Über einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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    10-Jul-2016

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<ul><li><p>l~ber einen neuen Grenzwertsatz der Wahrseheinliehkeitsreeh n ung. </p><p>Von </p><p>A. Khintchine in Moskau. </p><p>1. Problemstellung und Diskussion des Gaul~-Laplaceschen Verteilungsgesetzes. </p><p>Im folgenclen soll die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A durchweg mit W(A) bezeichnet werden. Ist E ein Ereig~is, W(E)=p, 1--p~=q, werden n voneinandcr unabhi~ngigc Versuche angestellt und soll E dabei m-real auf~reten, so lautet der Laplacesche Grenzwertsatz </p><p>t~ </p><p>(1) ,~.~lim W{taf2npq</p></li><li><p>746 A. KhinC~hine. </p><p>ist wenigstens zum Tell dadu~ch bedingt, da~ er iiber das zu untersuchende Verteilungsgesetz in den vom Mittelwert sehr entfernten Gebieten nur sehr wenig aussagt; n~mlich nut, dal~ die diesen Gebieten entspreehenden Wahr- scheinliehkeiten unendlich klein ausfaUen, ohne etwas N~heres fiber ihre Gr5Benordnung zu berichten. Die Limesgleichung (1), die bekanntlieh gleich- m~Big in t 1 und t~ stattfindet, sagt ja im Falle (in bezug auf n) unend- lieh groBer positiver ~1, t~ offenbax nichts anderes aus, als dab die links~ stehende Wahrscheinliehkeit unendlich klein sei; der reeht~tehende asym- ptotisehe Ausdruck, dessen Aufstellung doch das Hauptziel des Laplaceschen Sa~zes ist, wird in diesem Fall illusorisch, und der Grenzwertsatz behauptet nicht mehr wie der Satz yon Bernoulli: n~imlich nut, dab Abweichungen m--np, die unendlieh grog im Vergleieh mit der Streuung 0----]/npq' shad, unendlich kleine Wahrscheinlichkeiten haben. </p><p>Es schien mir nun yon Interesse, eine ni~here Untersuchung iiber die Frage anzustellen, ob und in welchem Grade das Verteilungsgesetz yon m aueh im Gebiete unendlich groBer ti, t. dutch das GauB-Laplacesche Ver- teilungsgesetz wiedergegeben wird. Ms Ergebnis Iand ich einen neuen Grenzwertsatz, dessen ausfiihrlicher Beweis den Gegenstand des vorliegenden Artikels ausmaehen soll; der Formulierung des neuen Satzes muB jedoeh eine kurze Diskussion des GauB-Laplaceschen Verteilungsgesetzes voraus- gesehiclct werden. </p><p>Geniigt eine Gr5Be x einem solchen Gesetz mit der Streuung a, so )st flit a __&lt; b </p><p>b ~u </p><p>W(oa ~ x &lt; ob)~-- ~ le--~dz; f _ . </p><p>fiir unendlieh groBes t ~ 0 ist natiirlieh W(ot ~ x) unendlich klein, und a fortiori ist dabei flit t ~_ t 1 ~ t~ aueh W (~t I &lt; x &lt; ot~) unendlieh klein. .Wit kSnnen aber die Wahrscheinliehkeitsverteilung im Gebiete x &gt; ot gut beherrsehen, indem wit Limesbeziehungen flit Verh~iltnisse der Gestalt </p><p>W(ot~ </p></li><li><p>Neuer Grenzwertsa~ der Wahrscheinliehkeitsreehnung. 747 </p><p>t </p><p>und andererseits </p><p>z s g2 1 g 11~ v~ </p><p>e-T dz -- t . [ d </p><p>t+~ g~ t </p><p>t~ t~ g'2 ~lZ -- -- ~2 </p><p>e-Z" re - re -~dy= e e </p><p>gt 'gz t~ 2 </p><p>--{~ + o (1)} (~-,,-e-,o)-~ t 112~ ' </p><p>1 f z~ 1 f - (t+Y'~ W(ot</p></li><li><p>748 h. Khintehine, </p><p>chungen) das Verteilungsgesetz der GrSge m--np wesentlich dutch die Gaul~-Laplacesche Formel wiedergegeben wird, mud zwar in einem viel pr~iziseren Sinne als es der Lapls~sche Grenzwertsatz angibt. Freilich mul~ dabei, wie es denn auch yon vornherein ldar ist, der Paramete~ t in seinem Wachstum einer gewissen Einschrgnkung unterliegen. Denn falls t yon der GrSBenordnung }/; wird, kommen wi~ wegen a = 1 /~ zu solehen Gebieten, die yon m- -np gar nicht erreicht werden kSrmen, wo iolglieh die zugehSrigen Wahrseheinliehkeiten verschwinden. Es liegt also votl- st~indig in der Natur der Saehe, wenn wit t = o ( fn ) voraussetzen. Das ist aber auch die einzige Einsdariinkung, and es gilt Iolglieh der 8atz: </p><p>. . e- -gz - - g-gl. </p><p>Selbstverstgndlich gilt auch die ana]oge Beziehung Iiir die negativen Abweichungen. </p><p>2. Beweis