Ecuaciones dif

  • Published on
    15-Jun-2015

  • View
    80

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ECUACIONES DIFERENCIALES

Transcript

  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES TCNICAS DE SOLUCIN Y APLICACIONES JOS VENTURA BECERRIL ESPINOSA DAVID ELIZARRARAZ MARTNEZ UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo Azcapotzalco DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

2. JOS VENTURA BECERRIL ESPINOSA Curs la Licenciatura en Fsica y Ma- temticas en la ESFM del IPN, titu- lndose en 1985. Obtuvo el grado de Maestro en Ciencias en la Seccin de Matemtica Educativa del CIN- VESTAV en 1987 con la tesis "Algunos resultados clsicos de la integracin de funciones elementales" Ingres de forma definitiva a la Universidad Au- tnoma Metropolitana, Azcapotzalco en 1985, en el Departamento de Cien- cias Bsicas. Desde entonces ha pu- blicado materiales diversos para la docencia, as como reportes de inves- tigacin que se han presentado en con- gresos nacionales tanto de Matemti- cas, como de investigacin educativa. Actualmente es miembro del Grupo de Investigacin de Matemtica Edu- cativa, donde trabaja en la aplicacin de la tecnologa para la enseanza de las matemticas. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 3. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 4. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 5. ECUACIONES DIFERENCIALES TCNICAS DE SOLUCIN Y APLICACIONES DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 6. COLECCIN / LIBROS DE TEXTO Y MANUALES DE PRCTICA SERIE / MATERIAL DE APOYO A LA DOCENCIA transformandoeldihgoporlarazn UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA 3O AOS DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 7. ECUACIONES DIFERENCIALES TCNICAS DE SOLUCIN Y APLICACIONES Jos Ventura Becerril Espinosa David Elizarraraz Martnez UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo Azcapotzalco DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 8. UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA Dr. Luis Mier y Tern Casanueva RECTOR GENERAL Dr. Ricardo Sols Rosales SECRETARIO GENERAL UNIDAD AZCAPOTZALCO Mtro. Vctor Manuel Sosa Godnez RECTOR Mtro. Cristian Eduardo Leriche Guzmn SECRETARIO Mtra. Mara Aguirre Tamez COORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADMICO DCG. Ma. Teresa Olalde Ramos COORDINADORA DE EXTENSIN UNIVERSITARIA DCG. Silvia Guzmn Bofill JEFA DE LA SECCIN DE PRODUCCIN YDISTRIBUCIN EDITORIALES ECUACIONES DIFERENCIALES.TCNICAS DE SOLUCIN YAPLICACIONES Primera edicin, 2004 D.R. 2004 Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas C. P.02200, Mxico, D.F. e.mail: secedi@correo.azc.uam.mx Diseo y produccin editorialnopase. Eugenia Herrera/Israel Ayala Ilustracin de portada. Israel Ayala. Fotografa de autores. Roberto Cano ISBN 970-31-0230-1 Impreso en Mxico/Printed in Mxico DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 9. Prlogo Este libro est diseado para un curso trimestral de ecuaciones diferenciales or- dinarias. Presentamos los teoremas y tcnicas de solucin que consideramos bsicos en un estudio introductorio de sta importante disciplina de las Matemticas. Aunque no hemos puesto nfasis en las demostraciones, proporcionamos una buena cantidad de ejer- cicios resueltos, de modo que un estudiante de Ingeniera podra obtener, mediante su anlisis, un nivel satisfactorio en los diferentes mtodos de solucin de ecuaciones dife- renciales y sus aplicaciones elementales ms comunes. Para el curso sugerimos seguir el orden previsto, no obstante, si algn lector considera que es demasiado material se pueden omitir las secciones 2.8, 2.9 y 2.10. Los diferentes temas se exponen en forma clara y sencilla para su inmediata com- prensin. En las primeras secciones los desarrollos se hacen de manera exhaustiva. Ms adelante, lo que ya es conocido no se desarrolla completamente, sino que se dejan al lector los detalles que en ese momento ya est en capacidad de realizar. En consecuencia, el texto se puede utilizar para un curso tradicional o bien, para un curso en el Sistema de Aprendizaje Individualizado, en el que el alumno estudia por su propia cuenta. En el captulo uno ilustramos la aplicacin de las ecuaciones