Metodo de 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales

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    19-Jul-2015

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  • CMO RESOLVER ECUACIONESDIFERENCIALES LINEALES ORDI-NARIAS CON EL MTODO DEL

    FACTOR INTEGRANTE. MTODODE 4 PASOS.

  • Al terminar este artculo podrs resolver todas las ecuaciones diferencialeslineales de primer orden y entenders con exactitud, de una vez por todas,de donde sale la la estrategia para resolver una Ecuacin Diferencial Ordinaria(EDO) lineal. Dicha estrategia es de donde se deriva el mtodo de 4 pasosque utilizamos en este blog para resolver las EDOs lineales de 1er orden.

    Como se cita en Mtodologa activa -un articulo que podemos encontrar enla red-, es importante para el aprendizaje, de cualquier materia, contar con unametodologa ordenada que nos permita sistematizar los pasos y las tcnicasnecesarios para llevar a cabo el proceso de dicho aprendizaje. Es por esto que tepropongo este mtodo.

    Adems, el aprender haciendo, que es la filosofa que en este blog fomentamos,es el enfoque para la enseanza, llamado constructivista, que ms aceptacinactualmente tiene por su alta efectividad, este enfoque tambin es conocidocomo aprendizaje basado en competencias, pues desarrolla conocimientos yhabilidades entre otras cosas. Ver Metodologa del aprendizaje, Ministerio deEducacin de Guatemala, que es un estudio del Ministerio de Educacin deGuatemala que se encuentra en formato PDF en la red.

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  • Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con el mtodode 4 pasos, utilizaremos la siguiente metodologa:

    1.- Partiremos de la exposicin de los 4 pasos mencionados para resolver ecua-ciones diferenciales lineales ordinarias.

    2.- Explicaremos el por qu de cada paso, su origen y su relacin entre si.

    3.- Utilizaremos el razonamiento deductivo para comprender de donde sale lasformulas usadas para construir la solucin de una ecuacin diferencial lineal de1er orden, las cuales son:

    Funcin complementaria (solucin del sistema homegneo asociado)

    yc=Ce

    P (x)dx

    Funcin particular (solucin del sistema no homogeneo)

    yp=1

    eP (x)dx

    eP (x)dx

    f(x)dx

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  • METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVERECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESDE PRIMER ORDEN

    El metodo consiste de los siguietes 4 pasos:

    1. Escribir la Ecuacion Diferencial Lineal en su forma estandardy

    dx+P (x)y= f(x)

    2. Calcular el Factor Integrante

    eP (x)dx

    Forma de la solucion:

    3. yc=Ce

    P (x)dx

    4. yp=1

    e

    P (x)dx

    eP (x)dx

    f(x)dx

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  • Explicacin del porque de cada uno de los pasos anteriores, su origen ysu relacin mutua

    Paso 1. Forma Estandar de una Ecuacin Diferencial Lineal de 1er orden

    dy

    dx+P (x)y= f(x) (1)

    Para poder resolver una Ecuacin Diferencial de cualquier tipo, debido a lagran variedad de formas en las que se pueden presentar, es importante poderidentificar si sta es una Ecuacin Diferencial Lineal y el orden de la misma.Este paso permite poder aplicar los mtodos conocidos para resolver la EDs.En el caso de una Ecuacin Diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden,vasta con redistribuir los trminos de la ED estudiada para comprobar si tienela forma de un ED lineal; recordando que esta forma implica las siguietes condi-ciones de linealidad de un ED.Condiciones para establecer la linealidad de una Ecuacin Diferencial deprimer orden:

    La variable dependiente (y o culaquier otra) y su derivada (y ) son de primergrado, es decir estan elevadas a la potencia 1.

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  • El coeficiente P (x), como la notacin lo indica, debe de depender solo de lavaraible independiente (para este caso es x).IMPORTANTE. A veces una Ecuacin Diferencial de primer orden no eslineal en x pero si lo es en y, como en el ejemplo:

    dy

    dx=

    1

    x+ y3(2)

    es lineal en x pero no en y es decir, si despejamos para una u otra variableveremos que:dx

    dy=x+ y3

    dx

    dyx= y3 si es lineal mientras (2) no lo es.