des Satzes. </p><p>Ich setze m- np-~ ax = ~ x und will zuniichst unter der Vor- aussetzung x = o (I/n) eine passende Abschgtzung fiir die Wahrscheinlich- keit eines bestimmten m-Wertes, also fiir die GrSBe </p><p>aufstellen; dabei werden alle Absch~tzungen auf Konstanten bezogen, die hSchstens yon p abhiingen diirfen. Die Anwendung der Stirlingschen Formel ergibt teicht </p><p>lg P~ = t x . </p><p>Ntm ist fiir groBe n wegen x = o (~fn) </p><p>oo c~ </p><p>9 0 </p><p>o~ </p><p>Z </p></li><li><p>Neuer Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 749 </p><p>und ganz ~hntich </p><p>(nq--xz = _ nq/ </p><p>also </p><p>k </p><p>xo \[n,] k=2 </p><p>-~lg2ztpqn n~_ k(k 11) [ \~) ' : _ _ ~=. (~) o (~) , </p><p>wenn wit noch O(n )'~" gegeniiber O(1,~ ) vernachliissigen diirfen, was bier f </p><p>immer geschehen kann, well wir x fortan immer unendlich grol~ denken; ich setze noch </p><p>k k </p><p>(k&gt;l), </p><p>und erhalte </p><p>Ist nun </p><p>~o </p><p>k=. o </p><p>1 ,.+o(~) e </p><p>x=t </p><p>darin g &gt; 0 konstant und t = o (]Sn) unendlich groB, so ist fiir k &gt; 1 </p><p>-~- \ f . / </p><p>mit 0 &lt; O, = O~ (n, t, 9) &lt; 1; deswegen wird </p><p>(~) f . (~)=f~( t )+g+gZ~C~ ] t~i ~ ~ 2 ~tV) k=3 k=~ </p><p>=f~(t ) 247 t ~, </p><p>und fo]glich </p><p>, ( ( ' ) </p><p>Daher erhalt~ ich fiir konstante positive gl, g.~ ~ gt </p></li><li><p>750 A. Khint~hine. </p><p>1+0 + ~t~J e-f"(t) 2 e-g. </p><p>Nun w~chst g offenbar um t wenn mum 1 grSl~er wird; daraus fo]gt (~ </p><p>17. g~ </p><p>g=gl g~ </p><p>wenn von bier an die Konstanten, auf die die Absch~tztmgen bezogen werden, auger p noch von g~ abh~ngen diiffen. Somit erhalte ich </p><p>e -f'* Ct) w(g~, g~) = ~2---~- (e-~, - e-~o)(1+ oO)) . </p><p>Der Beweis wird offenbar erledig% wofern ich noch zeigen kann, dab diese Formel auch flit den Grenzfall g~ = 0, g~---~ @ o0 zutrifft; denn dann finder man tmmittelbar </p><p>W(q~, ~) --~ e-g, -- e-g~ W(O, oo) </p><p>~iir n--~cx~, t-+co, t= o )in, was ja genau die Behauptung des zu be- weisenden Satzes ausmacht. </p><p>Nun ist, wem~ e &gt; 0 beliebig klein abet fes~ gewiihlt ist, fiir s : t ~ g t ' g &gt; 0 konstant, t &gt; 0 und t - - o (]/-n) unendlich groB, </p><p>W(g, oz) = Z P , ,= 2 P,, + Z P,~. </p><p>Bezeichnen wir hierin die beiden Summen reohts mit X I bzw. -Y~, s~ haben wit </p><p>s</p></li><li><p>Neuer Grenzwertsatz der Wahrseheinliohkeitsrechnung. 751 </p><p>also fiir geniigend kleines , 1 </p><p>f~,(x) &gt; 7~x; </p><p>da ferner dabei, wie man leieht einsieht, f " (x )&gt; 0 ist, so erhalten wir </p><p>1 f . (x ) -- f,,(s) &gt; (x -- s) f ' ( s ) &gt; ~s(x -- s), </p><p>und folglich </p><p>l e_if.(~)_f. 0 angegeben werden kann, so dab </p><p>.S~ &lt; ne-r ist. Wir finden also </p><p>e - f,, (s ) W(s, cx~) &lt; ~ q- ne-~"; </p><p>diese Abschhtzung gilt, wofern n geniigend groin, a = o (}/-n) und ~ eine </p><p>geeignete positive Konstante ist, Da wir nun s ~- t -~-~ gesetzt haben, </p><p>dabei t ~ o(Vn ) positiv unendlich gro$ und g &gt; 0 konstant, so 'haben wit wegen (3) </p><p>e -f" (t) W(s, cx~) &lt; ~ e-g{ l+o(1)}+ne- :n ; </p><p>wegen </p><p>2 O(,'l:o(nl f . (t) = n T~ ~- k=2 ~. I / </p><p>ist aber f e - f " (t) l </p><p>ne- r I , </p><p>1) Some problems of diophantine approximation, Aeta Math. $7 (1914), p. 188, Lemma 1. 442. </p></li><li><p>752 A. Khintchino. Neuer Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. </p><p>una fo~gUch e - f" (t) </p><p>w(a, o~) &lt; - -w- e-, {1 + o (1)). </p><p>Nun ist andererseiks w,o=Wo.=-Wo.~, </p><p>und folgtich, da wit schon e-&amp; (t) </p><p>W(O, g) = },2x~(1-- e -g ) ( l@o(1) ) </p><p>festgestellt haben und da g beliebig grog sein dar~ </p><p>e -f'~ (t) W(O, 0o) = -}- -~ ,{1 @ o (1)}, </p><p>womit nun alles bewiesen ist. </p><p>GStt ingen, 7.7.1928. </p><p>(Eingegangen am 29. 9. 1928.) </p></li></ul>

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