diferenciales. Ms que la solucin y el entendimiento de los problemas planteados, buscamos motivar el inters en estudiar ecuaciones diferenciales, a travs de problemas actuales como son el crecimiento de poblaciones, el impacto de la publicidad y las curvas de persecucin, entre otros. El captulo 2 est dedicado a la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Se analizan, uno por uno, varios de los mtodos ms usuales e incluimos la seccin 2.7 en la que se aborda el problema de resolver una ecuacin dada empleando el mtodo ms conveniente. En esta seccin se proponen 80 ejercicios, debido a que usualmente los libros de texto estudian la solucin de ecuaciones diferenciales por tema y el alumno sabe que las ecuaciones que se le plantean son del tema estudiado; pero en la prctica y en sus cursos posteriores las ecuaciones con que se encuentra las tiene que resolver sin conocer de antemano de que tipo son. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 10. 8 El captulo 3 muestra la aplicacin de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, entre las cuales estn las ms accesibles para los estudiantes, ya que se espera que ellos sean capaces de entenderlas y resolver problemas relacionados con stas. En el captulo 4 nos concentramos en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias linea- les de orden dos. Pensamos que no nes difcil entender los resultados para orden mayor que dos y aplicarlos a casos sencillos de ecuaciones homogneas con coeficientes constantes, razn por la cual aparece la seccin 4.5. Finalmente, el captulo cinco contiene diversas aplicaciones de las ecuaciones diferen- ciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Proponemos slo como ejercicios los correspondientes al movimiento vibratorio de una masa sujeta a un resorte y de circuitos elctricos, para no caer en un exceso de material, aunque en el captulo aparecen otras aplicaciones. Queremos destacar que en las pginas 220 a la 243 se encuentran las respuestas de todos los ejercicios propuestos, lo cual ser de gran ayuda para que el estudiante compruebe sus conocimientos. El libro incorpora el producto del trabajo realizado por los autores al impartir en varias ocasiones el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias en la UAM-A. Tambin agradecemos a la M. en M. Marina Salazar Antnez y al M. en C. Jos Luis Huerta Flores por sus valiosos comentarios y problemas aportados. Al final, presentamos algunas referencias bibliogrficas que esperamos sean tiles para los lectores interesados en profundizar en el estudio de algn tema o de conocer otras aplicaciones. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 11. Captulo 1 Introduccin "El lenguaje para entender a lanaturaleza esla matemtica." Galileo Galilei. 1.1 Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemticos Una gran cantidad de leyes en la Fsica, Qumica y Biologa tienen su expresin natural en ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. Tambin, es enorme el mundo de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en Ingeniera, Economa, Ciencias Sociales, Astronoma y en lasmismas Matemticas. Lacausa es simple, si un fenmeno se puede expresar mediante una o varias razones decambio entre lasvariables implicadas entonces correspondientemente tenemos unao varias ecuaciones ecuaciones diferenciales. El ejemplo ms simple de una ecuacin diferencial proviene de la segunda leyde Newton F = raa, ya quesi un cuerpo caebajo la influencia de la fuerza de gravedad entonces y como a donde y(t) denota la posicin delcuerpo al tiempo , tenemos que es unaecuacin diferencial ordinaria, cuya solucin es la funcin deposicin y(i). Si adems suponemos quesobre el cuerpo acta unafuerza de friccin conel medio que lo rodea, cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantnea dy/dt, se sigue que de donde DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com 12. 10 Captulo 1. Introduccin Otros ejemplos son las famosas ecuaciones en derivadas parciales del calor, de onda y de Laplace, que tienen la forma Ao Poblacin (millones de hab.) 1900 13.61 1910 15.16 1920 14.33 1930 16.53 1940 19.65 1950 25.78 1960 34.92 Con base en los datos de la tabla y ubicndonos en el ao de 1960, se podra haber hecho una estimacin