Unidade I (Parte III) - Equacao Da Continuidade e Equacao de Bernoulli

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    13-Oct-2015

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<ul><li><p>FUNDAMENTOS DE TERMODINMICA </p><p>Unidade I: Fluidos (Parte III) Equao da Continuidade e </p><p>Equao de Bernoulli </p><p>Engenharia de Energias </p></li><li><p>1 </p><p>Dinmica dos Fluidos </p><p>O modelo de fluido Ideal pressupe trs hipteses bsicas: </p><p> O fluido incompressvel (escoamento incompressvel; O fluido no viscoso (escoamento no-viscoso); O fluxo estacionrio (escoamento laminar); </p><p>Alm disso, pode-se considerar que: </p><p> O fluxo irrotacional (escoamento irrotacional); </p></li><li><p>2 </p><p>Dinmica dos Fluidos </p><p>Streamline </p><p>Como podemos observar o escoamento de um fluido? </p><p>Fazendo uso de traadores que podem ser constitudos por gotas de corante injetadas em vrios pontos de um lquido ou por partculas de fumaa misturadas a um gs. </p><p>Cada gota ou partcula de um traador torna visvel uma linha de fluxo, que a trajetria seguida por um pequeno elemento do fluido. </p></li><li><p>3 </p><p>Dinmica dos Fluidos </p><p>1. Streamlines never cross. </p><p>2. Fluid particle velocity is tangent to the streamline. </p><p>3. The speed is higher where the streamlines are closer together. </p><p> v </p><p>A velocidade v de um elemento do fluido sempre tangente a uma linha de fluxo: </p><p>Dessa forma, duas linhas de fluxo jamais se cruzam. </p></li><li><p>4 </p><p>Dinmica dos Fluidos </p><p>Um feixe de linhas de fluxo vizinhas constitui um tubo de fluxo : </p><p>Como as linhas nunca se cruzam, todas as que atravessam o plano 1, de rea A1, posteriormente passaro pelo plano 2, de rea A2. </p><p>a) </p><p>Plane 1 </p><p>b) </p><p>The speed of the fluid at this point is v1. </p><p>Plane 2 Flow tube defined by four streamlines. </p><p>Area A1 </p><p>Area A2 </p><p>The same volume of fluid crosses both planes during t. </p><p>The speed of the fluid at this point is v2. The fluid is </p><p>incompressibe, so these volumes must be equal. </p><p>Volume v1A1t </p><p>Volume v2A2t </p><p>x1 = v1t </p><p>A1 </p><p>A2 </p><p>x2 = v2t v1 </p><p>v2 </p><p>The fluid moves this distance during t. </p></li><li><p>The fluid is incompressibe, so these volumes must be equal. </p><p>Volume v1A1t </p><p>Volume v2A2t </p><p>x1 = v1t </p><p>A1 </p><p>A2 </p><p>x2 = v2t v1 </p><p>v2 </p><p>The fluid moves this distance during t. </p><p>5 </p><p>Equao da Continuidade </p><p> A figura ao lado mostra o fluxo passando por A1 durante um curto intervalo de tempo t; </p><p> Fazendo a mesma anlise para o fluido que passa por A2 com velocidade v2, temos que: </p><p> Se a velocidade do fluido nesta regio v1, o fluido se movimentar uma curta distncia para a frente x1 = v1t e ocupar o volume V1 = A1x1; </p><p>Logo: (1) </p><p>(2) </p><p> Os dois volumes so iguais, portanto: (3) </p><p>A equao da continuidade nos diz que a velocidade de escoamento aumenta quando a rea da seo reta atravs da qual o fluido escoa reduzida. </p></li><li><p>The fluid is incompressibe, so these volumes must be equal. </p><p>Volume v1A1t </p><p>Volume v2A2t </p><p>x1 = v1t </p><p>A1 </p><p>A2 </p><p>x2 = v2t v1 </p><p>v2 </p><p>The fluid moves this distance during t. </p><p>6 </p><p>Equao da Continuidade </p><p> A equao da continuidade tambm pode ser escrita na forma de vazo: </p><p>(4) </p><p>A equao (4) mostra uma nova forma de expressar o significado da equao da continuidade: a taxa de fluxo do volume constante em todos os pontos de um tubo de fluxo. </p><p>na qual Rv a vazo do fluido (volume que passa por uma seo reta pelo tempo). </p><p> A unidade de vazo no SI m3/s. </p><p> Se a massa especfica do fluido uniforme, podemos multiplicar a Eq. (4) por essa massa especfica para obter a vazo mssica Rm (massa por unidade de tempo): </p><p>(5) </p></li><li><p>7 </p><p>Exemplo 1: Uma refinaria de petrleo bombeia gasolina para um tanque de armazenamento de 1000 L atravs de um cano de 8,0 cm de dimetro. O tanque pode ser inteiramente enchido em 2 min. (a) Qual a velocidade da gasolina ao passar pelo cano? </p><p> (b) Mais adiante no fluxo, o dimetro do cano de 16 cm. Qual a velocidade de fluxo </p><p>nesta seo do cano? </p></li><li><p>8 </p><p>Equao de Bernoulli </p><p> O volume inteiro do fluido que escoa pelo tubo constitui o sistema; </p><p>t + t </p><p>(b) </p><p>(a) </p><p>Sada </p><p>Entrada </p><p>v2 </p><p>p2 </p><p>y2 </p><p>y </p><p>v1 </p><p>p1 </p><p>y </p><p>t </p><p>L </p><p>y1 </p><p>x </p><p>x </p><p> Apliquemos a lei da conservao de energia ao fluido quando ele se move do estado inicial (Fig. a) para o estado final (Fig. b); </p><p> O fluido que est entre os dois planos verticais separados por uma distncia L no muda suas propriedades durante o processo; </p><p> A lei da conservao da energia na forma do teorema do trabalho e energia cintica diz que; </p><p>(6) </p><p> A variao da energia cintica uma consequncia da variao da velocidade do fluido entre as extremidades do tubo, e dada por: </p><p>(7) </p></li><li><p>9 </p><p>Equao de Bernoulli </p><p> Na eq. (7) m = V a massa do fluido que entra em uma extremidade e sai pela outra, durante um pequeno intervalo de tempo t; </p><p>t + t </p><p>(b) </p><p>(a) </p><p>Sada </p><p>Entrada </p><p>v2 </p><p>p2 </p><p>y2 </p><p>y </p><p>v1 </p><p>p1 </p><p>y </p><p>t </p><p>L </p><p>y1 </p><p>x </p><p>x </p><p> O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens: </p><p>1. o trabalho Wg realizado pela fora gravitacional sobre o fluido de massa m durante a subida da massa do nvel da entrada at o nvel da sada e; </p><p>2. o trabalho realizado sobre o sistema para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema para empurrar o fluido que est mais adiante no tubo. </p><p> O trabalho Wg dado por: </p><p>(8) </p></li><li><p>10 </p><p>Equao de Bernoulli </p><p>t + t </p><p>(b) </p><p>(a) </p><p>Sada </p><p>Entrada </p><p>v2 </p><p>p2 </p><p>y2 </p><p>y </p><p>v1 </p><p>p1 </p><p>y </p><p>t </p><p>L </p><p>y1 </p><p>x </p><p>x </p><p> O trabalho realizado por uma fora de mdulo F, agindo sobre uma amostra do fluido contida em um tubo de rea A para mover o fluido a uma distncia x ; </p><p> O trabalho realizado sobre o sistema p1V e o trabalho realizado pelo sistema p2V. A soma deles : </p><p>(9) </p><p> Assim a eq. (5) se torna: </p><p> Combinando as eqs. (7), (8) e (9), tem-se: </p><p>(10) </p></li><li><p>11 </p><p>Equao de Bernoulli </p><p>t + t </p><p>(b) </p><p>(a) </p><p>Sada </p><p>Entrada </p><p>v2 </p><p>p2 </p><p>y2 </p><p>y </p><p>v1 </p><p>p1 </p><p>y </p><p>t </p><p>L </p><p>y1 </p><p>x </p><p>x </p><p> Cancelando V e reagrupando os termos da eq. (10), obtemos: </p><p>(11) </p><p>na qual o termo v2 chamado de energia cintica especfica (energia por unidade de volume) do fluido. </p><p> As vezes conveniente expressar a equao de Bernoulli na forma: </p><p>(12) </p><p>A equao (12) mostra que a quantidade p + v2 + gy permanece constante ao longo das linhas de fluxo. </p></li><li><p>12 </p><p>Equao de Bernoulli </p><p>t + t </p><p>(b) </p><p>(a) </p><p>Sada </p><p>Entrada </p><p>v2 </p><p>p2 </p><p>y2 </p><p>y </p><p>v1 </p><p>p1 </p><p>y </p><p>t </p><p>L </p><p>y1 </p><p>x </p><p>x </p><p> Para aplicar a equao de Bernoulli (eq. 11) a um fluido em repouso fazemos v1 = v2 = 0. O resultado : </p><p>(13) </p><p> Um previso importante da equao de Bernoulli (eq. 10) surge quando supomos que y constante (y = 0, digamos). Nesse caso, temos: </p><p>(14) </p><p>De acordo com a eq. (14), se a velocidade de um fluido aumenta quando ele se move horizontalmente ao longo de uma linha de fluxo, a presso do fluido diminui e vice-versa. </p><p>Isso significa que nas regies nas quais as linhas de fluxo esto mais concentradas a presso menor e vice-versa. </p></li><li><p>13 </p><p>Exemplo 2: A gua flui pelos canos mostrados na figura abaixo. A velocidade da gua pelo cano mais baixo de 5,0 m/s e um manmetro marca 75 kPa. Qual a presso no cano superior? Qual o valor mostrado no manmetro do cano superior? </p></li><li><p>14 </p><p>Exemplo 3: Pequenas usinas hidreltricas em montanhas s vezes trazem gua de um reservatrio para a usina de energia atravs de tubos embutidos. Em uma dessas usinas, o tubo de captao de 100 cm de dimetro, na base da represa, localiza-se 50 m abaixo da superfcie do reservatrio. A gua desce 200 m atravs do tubo antes de entrar na turbina por um bocal de 50 cm de dimetro. a) Qual a velocidade da gua na turbina? </p><p> b) Em quanto a presso de entrada difere da presso hidrosttica quela profundidade? </p><p>250 </p><p>200 </p><p>0 </p><p>y(m) </p><p>100 cm </p><p>50 cm </p><p>Dam </p><p>Streamline </p><p>1 </p><p>2 </p><p>3 </p></li><li><p>15 </p><p>Gabarito dos Exemplos </p><p>1- a) v= 1,66 m/s b) v= 0,41 m/s </p><p>2 - P = 4,6 kPa </p><p>3 - a) V = 70,0 m/s b) 153,0 kPa </p></li></ul>