Metodi numerici

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    21-Jul-2015

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<ul><li><p>*Metodi Numerici per la Valutazione di Attivit Finanziarie</p></li><li><p>*Il Metodo Monte Carlo</p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloIl metodo Monte Carlo (MC nel seguito) una tecnica basata sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari rappresentativi dellevoluzione futura delle variabili di rischio da cui dipende il valore di una generica attivit finanziaria;Infatti tale tecnica si basa sullidea di approssimare il valore atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui essa dipende.</p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloEsempio: Calcolo del prezzo di strumenti derivati. Indicando con fT il valore dellopzione stessa alla scadenza T, il valore ad oggi, f, sar dato da </p><p>essendo il valore di aspettazione rispetto alla misura risk-neutral ed r il tasso di interesse che assumiamo per semplicit costante nel tempo;Lidea guida del metodo MC consiste nello stimare tale valore attraverso la simulazione dei possibili valori assunti nel corso del tempo dalle variabili sottostanti, di cui il prezzo del derivato funzione;Tramite il calcolo di un insieme sufficientemente ampio di possibili valori finali possiamo poi stimare il nostro integrale come media aritmetica di tali valori. </p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloMetodo Monte Carlo e IntegrazioneLidea di base del metodo del tutto generale;Unestrazione da un campione di numeri casuali pu essere utilizzata come stimatore di un integraleQuesta espressione pu essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nellintervallo [0, 1]</p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloSpiegazione dellaffermazione precedenteIl valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile aleatoria con densit g(x) e dominio di valori in dato da</p><p>Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1] otteniamo</p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloDiventa cos possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo affermare che la quantitrappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima risulta pari a:</p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloIl fondamento statistico del metodo MC rappresentato dal teorema del limite centrale;secondo questo teorema la somma di n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite segue approssimativamente una normale con media e varianza tendente a zero per n crescente.</p></li><li><p>*Il metodo Monte CarloFormalmente: sia X1, ..., Xn una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con</p><p>Abbiamo </p><p>Cio Sn si distribuisce normalmente con media e varianza 2/n.</p></li><li><p>*Il metodo Monte Carlolerrore quadratico medio dello stimatore, che pu essere interpretato come lerrore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce allaumentare di n come</p><p>Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema. E proprio questultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale pi velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere unapprossimazione prefissata cresce con laumentare del numero di dimensioni. </p></li><li><p>*Il metodo Monte Carlo</p><p>Grafico1</p><p>4.14920885684.23215976814.86461530013.599704236</p><p>4.06042387714.23215976814.67937336363.7849461726</p><p>3.93902164254.23215976814.59730813973.8670113964</p><p>4.39887644954.23215976814.54838753413.9159320021</p><p>4.41510023764.23215976814.51500248053.9493170556</p><p>4.34885960744.23215976814.49035865783.9739608783</p><p>4.24899854164.23215976814.47120548993.9931140462</p><p>4.18277784964.23215976814.45576656584.0085529703</p><p>4.21749095694.23215976814.44297827874.0213412574</p><p>4.26269983734.23215976814.43215976814.0321597681</p><p>4.05830820384.23215976814.42285228594.0414672502</p><p>4.03826170984.23215976814.41473395394.0495855822</p><p>4.42106889034.23215976814.40757137194.0567481642</p><p>4.44869598284.23215976814.4011906194.0631289171