Teorema di Cauchy. Tetraedro di Cauchy e j con j = x, y, z n = n j e j n n y x z t y y t y x t y z t x x t x z t x y t z z t z x t z y y x z AxAx AyAy

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    02-May-2015

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<ul><li> Slide 1 </li> <li> Teorema di Cauchy </li> <li> Slide 2 </li> <li> Tetraedro di Cauchy e j con j = x, y, z n = n j e j n n y x z t y y t y x t y z t x x t x z t x y t z z t z x t z y y x z AxAx AyAy AzAz P k = t k j e j con k e j = x, y, z n = t n j e j ezez eyey exex </li> <li> Slide 3 </li> <li> Dal teorema del trasporto e dal principio di conservazione della massa risulta: Dal principio di bilancio della quantit di moto risulta: con l = x, y, z, n (1) L'equazione (1), omettendo il pedice c, pu essere scritta anche nella forma seguente: (2) </li> <li> Slide 4 </li> <li> Il valore del primo integrale nell'equazione (2) pari a: Calcolo dei valori dei due integrali dell'equazione (2) dove con [( )]* si intende il valore della funzione integranda calcolata in un punto X ; con v ( ) il volume del dominio Sviluppando il secondo integrale delleq. (2) per l = x, y, z, n si ottiene: </li> <li> Slide 5 </li> <li> Il valore della somma dei 4 integrali a secondo membro pari a: dove con l * si intende il valore del generico sforzo calcolato in un punto X l con A ( ) l'area della generica faccia del tetraedro di giacitura l Da semplici considerazioni di geometria proiettiva si pu desumere un relazione tra le aree delle 4 facce del tetraedro </li> <li> Slide 6 </li> <li> P x y z exex eyey ezez AxAx AyAy AzAz n -n z -n x -n y A (A x,A y,A z ) A (A y,A z,P) = -n x A (A x,A y,A z ) A (A x,A z,P) = -n y A (A x,A y,A z ) A (A x,A y,P) = -n z A (A x,A y,A z ) </li> <li> Slide 7 </li> <li> Il valore della somma: pu essere calcolato nel modo seguente: </li> <li> Slide 8 </li> <li> In conclusione, la relazione integrale: riconducibile a: Dividendo la (3) per la quantit non nulla A (A x A y A z ), si ottiene: (3) Questo risultato vero per ogni condizione di equilibrio dinamico del tetraedro, nonch per qualunque dimensione del tetraedro stesso. (4) </li> <li> Slide 9 </li> <li> La relazione (4), quindi, sussiste anche considerando il tetraedro infinitesimo che risulta dal far tendere i punti Per un tetraedro infinitesimo per risulta che: V ( ) una quantit infinitesima del terzo ordine A (A x A y A z ) una quantit infinitesima del secondo ordine Quindi il rapporto V ( ) / A (A x A y A z ) una quantit infinitesima Nella relazione (4) quando il tetraedro si riduce ad un elemento materiale nel punto P il primo termine essendo infinitesimo trascurabile rispetto al secondo termine </li> <li> Slide 10 </li> <li> Da quanto sino a qui determinato ne consegue che (Teorema di Cauchy) In ogni punto di un sistema materiale continuo e in qualsiasi condizione di equilibrio dinamico risulta soddisfatta la seguente relazione Si noti che nella relazione non compare il simbolo * poich i valori degli sforzi sono riferiti univocamente alla posizione geometrica del generico punto P Il teorema afferma quindi che in un punto di un sistema materiale, il valore dello sforzo relativo a una generica giacitura n univocamente determinato tramite una combinazione lineare del valore degli sforzi relativi a tre giaciture linearmente indipendenti. </li> </ul>