Matemáticas I Unidad I

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    23-Jun-2015

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Resumen terico del curso Matemticas I de la preparatoria abierta de la SEP. Primera unidad.

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<ul><li> 1. El presente material debe ser considerado nicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto.<br />MATEMTICAS I<br />UNIDAD I<br />CONJUNTOS<br />Contacto: joelamparn@gmail.com<br /></li></ul> <p> 2. Conjunto: coleccin o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estn tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto.<br />Ejemplos<br />Los Estados de la Repblica Mexicana<br />Los das de la semana<br />Las vocales del alfabeto.<br /> 3. Elementos: Las ideas u objetos que forman un conjunto.<br />Notacin Generalmente usamos letras maysculas para denotar conjuntos y las minsculas para sus elementos.<br />A podra ser el conjunto de das de la semana.<br />x podra ser lunes.<br /> 4. Para simbolizar que un elemento pertenece (o no) a un conjunto, usamos: <br />es un elemento de<br />no es un elemento de<br />As<br />se lee x es elemento del conjunto A.<br />se lee m no es elemento del conjunto A.<br /> 5. Notacin enumerativa: se puede denotar un conjunto anotando los elementos entre llaves<br />{lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo}<br />Notacin por descripcin: anotar entre llaves la condicin para pertenecer al conjunto<br />{das de la semana}<br />Observacin: { } simboliza un conjunto.<br /> 6. Variable: letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto; ejemplo: x.<br />Una lnea vertical como | se lee tal que.<br />La notacin para construir conjuntos permite abreviar la representacin de los mismos<br />V={ x | x sea una vocal}<br />E={ x | x sea una de las estaciones del ao}<br /> 7. Oracin abierta: aquella en la que interviene una variable.<br />Conjunto de reemplazamiento: el que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable.<br />Conjunto de verdad: los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oracin sea verdadera.<br /> 8. Sea E={ x | x es una de las estaciones del ao}<br />y el conjunto de reemplazamiento para x el conjunto M:<br />M={primavera, verano, otoo, invierno, lunes, abril, fro}<br />Notacin para construir conjuntos:<br />Conjunto de verdad:<br />E={primavera, verano, otoo, invierno}<br /> 9. Cardinalidad: nmero de elementos contenidos en un conjunto. Se representa con la letra n, y luego la letra que simboliza al conjunto entre parntesis.<br />V={a, e, i, o, u}<br />n(V)=5<br />Un conjunto es finito cuando es posible determinar el nmero de elementos que lo conforma, an cuando no sea fcil.<br />Si no se cumple la condicin anterior, el conjunto es infinito: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,}<br /> 10. Conjunto universal: totalidad de elementos considerados para determinada operacin (equivale al conjunto de reemplazamiento).<br />Conjunto vaco: el que no contiene elementos. Su smbolo es.<br />Conjuntos equivalentes. los que tienen la misma cardinalidad. En ellos se puede establecer la correspondencia uno a uno (correspondencia biunvoca).<br /> 11. Sea C={verde, blanco, rojo} y F={5, 4, 3}, se puede establecer la correspondencia biunvoca:<br />{verde, blanco, rojo}<br />{5, 4, 3}<br />Conjuntos iguales: se dice que A y B son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A.<br /> 12. Subconjuntos: al conjunto R que est formado por elementos que tambin pertenecen al conjunto P, se le llama un subconjunto de P. <br />Si V={vocales del alfabeto} <br />y A={todas las letras del alfabeto}, <br />entonces, pero .<br /> 13. Subconjunto propio: siendo, pero A tiene adems elementos que no pertenecen a V, se dice que V es un subconjunto propio de A (V est incluido en A y no tiene la misma cardinalidad).<br />Con lo cual se puede establecer que <br />A&gt;V<br />y<br />n(A)&gt;n(V).<br /> 14. Nmero naturales:<br />N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,}<br />Conjunto de mltiplos de k:<br />Si entonces M={k, 2k, 3k, 4k, 5k,}<br />Conjunto de nmeros primos:<br />P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,}<br />Conjunto de nmeros compuestos:<br />C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,}<br /> 15. Se factoriza un nmero cuando se expresa como producto de sus factores.<br />Una factorizacin se considera completa cuando slo tenemos factores primos.<br />2, 3, 4 y 6 son factores de 12.<br />2 x 2 x 3 es la factorizacin completa de 12.<br />5, 7, 8 y 9 no son factores de 12.<br /> 16. Unin: si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, tendremos un tercer conjunto.<br />La operacin efectuada se llama unin.<br />Los elementos del tercer conjunto pertenecern al conjunto A o bien al conjunto B o bien a ambos.<br />P={1, 2, 3, 4}Q={3, 4, 5, 6, 7}<br />P Q ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}<br /> 17. Interseccin: operacin entre dos conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultneamente pertenezcan a los conjuntos dados.<br />P={1, 2, 3, 4}Q={3, 4, 5, 6, 7}<br />P Q ={3, 4}<br />Disjuntos: dos conjuntos sin elementos en comn. Su interseccin es un conjunto vaco.<br /> 18. Complemento: conjunto formado por los elementos del conjunto universal que le faltan al conjunto dado.<br />Para el conjunto S, se lee como S prima o complemento de S.<br />Complemento de S = S<br />U={todas las letras del alfabeto}<br />V={vocales del alfabeto}<br />V={consonantes del alfabeto}<br />Observacin: <br /> 19. Grfica de un conjunto (diagramas de Venn).<br />U<br />U<br />10<br />El rectngulo indica el conjunto universal.<br />B<br />A<br />4<br />2<br />5<br />1<br />Los crculos A y B muestran conjuntos disjuntos.<br />7<br />3<br />6<br />8<br />9<br />1, 2 y 3 son elementos de A;<br />4, 5, 6 y 7 son elementos de B;<br />8, 9 y 10 no son de A ni de B, pero s pertenecen al universo.<br /> 20. Grfica: unin de conjuntos.<br />V={i, o, w, a, e}<br />M={a, e, b, d, g, c, f}<br />U<br />M<br />V<br />b<br />o<br />a<br />c<br />i<br />d<br />e<br />w<br />f<br />g<br />El resultado es toda el rea sombreada.<br /> 21. Grfica: interseccin de conjuntos.<br />V={i, o, w, a, e}<br />M={a, e, b, d, g, c, f}<br />U<br />M<br />V<br />b<br />o<br />a<br />c<br />i<br />d<br />e<br />w<br />f<br />g<br />El resultado es el rea con doble sombreado.<br /> 22. Grfica: conjunto complemento.<br />U<br />S<br />S<br /> 23. Grfica: conjuntos disjuntos<br />U<br />U<br /> 24. Grfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br /> 25. Grfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br /> 26. Grfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br /> 27. Grfica:<br />U<br />B<br />A<br />C<br /> 28. Grfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br /> 29. Tomado de:<br /><br />Matemticas I, Libro de Texto, SEP, <br />Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco Ren Zubieta.<br /></p>