</p><p>4.30065326684.23215976814.39545908434.0688604519</p><p>4.17066002524.23215976814.39027365114.0740458851</p><p>4.05929453864.23215976814.38555276584.0787667703</p><p>4.2330261554.23215976814.38123096664.0830885696</p><p>4.2777771354.23215976814.37725501814.087064518</p><p>4.28926572954.23215976814.37358112434.0907384118</p><p>4.36420706184.23215976814.37017287994.0941466562</p><p>4.28377085084.23215976814.36699974064.0973197956</p><p>4.28122429924.23215976814.36403586274.1002836734</p><p>4.35395024114.23215976814.36125921294.1030603232</p><p>4.20578497054.23215976814.35865087454.1056686617</p><p>4.25119105854.23215976814.35619450274.1081250335</p><p>4.26460556574.23215976814.3538758924.1104436442</p><p>4.15337093284.23215976814.3516826294.1126369071</p><p>4.1826346274.23215976814.3496038124.1147157242</p><p>4.15465118744.23215976814.34762982194.1166897142</p><p>4.2319615154.23215976814.34575213494.1185674012</p><p>4.2761413324.23215976814.34396316694.1203563692</p><p>4.28404383024.23215976814.34225614464.1220633916</p><p>4.17093530214.23215976814.3406249974.1236945392</p><p>4.20116334384.23215976814.33906426484.1252552713</p><p>4.20498521374.23215976814.33756902344.1267505127</p><p>4.23819270884.23215976814.33613481714.1281847191</p><p>4.35890935684.23215976814.33475760334.1295619329</p><p>4.13184101364.23215976814.33343370484.1308858314</p><p>4.27100042914.23215976814.33215976814.1321597681</p><p>4.14438408064.23215976814.33093272774.1333868084</p><p>4.2293657734.23215976814.32974977544.1345697608</p><p>4.15170838364.23215976814.32860833254.1357112036</p><p>4.21103909334.23215976814.3275060274.1368135091</p><p>4.2059151624.23215976814.32644067224.1378788639</p><p>4.17299433134.23215976814.32541024894.1389092872</p><p>4.23398630444.23215976814.32441288894.1399066473</p><p>4.20591712054.23215976814.3234468614.1408726752</p><p>4.21785070894.23215976814.32251055844.1418089778</p><p>4.20294793264.23215976814.32160248724.142717049</p><p>4.23833284394.23215976814.32072125664.1435982795</p><p>4.36101359344.23215976814.319865574.1444539661</p><p>4.29615073784.2321655724.31904002064.1452911235</p><p>4.30533896714.2321655724.31823186864.1460992754</p><p>4.22537370344.2321655724.31744585864.1468852855</p><p>4.10929730524.2321655724.31668099754.1476501465</p><p>4.33853023954.2321655724.31593635374.1483947904</p><p>4.15268820234.2321655724.31521105194.1491200922</p><p>4.16665742874.2321655724.3145042694.1498268751</p><p>4.10801159394.2321655724.31381523014.1505159139</p><p>4.27297555394.2321655724.3131432054.151187939</p><p>4.18686820344.2321655724.31248750494.1518436391</p><p>4.19393041614.2321655724.31184747934.1524836647</p><p>4.24205701284.2321655724.31122251354.1531086305</p><p>4.2689141194.2321655724.31061202614.153719118</p><p>4.12104729374.2321655724.31001546644.1543156776</p><p>4.19179035014.2321655724.30943231294.1548988311</p><p>4.28889234994.2321655724.30886207094.1554690731</p><p>4.28641258174.2321655724.30830427084.1560268733</p><p>4.30757240044.2321655724.30775846664.1565726774</p><p>4.22316331444.2321655724.30722423454.1571069095</p><p>4.30307630534.2321655724.30670117134.1576299728</p><p>4.23482732774.2321655724.3061888934.158142251</p><p>4.21703098034.2321655724.30568703424.1586441098</p><p>4.24707061364.2321655724.30519524634.1591358977</p><p>4.20669788014.2321655724.3047131974.159617947</p><p>4.18468529314.2321655724.3042405694.160090575</p><p>4.21095252334.2321655724.30377705944.1605540846</p><p>4.28183929994.2321655724.30332237874.1610087653</p><p>4.19981530054.2321655724.30287625014.1614548939</p><p>4.18902713054.2321655724.30243840894.1618927351</p><p>4.23080754014.2321655724.30200860164.1623225424</p><p>4.28138005354.2321655724.30158658554.1627445586</p><p>4.21138716224.2321655724.30117212794.1631590161</p><p>4.29922047024.2321655724.30076500614.163566138</p><p>4.20902828064.2321655724.3003650064.1639661381</p><p>4.2979352344.2321655724.29997192244.1643592217</p><p>4.25230939094.2321655724.29958555834.1647455858</p><p>4.27090202324.2321655724.29920572434.1651254197</p><p>4.22242512944.2321655