Trabalho de Bernoulli

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    17-Feb-2015

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<p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Objectivo:O objectivo desta actividade experimental consiste na verificao da validade do Teorema de Bernoulli. Verificao da relao entre energia piezomtrica e energia cintica de um escoamento em presso, numa conduta com seco transversal varivel.</p> <p>4</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Introduo:O teorema de Bernoulli representa o Princpio da Conservao da Energia e relaciona as diferentes formas de energia mecnica ao longo de um escoamento: a energia de posio, a energia de presso e a energia cintica. Permite, ainda, calcular o caudal de um escoamento ou a variao de presso ao longo do escoamento. O caudal escoado atravs do dispositivo ser medido utilizando o mtodo volumtrico, isto , contabilizando o tempo (t) necessrio para recolher um dado volume (V) num balde graduado e calculando o respectivo cociente: A velocidade mdia do escoamento numa seco de escoamento com rea A dada por:</p> <p>O teorema de Bernoulli pode ser aplicado em vrias situaes, mas nesta actividade experimental aplica-se no tubo de Venturi. O tubo de Venturi constitudo por uma poro de tubagem convergente, seguida de uma seco curta de dimetro constante, a garganta, que por sua vez seguida de uma poro de tubagem divergente. Admita-se que o fluido ideal (de modo a no haver dissipao de energia por atrito) e que as velocidades U1, entrada, e U2, na garganta, so uniformes e paralelas, sobre as seces rectas correspondentes (com reas A1 e A2, respectivamente). Com escoamento permanente de fluido de massa volmica constante, pode aplicar-se a equao de Bernoulli a uma linha de corrente ao longo do eixo, entre as seces 1 e 2. Nessa equao podem substituir-se os valores de U1 e U2, a partir da relao da continuidade Q= A1U1=A2U2, obtendo-se:</p> <p>[3]Como o escoamento horizontal, Z1 = Z2, e sendo valida nos piezometros, a lei da hidrosttica, vem que a presso (p) dada por p = , ento a equao traduz-se da seguinte forma:</p> <p>[4]A primeira parcela da equao [4], p/ , a chamada altura piezomtrica e representa a energia de presso por unidade de peso de fluido. A segunda parcela,</p> <p>,</p> <p> chamada altura cintica e representa a energia cintica por unidade de peso de fluido. E H constante em todas as seces da conduta e representa a energia total por unidade de peso do lquido. Na equao [3], Z, representa a cota ou altura geomtrica em relao a um determinado plano de referncia e representa a energia potencial gravtica por unidade de peso de fluido. Sendo h altura piezometrica numa seco qualquer vem que:</p> <p>5</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Assim se pode concluir que h varia com o quadrado da velocidade. A funo da parte divergente do medidor reduzir de novo a velocidade, gradualmente, de modo a devolver a presso ao seu valor original (idealmente). Infelizmente, num tubo divergente, o escoamento tende a separar-se da parede, com formao de turbilhes, havendo com consequncia dissipao de energia mecnica em calor. Quanto maior o ngulo de divergncia, maior a dissipao de energia. Deste modo verifica-se a existncia de perdas de energia ( ao longo do escoamento, e como j se referiu