z Trigonometria x

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    07-Feb-2016

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  • 1. ANGULO TRIGONOMTRICO.Es una figura generada por la rotacinde un rayo, alrededor de un punto fijollamado vrtice, desde una posicininicial hasta una posicin final.

    L.I.: Lado inicialL.F.: Lado Final

    1.1 CONVENCIN :Angulos PositivosSi el rayo gira en sentido Antihorario

    Angulos NegativosSi el rayo gira en sentido horario.

    Ejemplo:

    Ntese en las figuras: es un ngulo trigonomtrico de

    medida positiva.

    x es un ngulo trigonomtrico demedida negativa. Se cumple: x=-

    Observacin:

    a) Angulo nuloSi el rayo no gira, la medida delngulo ser cero.

    b) Angulo de una vueltaSe genera por la rotacin completadel rayo, es decir su lado finalcoincide con su lado inicial porprimera vez.

    c) Magnitud de un nguloLos ngulos trigonomtricospueden ser de cualquier magnitud,ya que su rayo puede girar infinitasvueltas, en cualquiera de lossentidos. Como se muestra en elejemplo.

    2. SISTEMAS ANGULARESAs como para medir segmentos serequiere de una unidad de longituddeterminada, para medir ngulos senecesita de otro ngulo como unidadde medicin.

    L.F

    L.I

    x

    00

    1V

    0

    -1V

    0

    3V

    El ngulo mide3 vueltas

    -El ngulo mide-2 vueltas

    angulo trigonometricosistema de medicion

    angular

    vuu

    puy

    riio

    vuvuu

    puy

    riiioooo

  • 2.1 Sistema SexagesimalSu unidad ngular es el gradosexagesimal(1); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ngulo deuna vuelta.

    360V1

    1 1V 360

    Equivalencias:

    1=60 1=60 1=3600

    2.2 Sistema CentesimalSu unidad angular es el gradocentesimal (1g), el cual esequivalente a la 400ava parte delngulo de una vuelta.

    400V1

    1g 1V= 400g

    Equivalencias:

    1g=100m 1m=100s 1g=10000s

    2.3 Sistema Radial o Circular oInternancionalSu unidad es el radian, el cual es unngulo que subtiene un arco delongitud equivalente al radio de lacircunferencia respectiva.

    2V1

    rad1 1V=2rad 6,2832

    NotaComo = 3,141592653...Entonces:

    2310722

    1416,3

    3. CONVERSION DE SISTEMASFactor de Conversin Es un cocienteconveniente de dos magnitudesangulares equivalentes.

    Magnitudes angulares equivalentes

    1 vuelta : 1 v 360=400g=2rad

    Llano : 1/2v 180=200g=rad

    Grados : 9 =10g

    Ejemplos: Convertir a radianes la siguiente

    magnitud angular =12Resolucin:

    Magnitud Factor deequivalente Conversin

    rad = 180180

    rad

    rad15180

    rad12

    Convertir a radianes la siguientemagnitud angular: =15Resolucin:

    Magnitud Factor deequivalente Conversin

    rad = 200gg200

    rad

    rad403

    200

    rad15

    gg

    Convertir a sexagesimal la sgte.magnitud angular: =40g

    Magnitud Factor deequivalente Conversin

    9 = 10gg10

    9

    3610

    940

    gg

    Hallar:gm

    g

    5

    9

    1

    1'11

    E

    A0

    r

    r1 rad

    r

    B

    mAOB=1rad

    mmmaCo

    s

    mmmmmaCo

    s

  • Resolucin:Recordando: 1=60

    1g = 100m

    9 = 10g

    Reemplazando en:

    g

    g

    m

    m

    5

    10

    1

    100'1'60

    E

    E = 60 +100 + 2 =162

    Hallar: a+b sabiendo 'barad8

    Resolucin:Equivalencia: rad = 180

    245

    8180

    rad180

    .rad8

    22,5 = 22+0,5 + =2230

    Luego:

    'ba'3022rad8

    Efectuando:a=22b=30

    Entonces: a+b = 52

    Ntese que para convertir un ngulode un sistema a otro, multiplicaremospor el factor de conversin.

    Convertir a sexagesimales yradianes la siguiente magnitudangular. =16g

    Resolucin:A) 16g a sexagesimales

    Factor de conversin =g10

    9

    Luego:

    4,14572

    10144

    10

    916

    gg

    B) 16g a radianes

    Factor de conversin =g200

    rad

    Luego:

    rad252

    200rad.16

    200

    rad16

    gg

    4. FORMULA GENERAL DECONVERSIONSean S, C y R los nmeros querepresentan la medida de un nguloen los sistemas sexagesimal,centesimal y radial respectivamente,luego hallamos la relacin que existeentre dichos nmeros.

    De la fig. S = Cg = Rrad ... (1)Adems 180 = 200g = rad ... (2)

    Dividiendo (1) entre (2) tenemos:

    R

    200C

    180S

    Frmula particulares:

    10C

    9S

    R

    180S

    R

    200C

    S Cg Rrad0

    Frmula o Relacin deConversin

    Sexagesimal y Centesimal

    Sexagesimal y Radian

    Centesimal y Radian

    00

    00000

  • Ejemplos:

    Convertir rad5

    a grados

    sexagesimal.

    Resolucin:

    Sabemos que:R

    180S

    5/180S

    S=36

    rad5

    = 36

    Convertir 60g a radianes.