724.29883223874.1654989053</p><p>4.27597721364.2321655724.29846492644.1658662176</p><p>4.23411170474.2321655724.29810361944.1662275247</p><p>4.31253274874.2321655724.29774815564.1665829884</p><p>4.27680502734.2321655724.29739837934.1669327647</p><p>4.2618902744.2321655724.29705414054.1672770036</p><p>4.25136386424.2321655724.29671529454.1676158496</p><p>4.20350716194.2321655724.29638170194.1679494421</p><p>4.21326495554.2321655724.29605322854.1682779155</p><p>4.23408336084.2321655724.29572974464.1686013994</p><p>4.24652305184.2321655724.29541112524.1689200188</p><p>4.22261185924.2321655724.29509724964.1692338945</p><p>4.22174027174.2321655724.29478800114.1695431429</p><p>4.29916180534.2321655724.29448326734.1698478767</p><p>4.21273774964.2321655724.29418293934.1701482047</p><p>4.28764159864.2321655724.2938869124.170444232</p><p>4.20028958344.2321655724.29359508374.1707360603</p><p>4.2006299174.2321655724.29330735614.171023788</p><p>4.25198681364.2321655724.2930236344.1713075101</p><p>4.22462321044.2321655724.29274382534.1715873187</p><p>4.19300179524.2321655724.29246784094.1718633031</p><p>4.21753020084.2321655724.29219559454.1721355495</p><p>4.25772516654.2321655724.29192700254.1724041415</p><p>4.22446315784.2321655724.29166198374.1726691603</p><p>4.26232246624.2321655724.29140045984.1729306842</p><p>4.25810974374.2321655724.29114235454.1731887896</p><p>4.19792255014.2321655724.2908875944.1734435501</p><p>4.24495010584.2321655724.29063610664.1736950374</p><p>4.23590447194.2321655724.2903878234.173943321</p><p>4.29871198044.2321655724.29014267564.1741884684</p><p>4.19907697184.2321655724.28990059894.1744305451</p><p>4.25610354924.2321655724.28966152954.1746696146</p><p>4.20192837374.2321655724.28942540544.1749057386</p><p>4.18739533834.2321655724.28919216694.1751389772</p><p>4.22783017154.2321655724.28896175544.1753693886</p><p>4.28214590714.2321655724.28873411454.1755970295</p><p>4.19850311074.2321655724.2885091894.175821955</p><p>4.24546137034.2321655724.28828692534.1760442187</p><p>4.22016235254.2321655724.28806727154.1762638726</p><p>4.21149726394.2321655724.28785017674.1764809674</p><p>4.21952394.2321655724.28763559164.1766955524</p><p>4.26976574194.2321655724.28742346844.1769076756</p><p>4.22442939944.2321655724.28721376034.1771173838</p><p>4.26529257714.2321655724.28700642174.1773247223</p><p>4.27933192294.2321655724.28680140854.1775297355</p><p>4.2271209364.2321655724.28659867744.1777324666</p><p>4.22643570724.2321655724.28639818654.1779329576</p><p>4.32551453014.2321655724.28619989474.1781312493</p><p>4.24565073134.2321655724.28600376224.1783273818</p><p>4.20935010084.2321655724.28580975014.1785213939</p><p>4.24339769574.2321655724.28561782044.1787133236</p><p>4.19662039944.2321655724.28542793614.1789032079</p><p>4.200903814.2321655724.28524006134.1790910828</p><p>4.23711375264.2321655724.28505416054.1792769835</p><p>4.22093945424.2321655724.28487019974.1794609443</p><p>4.26058305034.2321655724.28468814524.1796429989</p><p>4.24068830364.2321655724.28450796434.1798231798</p><p>4.28143521674.2321655724.28432962514.1800015189</p><p>4.21932868854.2321655724.28415309654.1801780475</p><p>4.2599822534.2321655724.2839783484.180352796</p><p>4.2519838894.2321655724.283805354.1805257941</p><p>4.2442584364.2321655724.28363407334.1806970707</p><p>4.26233653714.2321655724.28346448964.1808666544</p><p>4.23320994574.2321655724.28329657134.1810345728</p><p>4.22969918224.2321655724.28313029124.1812008529</p><p>4.28372915434.2321655724.28296562284.1813655212</p><p>4.18816180724.2321655724.28280254044.1815286037</p><p>4.19854891944.2321655724.28264101854.1816901255</p><p>4.23889035294.2321655724.28248103264.1818501115</p><p>4.2398099544.2321655724.28232255834.1820085858</p><p>4.19658849864.2321655724.2821655724.182165572</p><p>4.2045714794.2321655724.28201005064.1823210934</p><p>4.16778380244.2321655724.28185597154.1824751725</p><p>4.18204068724.2321655724.28170331254.1826278316</p><p>4.22923897114.2321655724.28155205184.1827790922</p><p>4.2481336154.2321655724.28140216844.1829289756</p><p>4.20205354964.2321655724.28125