anteriormente, devido ao atrito do fluido com as paredes das tubagens e ao atrito no interior do prprio fluido. Assim temos que para o escoamento de um fluido real, entre duas seces 1 e 2, e considerando as perdas de carga ( , a equao de Bernoulli traduz-se da seguinte forma: + [6]</p> <p>representa a perda de energia por unidade de peso de liquido ou carga, entre as seces 1 e 2. Se se comparar as alturas piezomtricas em seces com a mesma rea, isto , com Z1=Z2 e U1=U2, obtm-se a perda de carga verificada entre essas seces: Sendo =</p> <p>6</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Descrio do procedimento experimental:Material: Banco hidrulico; Cronometro; Bomba. Procedimento: Verificou-se se o dispositivo de demonstrao do Teorema de Bernoulli estava correctamente ligado ao banco hidrulico; Ligou-se a bomba e regulou-se o caudal; Registaram-se as alturas da gua nos vrios tubos piezomtricos; Determinou-se o valor do caudal escoado, pelo mtodo volumtrico; Mediu-se um determinado volume e o respectivo tempo; Aumentou-se o caudal regulando a vlvula do dispositivo; Repetiram-se os passos anteriores para trs caudais diferentes.</p> <p>7</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Resultados obtidos: Volume de gua = 5L Peso especifico da gua = 9810 kg/ m2s2Tabela 1-reas e distncias horizontais dos piezmetros:</p> <p>S1</p> <p>S2</p> <p>S3</p> <p>S4</p> <p>S5</p> <p>S6</p> <p>S7</p> <p>S8</p> <p>S9</p> <p>S10</p> <p>S11</p> <p>rea 530,9 422,7 265,9 201,1 221,7 268 318,8 375 435 500,8 530,9 (10-6 m2) x 0 20 32 46 61 76 91 106 121 136 156 (10-3m)Tabela 2- Alturas (10 m) piezomtricas obtidas dos ensaios:-3</p> <p>Ensaios 1 2 3</p> <p>H1 75 160 246</p> <p>H2 71 158 244</p> <p>H3 45 139 233</p> <p>H4 11 110 220</p> <p>H5 10 113 219</p> <p>H6 30 124 225</p> <p>H7 45 137 233</p> <p>H8 55 144 236</p> <p>H9 60 149 239</p> <p>H10 61 151 240</p> <p>H11 65 153 241</p> <p>Foram realizados trs ensaios onde foram registadas as alturas piezomtricas, como evidencia a tabela 2. Verifica-se que em todos os ensaios a altura da gua do piezometro um maior que a altura da gua do piezometro onze embora a rea de ambos seja a mesma. Este facto deve-se as perdas de carga que ocorreram ao longo tubo de Venturi.Grfico 1- Alturas piezomtricas em funo da distncia:300 250 200 Q= 0,00024 (m3/s) 150 100 50 0 0 20 33 46 61 76-3</p> <p>h (10-3 m)</p> <p>Q=0,00020 (m3/s) Q= 0,00014 (m3/s)</p> <p>91</p> <p>106</p> <p>121</p> <p>136</p> <p>156</p> <p>x (10 m)</p> <p>8</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Tabela 3- Caudais e tempo determinado experimentalmente para os vrios ensaios:</p> <p>Ensaios Volume (m3) Tempo (s) Tempo mdio (s) Q (m3/s) Q mdio (m3/s) 0,005 20,77 0,00024 1 0,005 21,20 21,27 0,00024 0,00024 0,005 21,80 0,00023 0,005 24,72 0,00020 2 0,005 24,47 24,56 0,00020 0,00020 0,005 24,50 0,00020 0,005 33,75 0,00015 3 0,005 34,87 34,49 0,00014 0,00014 0,005 34,87 0,00014 Na tabela 3 pode-se verificar que o ensaio que apresenta maior tempo o ensaio trs que por sua vez o ensaio que possui menor caudal. J o ensaio 1 apresenta menor tempo e maior caudal.Tabela 4- Perdas de carga:</p> <p>Ensaios 1 2 3</p> <p>0,010 0,007 0,005</p> <p>Uma vez que, o ensaio um tem maior caudal, por sua vez tem maior perda de carga. Ao contrario do ensaio trs que tem menor caudal, logo menor perda de