Trabajo Final de Optimización

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    11-Jul-2015

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Trabajo Final de Optimizacin IntroduccinLa optimizacin puede considerarse como la bsqueda de la mejor solucin entre las posibles a un problema determinado. Este es un proceso que incluso puede llevarse a cabo mentalmente en el diario vivir, al tomar decisiones. Sin embargo, a medida que un problema se complica y se generan en este, restricciones y muchas variables, es preferible plantearlo en trminos matemticos, siempre que su naturaleza lo permita. Casi todos los problemas de diseo, operacin, anlisis de plantas, procesos industriales, planificacin, costos y muchas otras funciones de la ingeniera industrial, pueden ser resueltos mediante optimizacin, ya que esta es la funcin principal de un ingeniero en este rubro: Maximizar utilidades, maximizar calidad, minimizar costos, minimizar riesgos y en general optimizar recursos y tiempo. Es decir que el corazn de la rama es la optimizacin. En el presente trabajo, se aplicarn los conocimientos adquiridos a lo largo del semestre en una empresa real para lograr un mximo de utilidades para la misma, utilizando los distintos mtodos de optimizacin aprendidos a lo largo del curso.

AntecedentesLa empresa en la que se decidi realizar el trabajo es la fbrica de alimentos Alexander Cookie que se caracteriza por sus sabrosas galletas que son un producto de alta calidad. Esta empresa tambin produce queques, rollos de canela y diversos productos para la hora del t (masitas). La lnea donde se realizar la aplicacin del modelo de optimizacin, ser la de produccin de galletas, que ofrece al consumidor 5 tipos distintos de galletas, con los siguientes sabores: Chispas de Chocolate, Chocolate con Almendras, Avena con Pasas, Mantequilla de Man y Naranja con Coco. A pesar de que el precio ofrecido al consumidor es el mismo en cada uno de los tipos de galletas, la utilidad obtenida por cada una es diferente, ya que los costos varan dependiendo de los insumos que se utilizan para cada variedad. Algunos de los datos disponibles sobre cada galleta para el consumidor son las siguientes: a) Choco Chip: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) Por Galleta 237.60 7.85 24.99 11.80 0.003 0.009 0.005 0.02 0.12 2.65 2.02 1.34 En 100 g de producto 475.21 15.7 49.98 23.61 0.006 0.02 0.01 0.04 0.23 5.29 4.03 2.67

Ingredientes: Harina, chocolate, azcar, aceite vegetal hidrogenado, mantequilla, huevo, sal, vainilla.

b) Coco Naranja: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 167.05 6.75 20.7 6.36 0.002 0.01 0.002 0.02 0.15 2.52 1.92 1.15 En 100 g de producto 334.1 13.5 41.38 12.73 0.004 0.0 0.003 0.04 0.3 5.03 3.83 2.3

Ingredientes: Harina, coco rallado, naranja, azcar, mantequilla, aceite vegetal hidrogenado, huevo, sal, vainilla. c) Avena y Pasas: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 265.85 8.15 29.83 12.17 0.004 0.009 0.002 0.025 0.18 2.78 2.23 1.15 En 100 g de producto 531.66 18.3 59.85 24.34 0.027 0.018 0.05 0.05 0.35 5.55 4.45 2.3

Ingredientes:

Harina,

pasas,

avena,

azcar,

mantequilla,

aceite

vegetal

hidrogenado, lecitina de soya, huevo, sal, vainilla.

d) Mantequilla de Man: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 164.30 9.6 25.57 2.62 0.004 0.008 0.002 0.02 0.17 2.86 2.15 1.27 En 100 g de producto 328.61 19.2 51.14 5.25 0.008 0.02 0.003 0.05 0.33 5.27 4.29 2.53

Ingredientes: Harina, mantequilla de man, azcar, mantequilla, aceite vegetal hidrogenado, lecitina de soya, huevo, sal, vainilla.

e) Choco Almendra: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 184.60 8.25 22.30 6.84 0.004 0.01 0.002 0.02 0.15 2.82 2.16 1.38 En 100 g de producto 369.19 16.5 44.59 13.87 0.009 0.02 0.004 0.048 0.3 5.83 4.32 2.75

Ingredientes: Harina, almendras, azcar, mantequilla, aceite vegetal hidrogenado, chocolate, lecitina de soya, huevo, sal, vainilla.