364144.1830775026</p><p>4.1927210984.2321655724.28110645044.1832246936</p><p>4.22266009244.2321655724.28096057574.1833705684</p><p>4.19509726474.2321655724.28081599764.1835151465</p><p>4.183515374.2321655724.2806726974.183658447</p><p>4.28370640774.2321655724.28053065544.1838004887</p><p>4.28058709164.2321655724.28038985424.1839412898</p><p>4.25173329824.2321655724.28025027574.1840808683</p><p>4.26729979434.2321655724.28011190224.1842192419</p><p>4.22233668914.2321655724.27997471644.1843564276</p><p>4.19154436764.2321655724.27983870154.1844924426</p><p>4.26033421994.2321655724.27970384094.1846273032</p><p>4.26696247984.2321655724.27957011834.1847610257</p><p>4.21892889134.2321655724.27943751794.1848936261</p><p>4.1833177894.2321655724.27930602414.1850251199</p><p>4.2122810364.2321655724.27917562154.1851555225</p><p>4.19210868834.2321655724.27904629514.1852848489</p><p>4.19482703344.2321655724.27891803024.1854131138</p><p>4.26211700164.2321655724.27879081244.1855403316</p><p>4.26582610524.2321655724.27866462754.1856665165</p><p>4.18591410494.2321655724.27853946164.1857916824</p><p>4.21749714134.2321655724.2784153014.185915843</p><p>4.19977499554.2321655724.27829213244.1860390116</p><p>4.22067779514.2321655724.27816994264.1861612014</p><p>4.23248836864.2321655724.27804871884.1862824252</p><p>4.20670908124.2321655724.27792844824.1864026958</p><p>4.21612570244.2321655724.27780911854.1865220256</p><p>4.26483776814.2321655724.27769071744.1866404267</p><p>4.25700571294.2321655724.27757323294.1867579111</p><p>4.24147284914.2321655724.27745665344.1868744906</p><p>4.25548449084.2321655724.27734096724.1869901769</p><p>4.25757328444.2321655724.27722616294.1871049811</p><p>4.27712082754.2321655724.27711222954.1872189145</p><p>4.219701284.2321655724.2769991564.187331988</p><p>4.22415022084.2321655724.27688693164.1874442125</p><p>Monte Carlo Standard</p><p>Black &amp; Scholes</p><p>Monte Carlo Semplice</p><p>1135.53</p><p>1135</p><p>0.147945205479452</p><p>0.0089</p><p>OutputInput0.14344</p><p>0</p><p>Black-Scholes25.9929825268Simulazione26.3458087242Nr Simulazioni100000</p><p>Errore Assoluto0.3528261974St. Dev38.7069627786</p><p>Errore0.3870696278</p><p>Metodo Monte Carlo per il pricing delle opzioni</p><p>Monte Carlo Var Antitetiche</p><p>100</p><p>100</p><p>.25</p><p>0.02</p><p>Input0.1</p><p>0</p><p>Black-Scholes2.2488403017Simulazione2.1176824632Nr Simulazioni50000</p><p>Errore Assoluto0.1311578386St. Dev3.0404547706Nr Iterazioni50</p><p>Errore0.0429985237</p><p>Metodo Monte Carlo per il pricing delle opzioni</p><p>Convergenza</p><p>2504.23215976814.14920885684.86461530013.599704236Scale Factor10</p><p>5004.23215976814.06042387714.67937336363.7849461726</p><p>7504.23215976813.93902164254.59730813973.8670113964</p><p>10004.23215976814.39887644954.54838753413.9159320021</p><p>12504.23215976814.41510023764.51500248053.9493170556</p><p>15004.23215976814.34885960744.49035865783.9739608783</p><p>17504.23215976814.24899854164.47120548993.9931140462</p><p>20004.23215976814.18277784964.45576656584.0085529703</p><p>22504.23215976814.21749095694.44297827874.0213412574</p><p>25004.23215976814.26269983734.43215976814.0321597681</p><p>27504.23215976814.05830820384.42285228594.0414672502</p><p>30004.23215976814.03826170984.41473395394.0495855822</p><p>32504.23215976814.42106889034.40757137194.0567481642</p><p>35004.23215976814.44869598284.4011906194.0631289171</p><p>37504.23215976814.30065326684.39545908434.0688604519</p><p>40004.23215976814.17066002524.39027365114.0740458851</p><p>42504.23215976814.05929453864.38555276584.0787667703</p><p>45004.23215976814.2330261554.38123096664.0830885696</p><p>47504.23215976814.2777771354.37725501814.087064518</p><p>50004.23215976814.28926572954.37358112434.0907384118</p><p>52504.23215976814.36420706184.37017287994.0941466562</p><p>55004.23215976814.28377085084.36699974064.0973197956</p><p>57504.23215976814.28122429924.36403586274.1002836734</p><p>60004.23215976814.35395024114.36125921294.1030603232</p><p>62504.23215976814.20578497054.35865087454.1056686617</p><p>65004.2321597681...</p></li></ul>