carga. Apresentando um valor intermdio o ensaio dois, perante o ensaio um e o ensaio trs como se pode evidenciar pela tabela 4.Grfico 2- Perdas de carga em funo do caudal:</p> <p>12 10 87 10</p> <p>Perdas de carga (mm)</p> <p>65</p> <p>4 2 0 0,00014 0,00002 Caudal (m /s)3</p> <p>0,00024</p> <p>9</p> <p>Mecnica dos FluidosTabela 5- Taxa de recuperao da presso (%):</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Ensaios 1 2 3</p> <p>Taxa de recuperao da presso (%) 86,67 95,63 97,98</p> <p>Na tabela 5 est registada a taxa de recuperao de presso, de cada ensaio, em percentagem. Como o ensaio um tem maior caudal e apresenta maior perda de carga, por conseguinte apresenta menor taxa de recuperao de presso. Os ensaios dois e trs apresentam maiores taxas de recuperao de presso uma vez que tambm tm menores perdas de carga e menores caudais, no entanto o ensaio trs que possui maior taxa de recuperao da presso.Grfico 3- taxa de recuperao de presso em funo do caudal:Taxa de recuperao da presso (%)100 98 96 94 92 90 88 86 84 82 80 0,00024 0,00014 Caudal (m /s)3 86,67 95,63 97,98</p> <p>0,00002</p> <p>Tabela 6- Presses (Pa) dos piezmetros:</p> <p>Presso (kg/ms2=Pa) P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11</p> <p>Ensaio 1 735,75 696,51 441,45 107,91 98,10 294,30 441,45 539,55 588,60 598,41 637,65</p> <p>Ensaio 2 1569,60 1549,98 1363,59 1079,10 1108,53 1216,44 1343,97 1412,64 1461,69 1481,31 1500,93</p> <p>Ensaio 3 2413,29 2393,64 2285,73 2158,20 2148,39 2207,25 2285,73 2315,16 2344,59 2354,40 2364,21</p> <p>Ao longo da seco convergente do tubo os valores das presses dos piezometros diminuem at garganta do tubo, voltando a aumentar ao longo da seco divergente do tubo, no entanto note-se que as presses dos piezmetros na</p> <p>10</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>seco convergente admitem valores superiores s presses na seco divergente em cada um dos ensaios, como se pode verificar pela tabela 6, devido as perdas de carga.Grfico 4- Presses dos piezometros em funo da distncia:3000 2500 2000</p> <p>P (Pa)</p> <p>Q=0,00024 (m3/s) 1500 1000 500 0 0 20 33 46 61 76-3</p> <p>Q=0,00020 (m3/s) Q=0,00014 (m3/s)</p> <p>91</p> <p>106</p> <p>121</p> <p>136</p> <p>156</p> <p>x (10 m)</p> <p>Tabela 7 Velocidades mdias:</p> <p>rea (10-6 m2) U(m/s) 530,9 422,7 265,9 201,1 221,7 268 318,8 375 435 500,8 530,9 Qm=0,00024 0,45 0,57 0,90 1,19 1,08 0,89 0,75 0,64 0,55 0,47 0,45 Qm=0,00020 0,38 0,47 0,75 0,99 0,90 0,75 0,63 0,53 0,46 0,40 0,38 Qm=0,00014 0,26 0,33 0,53 0,70 0,63 0,52 0,44 0,73 0,32 0,28 0,26 Observando a tabela 7 pode-se concluir que ao longo da seco convergente a velocidade aumenta atingindo o valor mximo na garganta do tubo, j na seco divergente a velocidade toma valores cada vez mais baixos, ou seja, diminui. A velocidade no primeiro piezometro igual velocidade no ltimo piezometro, pois tm a mesma rea. que ter em conta que quanto maior for a rea do piezometro, menor a velocidade. A velocidade aumenta com o caudal, pois toma valores maiores quando o caudal maior, e toma valores mais baixos quando o caudal menor.Grfico 5 - Velocidades mdia em funo da rea:1,4 1,2 1</p> <p>Umdia (m/s)</p> <p>0,8 0,6 0,4 0,2 0 530,9 422,7 265,9 201,1 221,7 268 318,8 375 rea (10-6 m 2) 435 500,8 530,9</p> <p>Qm=0,00014 Qm=0,00020 