Zeitreihenanalyse WS 2004/2005

  • View
    28

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zeitreihenanalyse WS 2004/2005. Michael Hauhs / Gunnar Lischeid. Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

  • ZeitreihenanalyseWS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedchtnis Kausalitt, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexitt und Information von Zeitreihen WaveletsMichael Hauhs / Gunnar Lischeid

  • 1. Die Box-Cox Transformation fr ZeitreihenDabei wird c so gewhlt, dass der Ausdruck in der Klammer immer > 0 wirdDie Box-Cox Transformation hat das Hauptziel, die Wahrscheinlichkeitsdichte der Werte einer Normalverteilung anzunhern. Bestimmte Instationaritten lassen sich so ebenfalls vermindern.

  • 2. Schtzung von Mittelwert und Varianz 3. Kovarianzmatrix

  • 4. Bestimmung des ML-FunktionalsBedingte kombinierte Wahrscheinlichkeit: Bedingte Erwartungswerte des Rauschens: Es gilt (Box und Jenkins 1976)

  • ML-OptimierungDamit ist das ML-Funktional:5. Maximierung zur Bestimmung der opt. Parameter Optimierung i.d.R. numerisch mit Standardverfahren (Powell-Algorithmus)

  • Wie genau sind die Parameter bestimmt?Informationsmatrix:Standardfehler der geschtzten Parameter:Algorithmische Umsetzung: Box-Jenkins-Verfahren (1976)

  • 6. Portmanteau Test fr ResiduenDie Portmanteau-Statistik ist dannund gengt einer 2-Verteilung mit (L-p-q) Freiheitsgraden

  • B. Qualittsbeurteilung verschiedener ARMA-Modelle:Akaike Informations-Kriteriumsoll minimiert werden!Plausibilitt eines Modells i gegenber einem anderen j:

  • Beispiel: SonnenfleckenzahlenAblesebeispiel:ARMA(5,5) istmit einer Wahr-scheinlichkeitvon 5.5% besser alsdas beste Modell

  • Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedchtnis

  • Modellierung beliebig langreichweitiger Korrelationen:Fractional Autoregressive Integrated Moving Average (FARIMA) Modelle

  • Verhalten von FARIMA(p,d,q)-ModellenVerhalten der Autokorrelation:d heit Persistenz-Parameter (d=0 keine, d=0.5 maximale Persistenz)

    Normales ARMA-Modell, kurzreichweitig

    Normales ARIMA-Modell, kurzreichweitig

    invertierbar

    stationr

    Langes Gedchtnis

    _1006599493.unknown

    _1006599695.unknown

    _1006599734.unknown

    _1006599774.unknown

    _1006599641.unknown

    _1006599101.unknown

  • Vorgehen bei der Konstruktion von FARIMA(p,d,q)-Modellen an Beispielen(Montanari et al., WRR 33, 1035-1044 (1997); WRR 36, 1249-1259 (2000))x(t): 51 Jahre tgliche Werte, 18748 Datenpunkte; 122 Jahre monatliche Werte, 1466 Datenpunkte Elimination von periodischen Instationaritten: Desaisonalisierung mit geeignetem Verfahren Berechnung der Autokorrelation fr die desaisonalisierte Reihe und Abschtzung der bentigten Terme fr den Differenzenoperator Ggf. Transformation der Daten, um Normalverteilung zu approximieren (Box-Cox-Transformation), nicht immer ntig Bestimmung einer ersten Schtzung fr d (Hurst-Analyse) Wahl von p und q und Ermittlung der optimalen Koeffizienten mit Maximum Likelihood-Verfahren Auswahl des besten Modells mit dem Akaike-Informations-Kriterium

  • Untersuchung der Residuen (unkorreliertes Gausches Rauschen?) mit dem Portmanteau-Test Simulation der Zeitreihe mit dem besten Modell und Vergleich von Autokorrelation und Wahrscheinlichkeitsverteilung Falls erfolgreich: Abflussgenerator gefunden!

  • Langreichweitige Autokorrelationen sind klar vorhanden. Die Entwicklung des Differenzenoperators sollte ca. 100 Terme umfassen.Beispiel: Lago Maggiore-Zufluss

  • Die Portmanteau-Statistik zeigt: optimales Modell ist FARIMA(1,0.38,1), genauer:...aber auch, dass das Restrauschen nicht Gausch ist!

  • Die Simulationen mit dem optimalen Modellliefern AKFs und pdfs, die die Beobachtungen sehr gut widerspiegeln

  • Das Hurst-PhnomenBeobachtung (Hurst 1951):

    Der Wertebereich q oder die Hhe von Extremereignissen hngt vonder gewhlten Zeitauflsung oder Aggregation k wie eine Potenzfunktion ab:H: Hurst-Koeffizient (-Exponent)Theoretische Rechnung: Bei Prozessen erster Ordnung (Random Walk, ARIMA(0,1,0), Brownsche Bewegung) gilt

  • Das Nilometer bei Kairo:Lngste hydrologische Zeitreihe der Welt:621-1921 A.D.aus: Sutcliffe and Parks (1999)

  • Nil-Abflu

  • Nile runoff 1872 - 1996Years

  • Beispiel Nil: Autokorrelation

  • Nil-Wahrscheinlichkeiten

  • Die R/S Methode zur Hurst StatistikMan plottet log q gegen log k und bestimmt die Steigung H

  • Eigenschaften des Hurst-Exponenten Klassifikation von Prozessen: Persistenz (H > 0.5), Anti-Persistenz (H < 0.5), Brownsches Rauschen (H = 0.5) Regen meistens in der Nhe von H=0.5 Typischer Abflusswert (Weltmittel) : H=0.73 (Nil ist ein Extremfall) Theoretischer Zusammenhang mit dem Persistenzparameter: d=H-0.5 (manchmal nicht gut erfllt, s. spter) Prinzipielles Problem: Langsame Instationaritten (sehr lange Mittelwertdrifts), die durch Trendtests nicht erkannt werden, fhren zu H>0.5 genau wie "echte" Persistenz

  • Steinkreuz Hurst Statistik-0.10.40.91.41.92.42.93.43.9-1.5-1-0.500.511.522.53log klog qRegen, H=0.68Abfluss, H=0.96Im Regensignal ist ein endliches Gedchtnis (Abflachen) zu erkennen

  • Hurst-Exponenten von Flssen (weltweit)0.650.70.750.80.850.9OberammergauFischenFrstenfeldbruckInkhofenGnzburg u.d. Mndung GnzDillingenDonauwrthIngolstadtKelheimOberndorfHofkirchenAchleitenMittenwaldLenggriesBad Tlz KraftwerkGarmisch u.d. PartnachKochelDasingManchingAmazonasMississippiNilOrtHurst-ExponentAmmerAmperDonauIsarLoisachPaar