El total de dinero asignado a la planta, para produccin, es de 100 000 Bs, de los cuales 60% van destinados a la produccin de galletas, dado que la demanda exige una mayor cantidad de las mismas por que son su producto estrella, 30% va destinado a la produccin de queques de diferentes tipos y 10% a la produccin de rollos de canela. El presente estudio esta basado en la produccin de galletas, en sus distintas variedades. El precio de venta de las galletas en la fbrica es de 2.30 Bs, precio invariable sin importar el tipo de galleta. Sin embargo el costo de produccin de cada variedad es distinto, debido a que los insumos son diferentes segn el sabor de galleta, a continuacin se presenta una tabla con los costos: Tipo de Galleta Choco Chip Choco Almendra Mantequilla de Man Coco Naranja Avena y Pasas Costo de produccin (Bs) 1.90 1.80 1.70 1.60 2.00

Pero es de conocimiento del departamento de produccin que las cantidades de produccin no se rigen a los costos solamente, ya que la demanda, es diferente para cada tipo galleta, el orden de las ventas y el porcentaje en el que se producen actualmente se presentan en la tabla a continuacin: Tipo de Galleta Preferencia del Pblico Porcentaje de Produccin

(Actual) Choco Chip 1er Lugar 50% Mantequilla de Man 2do Lugar 30% Choco Almendra 3er Lugar 10% Coco Naranja 4to Lugar 8% Avena con Pasas 5to Lugar 2% El dinero total PROMEDIO asignado a la produccin de galletas es de 60 000 Bs. por mes, que significa un total de 33 333 galletas basndonos en el costo de produccin promedio de las galletas. Esta asignacin depende de las

fluctuaciones de la demanda, esto significara que en promedio, se producen 1667 galletas al da. Sin embargo, dado que los tiempos de coccin y preparacin de cada tipo de masa varan en gran medida, en un turno de 8 horas da, solo se puede producir una cantidad de cada tipo de galleta. Segn estos tiempos la empresa dispone de la informacin de la capacidad que se tendra de producir solo un tipo de galleta al da (Es decir, cuantas galletas al da se produciran si se fabricaran solo de un tipo). Este tipo de produccin es muy comn en pequeas empresas, que solo disponen de la maquinaria suficiente para realizar la produccin diaria, es decir que deberan cortar la produccin, realizar la limpieza de las maquinarias y herramientas y empezar con la produccin del otro producto, si se pretendiera elaborar todos los tipos de galleta cada da. La limpieza y cambio de producto, significara no solo la prdida de la mitad de el tiempo hbil diario de produccin (que a dems es remunerado al obrero), si no tambin de materiales que se pierden en cada lavado.

La empresa dispone de una tabla con la cantidad de galletas que tienen la capacidad de producir diariamente segn el tipo, la tabla se presenta a continuacin:

Tipo de Galleta Choco Chip Avena con Pasas Choco Almendra Coco Naranja Man

Capacidad diaria (galletas) 1680 1580 1690 1750 1635

El costo fijo unitario por galleta es de 0.20 ctvs.

ObjetivosObjetivo GeneralAplicar los conocimientos adquiridos en la materia de optimizacin en una empresa, para maximizar sus utilidades

Objetivos Especficos Definir el objetivo Elegir el sistema de estudio Construir un modelo Examinar las restricciones internas Simular el problema Determinar la solucin ptima

Marco Terico4.1. Optimizacin (matemtica)La optimizacin (tambin denominada programacin matemtica) intenta dar respuesta a un tipo general de problemas de la forma:

Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisin, f(x) es llamada funcin objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente nmeros enteros o reales) y es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema. Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones como solucin de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimizacin trata entonces de tomar una decisin ptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar (costos, tiempo, riesgo, error, etc.) un criterio determinado. Las restricciones significan que no cualquier decisin es posible.

4.1.1. Tipos de optimizacionesSegn el nivel de generalidad que tome el problema, ser la resolucin que se plantee.

4.1.2. Optimizacin clsicaSi la restriccin no existe, o es una restriccin de igualdad, con menor o igual nmero de variables que la funcin objetivo entonces, el clculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una funcin.

4.1.3. Optimizacin con restricciones de desigualdad optimizacin no clsicaSi la restriccin contiene mayor cantidad de variables que la funcin objetivo, o la restriccin contiene restricciones de desigualdad, existen mtodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores mximos o mnimos. Si tanto restricciones como funcin objetivo son lineales (Programacin lineal o PL), la existencia de mximo (mnimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicacin de unos simples algoritmos de lgebra lineal elemental los llamados mtodo simplex; y mtodo dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales en algunos cas