Geometria analitica exercicios resolvidos

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    01-Jul-2015

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<p>Geometria Analtica</p> <p>Geometria Analtica</p> <p> Geometria Analtica I Geometria Analtica II Geometria Analtica III Geometria Analtica IV Geometria Analtica V Exerccios de Geometria Analtica Elipse Hiprbole Parbola Hiprbole Eqiltera A excentricidade das cnicas Sistema de coordenadas polares Um problema de circunfernciaINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.</p> <p>E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br.</p> <p>CASCAVEL CEAR - BRASIL</p> <p>Geometria Analtica I</p> <p>1 - IntroduoA Geometria Analtica uma parte da Matemtica, que atravs de processos particulares, estabelece as relaes existentes entre a lgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferncia ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas atravs de mtodos algbricos.Os estudos iniciais da Geometria Analtica se deram no sculo XVII , e devem-se ao filsofo e matemtico francs Ren Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representao numrica de propriedades geomtricas. No seu livro Discurso sobre o Mtodo, escrito em 1637, aparece a clebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo". 1.1 - Coordenadas cartesianas na retaSeja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos direita e negativos esquerda.</p> <p>O comprimento do segmento OA igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). fcil concluir que existe uma correspondncia um a um (correspondncia biunvoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos nmeros reais. Os nmeros so chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A -1, a abscissa da origem O 0, a abscissa do ponto A 1, etc. A reta r chamada eixo das abscissas. </p> <p>1.2 - Coordenadas cartesianas no planoCom o modo simples de se representar nmeros numa reta, visto acima, podemos estender a idia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que ser a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:</p> <p>Dizemos que a a abscissa do ponto P e b a ordenada do ponto P.O eixo OX denominado eixo das abscissas e o eixo OY denominado eixo das ordenadas.O ponto O(0,0) a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algbricos de a e b definem regies do plano denominadas QUADRANTES.No 1 quadrante, a e b so positivos, no 2 quadrante, a negativo e b positivo, no 3 quadrante, ambos so negativos e finalmente no 4 quadrante a positivo e b negativo.</p> <p>Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equao do eixo OX y = 0 e a equao do eixo OY x = 0.Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1 quadrante, cuja equao evidentemente y = x.J os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simtricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2 quadrante, cuja equao evidentemente y = - x.Os eixos OX e OY so denominados eixos coordenados.Exerccios Resolvidos1) Se o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y , ento :a) m um nmero primo b) m primo e par c) m um quadrado perfeitod) m = 0e) m 4Soluo:Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , ento a sua abscissa nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta a letra C,pois 4 um quadrado perfeito (4 = 22).2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertena primeira bissetriz , ento podemos afirmar que :a) r um nmero naturalb) r = - 3c) r raiz da equao x3 - x2 + x + 14 = 0d) r um nmero inteiro menor do que - 3. e) no existe r nestas condies.Soluo:Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.Das alternativas apresentadas, conclumos que a correta a letra C, uma vez que -2 raiz da equao dada. Basta substituir x por -2 ou seja: (-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 raiz da equao. 3) Se o ponto P(k, -2) satisfaz relao x + 2y - 10 = 0 , ento o valor de k 2 :a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0Soluo:Fazendo x = k e y = -2 na relao dada vem: k + 2(-2) - 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. Logo, a alternativa correta a letra B.2 - Frmula da distncia entre dois pontos do plano cartesiano</p> <p>Dados dois pontos do plano A(Xa, Ya) e B(Xb, Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitgoras a seguinte frmula da distancia entre os pontos A e B:</p> <p>Esta frmula tambm pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.Exerccio ResolvidoO ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se v o segmento BC sob um ngulo reto . Nestas condies podemos afirmar que o ponto A :a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)Soluo:Como do ponto A se v BC sob um ngulo reto, podemos concluir que o tringulo ABC retngulo em A. Logo, vale o teorema de Pitgoras: o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC a hipotenusa porque o lado que se ope ao ngulo reto A). Da frmula de distncia, podemos ento escrever, considerando que as coordenadas do ponto A so (0, y) , j que dado no problema que o ponto A est no eixo dos y e portanto sua abscissa nula:AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 2y2 - 8y - 10 = 0 y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 no serve, pois foi dito no problema que o ponto A est no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta a letra D.3 - Ponto mdio de um segmento</p> <p>Dado o segmento de reta AB , o ponto mdio de AB o ponto M AB tal que AM = BM .Nestas condies, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto mdioM(xm , ym) sero dadas por:</p> <p>Exerccio ResolvidoSendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do tringulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , ento W2 igual a:a) 25b) 32c) 34d) 44e) 16Soluo:Chama-se mediana de um tringulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC ser o segmento que une o ponto A ao ponto mdio de BC. Das frmulas de ponto mdio anteriores, conclumos que o ponto mdio de BC ser o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado ser a distncia entre os pontos A e M. Usando a frmula de distncia encontramos AM = 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta est na alternativa C.4 - Baricentro de um tringuloSabemos da Geometria plana , que o baricentro de um tringulo ABC o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M o ponto mdio do lado oposto ao vrtice A (AM uma das 3 medianas do tringulo).Nestas condies, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do tringulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) dado por :</p> <p>Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do tringulo ABC, so iguais s mdias aritmticas das coordenadas dos pontos A , B e C.Assim, por exemplo, o baricentro (tambm conhecido como centro de gravidade) do tringulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) ser o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das frmulas.Exerccio resolvidoConhecendo-se o baricentro B(3,5), do tringulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?Soluo: Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela frmula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Da, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z ser portanto Z(11, 4).Usando a frmula da distncia entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).Agora resolva este:</p> <p>Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) so os vrtices de um tringulo cujo baricentro o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850</p> <p>INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.