Qm=0,00024</p> <p>11</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Concluso:</p> <p>Na leitura das alturas da gua nos vrios piezometros quando no possvel a leitura dentro da escala, deve-se introduzir ar com uma bomba de mo no tubo de venturi, ao qual no se procedeu, este facto pode interferir com os resultados. Foram realizados trs ensaios nos quais se fez a medio do caudal escoado atravs do mtodo volumtrico, onde o volume considerado foi de 5L, devido demora da gua at atingir 1L, para melhor contabilizao dos tempos cronometrados. No entanto este facto pode ter interferido nos resultados obtidos, assim como o erro dos tempos cronometrados. Os grficos construdos h=f(x) com base nos valores obtidos experimentalmente so duas parbolas. Uma decrescente, para valores crescentes das velocidades de escoamento e que corresponde a seco convergente do tubo. A outra, crescente, para valores decrescentes da velocidade de escoamento na seco divergente. Os grficos dos valores das presses obtidos experimentalmente tambm so duas parbolas. Uma decrescente, para valores decrescentes da presso e que corresponde a seco convergente do tubo. A outra crescente para valores crescentes da presso na seco divergente. No troo convergente a velocidade do escoamento vai aumentar, porque diminui a rea da seco recta do escoamento, at atingir o seu valor mximo no ponto de seco mnima (garganta). A partir deste ponto tem inicio um troo divergente, no qual a velocidade do escoamento vai decrescendo progressivamente como se pode verificar pelo grfico 5. J a presso progride inversamente velocidade, pois quanto maior for a velocidade menor a presso e menor a altura da gua nos piezmetros. Uma vez que se aumenta o caudal verificam-se maiores valores de perda de carga e velocidade pois verificam-se menores valores de presso e de taxa de recuperao de presso. Como Z1 Z11 e U1=U11 pode-se assim concluir que ocorreram perdas de carga e por isso valida-se o teorema de Bernoulli.</p> <p>12</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Bibliografia: </p> <p>Tufi Mamed Assy; Mecnica dos Fluidos; LTC; 2 edio; Rio de Janeiro 2004. Ranald. V. Griles; Jack B. Evett; Cheng Liu.; Mecnica dos Fluidos e Hidrulica; McGraw-Hill; 2 edio; So Paulo. B. S. Massy; Mecnica dos Fluidos; Fundao Calouste Gulbenkian; Lisboa 2002.Garcia, V.; Sebenta de Mecnica dos fluidos/ Hidrulica geral I ; Ano lectivo 2007/08 IPB/Escola Superior de Tecnologia e Gesto; J. Novais-Barbosa; Mecnica dos Fluidos e Hidrulica Geral; volume 1; Porto Editora; Porto Julho 1985.</p> <p>13</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p>Anexos: Clculo do caudal:</p> <p>Onde: V- volume (m3) t- tempo (s) Q- caudal (m3/s) Exemplo:</p> <p> Calculo das perdas de carga (m):</p> <p>Onde: h- perdas de carga (m) H1- altura do piezometro um (10-3m) H11- altura do piezometro onze (10-3m) Exemplo: Clculo da taxa de recuperao da presso (R):</p> <p>Onde: R- taxa de recuperao da presso (%) H11- altura do piezometro onze (10-3m) H1- altura do piezometro um (10-3m) Exemplo:</p> <p>14</p> <p>Mecnica dos Fluidos</p> <p>Validade do Teorema de Bernoulli</p> <p> Clculo da presso (Pa):</p> <p>Onde: P- presso (Pa) H- altura piezometrica (10-3 m) - Peso especfico da gua (kg/m2s2) Exemplo: Clculo da velocidade (U):</p> <p>Onde: U- velocidade mdia (m/s) Q- caudal (m3/s) A- rea (10-6 m2) Exemplo:</p> <p>15</p>