudal: De la ecuacin: Q: caudal (m3/s) V: volumen (litros) t: tiempo (s) Para el clculo de las secciones de cada punto medido. estos se deben hallar por ecuaciones trigonomtricas , teniendo en cuenta Donde:</p> <p>el dimetro del ducto , y los ngulos de estrechamiento aguas arriba y aguas abajo: Los cuales son: Estrechamiento aguas arriba: 100 Estrechamiento aguas abajo: 210 Adems el dimetro de la tubera es 25 mm.TABLA N 07</p> <p>Posicin Longitud Seccin (m2)</p> <p>0 2.5 19.63x10-4</p> <p>1 8.9 68.41x10-4</p> <p>2 9.9 80.12x10-4</p> <p>3 10.3 85.07x10-4</p> <p>4 11 94.08x10-4</p> <p>5 12.4 113.47x10-4</p> <p>6 19.4 237.62x1 0-4</p> <p> Para el clculo de la velocidad, se procede a aplicar la ecuacin de continuidad en dos puntos, y se estima con la siguiente ecuacin. V (velocidad en m/sg.) = Q/S De la ecuacin: Donde: V : velocidad (m/s) G : gravedad (g= 9.806 m/s2) : Diferencia de altura (mm) Para el clculo de la altura cintica se tiene la ecuacin:</p> <p>Donde: V G</p> <p>V22gV22g altura cinetica: velocidad (m/s) : gravedad (g= 9.806 m/s2) : Altura cintica (mm)</p> <p> Calculo de la altura piezometrica De la ecuacin:</p> <p>P=h : altura piezometricaDonde: h: altura (metros ledos en cada lectura de la prctica para cada punto) Despus de haber realizado los calculo correspondientes se procede a llenar o completar las siguientes tablas para diferentes alturas de presin:TABLA N 01</p> <p>Caudal (m3/s) 0.000337 1 0.000340 9</p> <p>veloci dad (m/s) 0.1717 0.1737</p> <p>altura S0-S7 secci cintica (m.c. n (m2) (m.c.a) a) 0.0019 0.00150348 63 8 38 0.0019 0.00153785 63 2 43</p> <p>altura piezometrica (m.c.a) 0.1960 0.1980</p> <p>altura total (cin+piez) (m.c.a) 0.197503488 0.199537852</p> <p>Pitot (m.c. a) 0.158 0.155</p> <p>0.000309 3 Caudal (m3/s) 0.000071 0.000073 0.000071 Caudal (m3/s) 0.000090 6 0.000102 6 0.000095 8 Caudal (m3/s) 0.000153 3 0.000149 8 0.000161 8</p> <p>0.1576 veloci dad (m/s) 0.0104 0.0106 0.0104 veloci dad (m/s) 0.0113 0.0128 0.0120 veloci dad (m/s) 0.0180 0.0176 0.0190</p> <p>0.0019 0.00126571 63 7 altura cintica (m.c.a) 5.55882E06 5.74885E06 5.53245E06 altura cintica (m.c.a) 6.51716E06 8.35578E06 7.28778E06 altura cintica (m.c.a) 1.65572E05 1.58054E05 1.8448E-05</p> <p>46TABLA N 02</p> <p>0.2000 altura piezometrica (m.c.a) 0.3950 0.4200 0.4340 altura piezometrica (m.c.a) 0.1500 0.1480 0.1520 altura piezometrica (m.c.a) 0.2240 0.2280 0.2300</p> <p>0.201265717 altura total (cin+piez) (m.c.a) 0.395005559 0.420005749 0.434005532 altura total (cin+piez) (m.c.a) 0.150006517 0.148008356 0.152007288 altura total (cin+piez) (m.c.a) 0.224016557 0.228015805 0.230018448</p> <p>0.154 Pitot (m.c. a) 0.15 0.125 0.11 Pitot (m.c. a) 0.062 0.085 0.084 Pitot (m.c. a) 0.088 0.084 0.082</p> <p>secci n (m2) 0.0068 41 0.0068 41 0.0068 41</p> <p>S1-S7 (m.c. a) 245 295 324</p> <p>TABLA N 03</p> <p>secci n (m2) 0.0080 12 0.0080 12 0.0080 12</p> <p>S2-S7 (m.c. a) 88 63 68</p> <p>TABLA N 04</p> <p>secci n (m2) 0.0085 07 0.0085 07 0.0085 07</p> <p>S3-S7 (m.c. a) 136 144 148</p> <p>TABLA N 05</p> <p>Caudal (m3/s) 0.000064 23 0.000062 95 0.000050 18</p> <p>veloci dad (m/s) 0.0068 0.0067 0.0053</p> <p>secci n (m2) 0.0094 08 0.0094 08 0.0094 08</p> <p>altura cintica (m.c.a) 2.37633E06 2.28302E06 1.45034E06</p> <p>S4-S7 (m.c. a) 18 17 14</p> <p>altura piezometrica (m.c.a) 0.1230 0.1220 0.1210</p> <p>altura total (cin+piez) (m.c.a) 0.123002376 0.122002283 0.12100145</p> <p>Pitot (m.c. a) 0.105 0.105 0.107</p> <p>TABLA N 06</p> <p>Caudal (m3/s)</p> <p>veloci dad</p> <p>secci n (m2)</p> <p>altura cintica</p> <p>S5-S7 (m.c.</p> <p>altura piezometrica</p> <p>altura total (cin+piez)</p> <p>Pitot (m.c.</p> <p>(m/s) 0.000083 26 0.000080 19 0.000076 63 0.0113 47 0.0113 0.0071 47 0.0113 0.0068 47 I. CUESTIONARIO 0.0073</p> <p>(m.c.a) 2.74555E06 2.54673E06 2.32539E06</p> <p>a) 30 28 29</p> <p>(m.c.a) 0.1480 0.1420 0.1410</p> <p>(m.c.a) 0.148002746 0.142002547 0.141002325</p> <p>a) 0.118 0.114 0.112</p> <p>1) Tomando un caudal promedio, (para esto se debe interpolar) graficar un diagrama de evolucin de las alturas cintica, piezomtrica y total en una escala conveniente y en un mismo grafico para todos los puntos: 2) Definir que es Presin Dinmica y que es Presin Esttica, y cul es la diferencia entre ambas. PRESION DINAMICA Se puede decir que cuando los fluidos se mueven en un conducto, la inercia del movimiento produce un incremento adicional de la presin esttica al chocar sobre un rea perpendicular al movimiento. Esta fuerza se produce por la accin de la presin conocida como dinmica. La presin dinmica depende de la velocidad y la densidad del fluido. En mecnica de fluidos Se define como presin dinmica en la cantidad definida por: Donde (utilizando unidades del sistema internacional): q v : presin dinmica en pascales : densidad del fluido en kg/m3 (e.g. densidad del aire) : velocidad del fluido en m/s</p> <p>PRESIN ESTTICA La figura muestra un esquema de un recipiente lleno con lquido hasta una altura h. Esta columna lquida ejercer una presin sobre el fondo y las paredes de recipiente que lo contiene de valor: P=xh Donde es la densidad o peso especfico del lquido y h la altura de la columna, Si consideramos ahora una seccin del fondo...</p>