</p> <p>E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br.</p> <p>CASCAVEL CEAR - BRASIL</p> <p>Geometria Analtica II</p> <p>1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analtica1.1 - rea de um tringuloSeja o tringulo ABC de vrtices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A rea S desse tringulo dada por S = 1/2. D onde D o mdulo do determinante formado pelas coordenadas dos vrtices A , B e C .</p> <p>Temos portanto:</p> <p>A rea S normalmente expressa em u.a. (unidades de rea) Para o clculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prtica regra de Sarrus.1.2 - Condio de alinhamento de trs pontosTrs pontos esto alinhados se so colineares , isto , se pertencem a uma mesma reta . bvio que se os pontos A , B e C esto alinhados , ento o tringulo ABC no existe , e podemos pois considerar que sua rea nula ( S = 0 ) .Fazendo S = 0 na frmula de rea do item 1.1 , conclumos que a condio de alinhamento dos 3 pontos que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .Exerccio resolvido:Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) so colineares , ento o valor de y :a) 4b) 3c) 3,5d) 4,5e) 2Soluo: </p> <p>Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter: </p> <p>Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5. Portanto a alternativa correta a letra D.2 - Equao geral da reta.Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condio de alinhamento de 3 pontos , podemos escrever:</p> <p>Desenvolvendo o determinante acima obtemos:(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 .Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo ponto P(x,y) pertencente reta , deve verificar a equao :ax + by + c = 0 que chamada equao geral da reta r .Exemplos:2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10); observe que podemos escrever 3x - 4y - 10 = 0.3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0) ordenadas . equao do eixo Oy - eixo das y = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0) equao do eixo Ox - eixo das abscissas . Observaes: a) a = 0 y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )b) b = 0 x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)3 - Posio relativa de duas retasSabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser : Paralelas: r s = Concorrentes: r s = { P } , onde P o ponto de interseo .Coincidentes: r = s.</p> <p>Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : ax + by + c = 0 , temos os seguintes casos : as retas so coincidentes . as retas so paralelas .as retas so concorrentes .</p> <p>Exerccios resolvidos</p> <p>1 - OSEC-SP - Qual a posio relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?</p> <p>Soluo: Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas so paralelas.2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:a) elas so paralelasb) elas so concorrentes c) r t s = R d) r s t = R2 e) as trs equaes representam uma mesma reta .Soluo:Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro caso acima) e portanto asretas r e s so coincidentes.Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t , teremos:3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima);Portanto as retas r, s e t so coincidentes, ou seja, representam a mesma reta.Logo a alternativa correta a letra E.3) Para se determinar o ponto de interseo de duas retas , basta resolver o sistema de equaes formado pelas equaes das retas. Nestas condies, pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseo das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.Soluo:Da equao da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);substituindo na equao da reta s vem:6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 54 - 15y - 7y - 10 = 0 44 - 22y = 0 44 = 22y y = 2;substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4.Portanto o ponto de interseo o ponto P(4,2).Agora resolva esta:Qual a rea do tringulo ABC de vrtices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?Resposta: S = 3 u.a. (3 unidades de rea)</p> <p>Geometria Analtica III</p> <p>Determine a equao da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).Soluo:Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equao procurada, podemos escrever: </p> <p>Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver o determinante de 3 ordem acima, vem:- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 x - y + 3 = 0 que a equao geral procurada. Observe que a equao da reta tambm poder ser escrita como y = x + 3. Esta ltima forma, conhecida como equao reduzida da reta, como veremos a seguir.1 - Outras formas de equao da retaVimos na seo anterior equao geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0.Vamos apresentar em seqncia , outras formas de expressar equaes de retas no plano cartesiano:1.1 - Equao reduzida da retaSeja a reta r de equao geral ax + by + c = 0 . Para achar a equao reduzida da reta , basta tirar o valor de y ou seja : y = (- a/b)x - c/b .Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que a equao reduzida da reta deequao geral ax + by + c = 0 .O valor de m o coeficiente angular e o valor de n o coeficiente linear da reta .Observe que na equao reduzida da reta , fazendo x = 0 , obtemos y = n , ou seja, a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) .Sendo y = mx + n a sua equao reduzida ,podemos escrever:y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n .Subtraindo estas equaes membro a membro , obtemos y1 - y2 = m (x1 - x2) .Logo , a frmula para o clculo do coeficiente angular da reta que passa pelos doispontos (x1 , y1) e (x2 , y2) :</p> <p>Se considerarmos que as medidas Y2 - Y1 e X2 - X1 so os catetos de um tringulo retngulo, conforme figura abaixo podemos concluir que o valor de m numericamente igual tangente trigonomtrica do ngulo . Podemos ento escrever m = tg , onde o ngulo denominado inclinao da reta . o ngulo que a reta faz com o eixo dos x.A tg , como vimos igual a m , e chamada coeficiente angular da reta . Fica portanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m.Observe que se duas retas so paralelas , ento elas possuem a mesma inclinao ; logo, conclumos que os seus coeficientes angulares so iguais. Agora resolva este:Analise as afirmativas abaixo: (01) toda reta tem coeficiente angular .(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .(04) se a inclinao de uma reta um ngulo obtuso o seu coeficiente angular positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta positivo , a sua inclinao ser um...</p>