    Resolucin:

    Sabemos que:R

    200C

    R

    20060

    103

    R

    rad103

    60g

    Convertir 27 a gradoscentesimales.Resolucin:

    Sabemos que:10C

    9S

    10C

    927

    C=30

    27=30g

    Seis veces el nmero de gradossexagesimales de un ngulosumado a dos veces el nmerosde sus grados centesimales es222. Hallar el nmero deradianes de dicho ngulo?

    Resolucin:Si S, C y R son nmeros querepresentan las medidas del nguloen grados sexagesimales, en gradoscentesimales y en radianes

    respectivamente; del enunciadoafirmamos.

    6S + 2C = 222 .... (1)

    Adems:

    R

    200C

    180S

    R200

    C

    R180S

    Reemplazando en (1):

    222R200

    .2R

    180.6

    222R400

    R1080

    222R1480

    203

    R

    Nota: Para solucionar este tipo deproblemas tambin podramos hacer:

    ?KRK200CK180S

    KR

    200C

    180S

    Reemplazando en (1):

    6(180K)+2(200K) = 2221480K = 222

    203

    K

    203

    KR

    EJERCICIOS

    1. Calcular: J.C.C.H.

    Si: 68g JCCH

    a) 6 b) 12 c) 24d) 30 e) 22

    1801801

  • 2. Dada la figura:

    Calcular:

    aabK

    24

    a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

    3. La medida de los ngulos iguales deun tringulo issceles son (6x) y(5x+5)g. Calcular el ngulo desigualen radianes.

    a) rad52

    b)53

    c) rad54

    d) rad10

    e) rad5

    4. Determinar la medida circular de unngulo para el cual sus medidas en losdiferentes sistemas se relacionan de lasiguiente manera:

    91

    SCS3C5,3

    R10C20

    S18 333

    a) rad3 b) rad102

    c) rad203

    d) rad74

    e) rad185

    5. Las media aritmtica de los nmerosque expresan la medida de un ngulopositivo en grados sexagesimales ycentesimales, es a su diferencia como38 veces el nmero de radianes dedicho ngulo es a 5. Hallar cuantomide el ngulo en radianes.

    a) rad45

    b) rad34

    c) rad32

    d) rad35

    e) rad56

    6. Del grfico, hallar una relacin entre, y .

    a) - + = -360b) + - = 360c) + + = 360d) - - = 360e) + - = -360

    7. Siendo S y C lo convencional de unngulo para el cual se cumple:

    '3'121

    2

    21C3S5

    m

    m

    g

    Hallar el nmero de gradossexagesimales.

    a) 10 b) 81 c) 72d) 9 e) 18

    8. Sabiendo que: SC CS y adems:

    Sx=9x, Hallar: x10M

    a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

    9. Del grfico, calcular y/x

    a) 1/6b) 6c) 6d) 1/3e) 1/3

    10.Si los nmeros que representan lamedida de un ngulo en los sistemasS y C, son nmeros paresconsecutivos. El valor del complementodel ngulo expresado en radianes es:

    a) rad10

    b) rad103

    c) rad54

    d) rad52

    e) rad37

    ag b

    yx

    xg

    =9x

    d

    8 S

    Sx=9x

    ddd

    8 SSSS

    Sxxx

  • 11.Siendo y el factor que conviertesegundos centesimales en minutossexagesimales y x el factor queconvierte minutos centesimales ensegundos sexagesimales. Calcular x/y.

    0a) 2000 b) 4000 c) 6000d) 8000 e) 9000

    12.Siendo S el nmero de gradossexagesimales y c el nmero degrados centesimales que mide unngulo menor que una circunferencia,calcular dicho ngulo en radianessabiendo que .C = x2-x-30 ; S = x2+x-56

    a)53

    b)73

    c)103

    d)113

    e)133

    13.Si se cumple que:23 )SC(400)SC(361

    Hallar:

    R3,1R4,2

    E

    a) 9/5 b) 8/3 c)6/5d) 5/2 e) 7/5

    14.Sabiendo que a, b y R son losnmeros que expresan la medida deun ngulo en minutos sexagesimales,segundos centesimales y radianesrespectivamente. Calcular:

    )b001,0a(R32

    E

    a) 5 b) 10 c) 20d) 10 e) 20

    15. Reducir:s

    m

    2

    1'311

    E

    m

    g

    10

    a) 10 b) 40 c) 50d) 70 e) 80

    16. Si S, C y R son los nmeros queindican la medida de un ngulo en lossistemas convencionales. Hallar dichongulo en grados S si R es entero:

    SCC2

    2R5

    CSS6C4

    1

    Rtpa. .......

    17.En un cierto ngulo, se cumple que:

    97CS2 3

    . Calcular elcomplemento del ngulo en radianes.

    a)10

    b)103

    c)52

    d)203 e)

    57

    18.Al medir un ngulo positivo en lossistemas convencionales, se observque los nmeros que representandichas medidas, se relacionan delsiguiente modo:

    La diferencia del triple del mayor conel doble del intermedio, resulta serigual a treinta veces el nmero menorentre , aumentado todo esto en 70,obtener la medida circular.

    a) rad2

    b) rad3

    c) rad4

    d)5

    e)6

    19.Sabiendo que la suma de los nmerosque representan la medida de untringulo en grados sexagesimales es133. Entonces la medida de dichongulo es:

    a) rad207

    b) 70g

    c) 63 d) 133

    e) a, b, y c son correctas

    ee

    dobual

    elel

    eee

    dobual

    eeellell

  • 1. ARCOUna porcin cualquiera de unacircunferencia, recibe el nombre deArco de la circunferencia.

    AmplitudDada por la medida del ngulo centralque sostiene el arco.

    Longitud de ArcoEn una circunferencia de radio R unngulo central de radianesdetermina una l