Turunan Slide

  • Published on
    07-Oct-2015

  • View
    219

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

kalkulus

Transcript

  • TURUNAN

    Departemen MatematikaFMIPA-IPB

    Bogor, 2012

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 64

  • Topik Bahasan

    1 Pendahuluan

    2 Turunan Fungsi

    3 Tafsiran Lain Turunan

    4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    5 Rumus-rumus Turunan

    6 Turunan Fungsi Trigonometri

    7 Aturan Rantai

    8 Turunan Implisit

    9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    10 Laju Terkait

    11 Solusi

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 2 / 64

  • Pendahuluan

    Mengapa Turunan Penting?

    Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:

    Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)

    Biaya marjinal suatu produk.

    Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.

    Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.

    Laju penyebaran informasi, gosip.

    Laju peluruhan bahan radioaktif.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 3 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

    Denisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)

    Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f 0 (a) , adalah

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    (1)

    asalkan limit tersebut ada.

    Bila limit tersebut ada (bukan atau ), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, dierentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 4 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

    Denisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)

    Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f 0 (a) , adalah

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    (1)

    asalkan limit tersebut ada.

    Bila limit tersebut ada (bukan atau ), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, dierentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 4 / 64

  • Turunan Fungsi

    Ilustrasi Geometris Denisi Turunan Pada Titik

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 5 / 64

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 64

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 64

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 64

  • Turunan Fungsi

    Contoh (Denisi Turunan pada Titik)

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan:

    1 f 0 (0) bila f (x) = 2x + 1. SOLUSI

    2 f 0 (3) bila f (x) = 3/x . SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 7 / 64

  • Turunan Fungsi

    Soal

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan f 0(1) bagi fungsi-fungsiberikut.

    1 f (x) = 1/x2 f (x) = x jx 1j

    3 f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x 12x ; x > 1

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 8 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

    Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf 0 (a), yakni turunan f di x = a.Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah

    y f (a) = f 0 (a) (x a) (3)

    DEMO ANIMASI TURUNAN

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 9 / 64

  • Turunan Fungsi

    Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 10 / 64

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yang melaluititik (3, 1) .

    SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 11 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Diketahui fungsi f dengan f (x) =px . Gunakan denisi turunan untuk

    menentukan f 0 (x) dan f 0(4). Tentukan Df dan Df 0 .SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 13 / 64

  • Turunan Fungsi

    Soal

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan f 0 (x) ,Df , dan Df 0fungsi-fungsi berikut:

    1 f (x) = x2 2x2 f (x) = x2/3

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 14 / 64

  • Turunan Fungsi

    Notasi Lain Turunan

    Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :

    y 0 = f 0 (x) =dydx=dfdx=ddxf (x) = Df (x) = Dx f (x)

    Catatan: notasi dy/dx , df /dx , d/dx hanya merupakan simbol, bukanmerupakan operasi pembagian.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 15 / 64

  • Tafsiran Lain Turunan

    Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat

    Nilai f 0 (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadapx di x = a.

    Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktut,

    kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

    v = f 0 (a) = limt!0

    st= lim

    t!0f (a+ h) f (a)

    t

    laju objek pada saat t = a adalah jf 0 (a) j, yakni nilai mutlakkecepatan sesaat.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 16 / 64

  • Tafsiran Lain Turunan

    Aplikasi TurunanEkonomi, Demogra

    Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),

    f 0 (x) = limx!0 Cx bermakna laju total biaya produksi terhadapbanyaknya barang (Rp/ton). f 0 (x) dikenal sebagai biaya marjinal.

    Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),

    f 0 (t) = limt!0 Pt bermakna laju perubahan populasi pada waktut (orang/tahun).

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 17 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

    Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa