Unit Load Method

  • Published on
    18-Jan-2016

  • View
    9

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

mektur 2

Transcript

VI

118

C. Metode Umum untuk Penentuan Tanggapan Deformasi

1. Diagram Defleksi dan Kurva Elastis

Akibat adanya gangguan terhadap struktur, baik karena pembebanan, perubahan suhu, kesalahan fabrikasi, atau penurunan tumpuan; maka struktur dapat mengalami defleksi (yang merupakan bentuk tanggapan deformasi). Defleksi harus dibatasi agar struktur tidak mengalami retak ataupun getaran yang berlebih. Yang lebih penting, defleksi pada titik-titik tertentu harus dihitung pada penganalisaan struktur statis tak tentu.

Analisa defleksi yang dibahas disini hanya untuk bahan yang masih bersifat elastis linier, sehingga jika beban dihilangkan maka struktur akan kembali ke posisi awal.

Sebelum kemiringan atau pergeseran suatu titik pada balok dihitung, perlu dibuat sketsa atau diagram bentuk struktur yang terbebani agar dapat menggambarkan hasil perhitungan dan memeriksa hasil tersebut. Diagram defleksi ini menjelaskan bentuk kurva elastis titik-titik yang menggambarkan posisi pusat berat penampang suatu batang. Untuk menggambar kurva elastis haruslah diketahui batasan-batasan defleksi dan kemiringan yang terjadi pada masing-masing jenis perletakan, sebagaimana ditunjukkan Gambar 5.4 berikut.

= 0

= ada

(a) perletakan rol

= 0

= ada

(b) perletakan sendi

= 0

= 0

(c ) perletakan jepit

1

2

(d) sambungan terhubung jepit

o

1

2

(e) sambungan terhubung sendi

Gambar 5.4 Ketentuan Kemiringan Kurva Elastis untuk Berbagai Jenis Perletakan

Sehingga bila suatu balok atau kerangka kaku yang dibebani, berdasar batasan-batasan di atas, akan menunjukkan bentuk terdefleksinya sebagai berikut.

Gambar 5.5 Balok dan Kerangka Kaku yang Terdefleksi

Jika kurva elastis sulit dibuat, dapat dibantu dengan menggambar diagram momen untuk balok atau kerangka kaku tersebut, dengan menggunakan konvensi tanda momen yang sudah diketahui.

Gambar 5.6 Membuat Kurva Elastis dengan Bantuan Diagram Momen

(b)Diagram Momen

P1

A

B

P2

(a) Pembebanan Balok

P1

Titik infleksi

(c) Kurva elastis

M+

M+

-M

-M

(d) Perjanjian Tanda Momen

2. Teori Balok Elastis

Pada bab ini akan dibahas dua persamaan diferensial yang penting yang menghubungkan momen internalpada suatu balok dengan defleksi dan kemiringan kurva elastisnya. Perhatikan gambar berikut.

Misalkan balok AB adalah balok yang mengalami momen lentur. Balok terdefleksi dari posisi ACB menjadi ADB yang merupakan bentuk lengkungan lingkaran. Jika L adalah panjang balok AB, M adalah momen lentur, R: jari-jari kelengkungan, I: momen inersia penampang balok, E: modulus elastisitas material balok, y: defleksi balok dan adalah kemiringan kurva.

Dari bentuk geometri lingkaran, didapatkan

O

R

2

L

2

L

C

A

B

D

y

Gambar 5.7 Kurva Kelengkungan Balok yang Melentur

E

2

L

2

L

AC CB = EC CDatau

(

)

y

y

R

L

L

-

=

2

2

2

Sehingga

2

2

2

4

y

Ry

L

-

=

. Jika dianggap nilai y2 dapat diabaikan, maka

Ry

L

2

4

2

=

atau

R

L

y

8

2

=

Sebagaimana diketahui, pada suatu balok yang dibebani berlaku hubungan:

R

E

I

M

=

atau

M

EI

R

=

.

Masukkan nilai ini ke dalam persamaan

R

L

y

8

2

=

, sehingga didapatkan nilai defleksi

EI

ML

M

EI

L

y

8

8

2

2

=

=

.

Dari bentuk geometri lingkaran, didapatkan bahwa kemiringan balok di titik A atau B adalah sudut AOC. Sehingga

R

L

OA

AC

2

sin

=

=

q

Jika sudut sangat kecil maka sin akan bernilai sama dengan . Sehingga

R

L

2

=

q

radian. Karena

M

EI

R

=

, maka nilai kemiringan kurva adalah:

EI

M

M

EI

L

R

L

2

2

2

=

=

=

q

radian.

Selain dua persamaan di atas, terdapat satu hal yang penting dalam penentuan kelengkungan kurva balok terdefleksi. Yaitu hubungan antara kemiringan, defleksi dan jari-jari kelengkungan.

Untuk mempermudah penjelasan mengenai hal tersebut, perhatikan gambar berikut.

C

R

Q

ds

P

dy

dx

+ d

X

Y

O

d

Gambar 5.8 Kurva Kelengkungan Suatau Bagian Balok yang Melentur

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa: sudut PCQ = d dan ds = R d

(panjang busur lingkaran = jari-jari sudut juring lingkaran).

y

y

d

dx

d

ds

R

=

=

(dengan menganggap ds =dx)

atau

dx

d

R

y

=

1

.Jika x dan y adalah koordinat titik P maka

dx

dy

=

y

tan

. Bila adalah sudut yang sangat kecil, maka nilai tan = , maka didapatkan:

dx

dy

=

y

. Dengan melakukan penurunan persamaan tersebut terhadap x maka:

x

d

y

d

dx

d

2

2

=

y

. Dan karena

dx

d

R

y

=

1

maka

x

d

y

d

dx

d

R

2

2

1

=

=

y

Sebelumnya telah diketahui hubungan

R

E

I

M

=

atau

R

EI

M

1

=

. Dengan memasukkan nilai

x

d

y

d

R

2

2

1

=

maka

x

d

y

d

EI

M

2

2

=

Terdapat banyak metode untuk menentukan kemiringan dan defleksi di sebarang titik pada suatu balok yang dibebani. Di sini akan dibahas empat metode yang terkelompokkan menjadi dua golongan, yaitu metode energi kerja (work energy method) dan metode geometri (geometric method). Metode energi kerja meliputi metode beban satuan (unit load method) dan metode turunan parsial (teorema Castigliano). Sedangkan metode geometri mencakup metode bidang momen (momen area method) dan metode balok padanan/balok knjugasi (conjugate beam).

3. Metode Beban Satuan

a) Penurunan Rumus Dasar

Metode balok padanan sering juga disebut dengan metode kerja virtual (semu). Dikembangkan oleh John Bernoulli pada tahun 1717, metode ini diturunkan berdasarkan Hukum Kekekakalan Energi yang menyatakan bahwa usaha yang di-

lakukan oleh semua gaya luar yang bekerja pada struktur, Ue, diubah menjadi energi dalam (energi tegangan), Ui, yang dihasilkan bila struktur berubah bentuk (deformasi). Jika batas elastis tidak terlampaui maka energi tegangan elastis akan mengembalikan struktur ke keadaan semula bila beban dilepaskan. Sehingga Hukum Kekekalan Energi dapat dapat dinyatakan secara matematika sebagai:

Ue = Ui

Jika sebuah gaya P mengalami pergeseran dx pada arah yang sama dengan gaya tersebut, usaha yang dilakukan adalah dUe = F dx. Jika pergeseran totalnya adalah x maka usaha menjadi:

=

x

e

Fdx

U

0

Sekarang perhatikan efek yang diakibatkan oleh sebuag gaya aksial yang diberikan di ujung batang seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9-a berikut. Karena besar F meningkat secara berangsur-angsur dari nol ke suatu nilai pembatas F = P, defleksi akhir batang menjadi . Jika material memiliki respon elastis linier, kemudian F = (P/) x. Masukkan ke dalam persamaan

=

x

e

Fdx

U

0

, dan mengintegrasikan dari 0 ke , kita dapatkan

Ue = F

yang merupakan luas segitiga yang diarsir.

Sekarang anggap bahwa gaya P telah diberikan ke batang dan gaya lainnya F kini diberikan (Gambar 5.9-b), maka batang terdefleksi lagi sebesar . Usaha yang dilakukan P bila batang mengalami defleksi lanjutan adalah menjadi:

Ue = P

Disini usaha menyatakan luas persegi panjang yang diarsir pada Gambar 5.9-b.

Kesimpulannya adalah jika sebuah gaya P diberikan ke batang, diikuti dengan penambahan gaya F, usaha luar total yang dilakukan oleh kedua gaya digambarkan dengan luas segitiga ACE pada Gambar 5.9-b. Luas segi tiga ABG menyatakan menyatakan usaha P yang mengakibatkan pergeseran , luas segi tiga BCD menyatakan usaha F karena gaya ini mengakibatkan suatu pergeseran , dan terakhir luas persegi panjang yang diarsir BDEG menyatakan usaha tambahan

yang dilakukan P bila adalah pergeseran yang dilakukan oleh F.

F

P

F

x

(a)

F

P

P

F

x

F+P

A

B

C

D

E

G

(b)

Gambar 5.9 Grafik Hubungan Gaya dan Pergeseran

Kaidah dasar mengenai kesesuaian usaha luar dan energi dalam seperti diuraikan di atas menjadi dasar untuk memahami penurunan rumus dasar Metode Beban Satuan berikut.

Dimisalkan ingin diketahui besarnya lendutan vertikal di titik C (C) pada balok sederhana