    En general, es importante checar cuando es no lineal, una ED en una variablepero es lineal en la otra variable.

    Un ejemplo de como acomodar los terminos de una ED para ver si es lineal sedesarrolla a continuacion:

    x2y +x(x+2)y= ex xy +(x+2)y=ex

    x

    xdy

    dx+(x+2)y=

    ex

    x

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  • dy

    dx+

    (x+2)

    xy=

    ex

    x2(3)

    Donde (3) tiene la forma estndar (1). La solucin de esta ecuacin la puedesver dando click al siguiente link: Solucin de la Ecuacin Diferencial (2).

    La forma estandar de una Ecuacin Diferencial nos indica que podemos utilizarun factor integrante para resolverla, al corroborar su linealidad.

    Paso 2. Factor integrante

    eP (x)dx (4)

    El Factor Integrante es el factor que permite que una ecuacin Diferencial sepueda integrar mediante las frmulas conocidas del clculo integral o diferencial.

    Su origen se puede entender si comparamos una de las formas estandar utilizadaspara derivar funciones (La Regla del Producto) con la forma estndar de unaEcuacin Diferencial Lineal y deducimos, a partir de sus similitudes, el factorfaltante para que la Forma Estndar para al Ecuacin Diferencial Lineal pueda

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  • ser igual a la forma estndar de la ecuacin utilizada para desarrollar la derivadade un producto de funciones, conocida como La Regla del Producto. A con-tinuacin desarrollamnos dicha comparacin:

    udv+ vdu = d(uv) (5)

    y +P (x)y = f(x)

    Haciendo

    v = y

    dv = y

    d(uv) = f(x)

    Vemos que solo faltaria la u, por lo que si multiplicamos la u en la FormaEstandar de la Ecuacion Diferencial Lineal (1) y despejamos u, podemos obtenerun factor que nos permita integrar la Forma Estandar de la ED, ya que ese factoral multiplicarlo por la forma estandar nos daria la forma facilmente integrable de

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  • la Ecuacion para la derivada de un producto de funciones (5), conocida como,Regla del Producto. Es decir:

    y +P (x)y= f(x) uy +uP (x)y=uf(x) (6)

    Donde comparando (6) con (5), tenemos que u es igual a:

    u=uP (x)dx (7)

    E integrando esta ltima ecuacion tenemos:

    u= eP (x)dx

    Ahora, si multiplicamos este resultado en la Forma Estandar de una EcuacionDiferencial:

    y +P (x)y= f(x)

    Tenemos:

    eP (x)dxy + e

    P (x)dxP (x)y= e

    P (x)dxf(x) (8)

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  • La cual se convierte en la forma de la Regla del Producto, donde el primer

    miembro de (8) es igual a la derivada del producto de las funciones: eP (x)dx y

    y y se puede escribir en la forma reducida que sugiere el segundo miembro de laecuacin (5), es decir:

    d(eP (x)dxy

    )= e

    P (x)dxf(x) (9)

    Esto hace fcilmente integrable la ecuacin diferencial, al menos en el primermiembro, pues desconocemos el valor de f(x).

    Obviamente la solucin de nuestra Ecuacion Diferencial Lineal al integrar (9),ser:

    eP (x)dxy=C +

    eP (x)dxf(x)dx (10)

    De donde podemos ver que es fcilmente despejable y (como lo haremos msadelante). Con esto podemos ver el por qu de la utilizacin de este factor(factor integrante) e inclusive su relacin con la solucin yp, si despejamos y dela ecuacin anterior (10).

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  • Una explicacin ms detallada del origen del Factor Integrante, la puedes encon-trar dando click aqu.

    FORMA DE LA SOLUCIN

    La forma de la solucin de una ecucin diferenciale de primer orden:

    y= yc+ yp

    Nos dice que podemos encontrar DOS soluciones que se complementan alsumarse matemticamente para formar una solucin general de la Ecuacin Dife-rencial.El porque de esta forma para la solucin se puede entender si ejemplificamos unaED con un circuito electrico donde estn conectados en serie 3 componentes,digamos un inductor, una resistencia y una fuente de alimentacin de corrinteelectrica, la Ecuacin Diferencial que representa dicha conexin es:

    Ldi

    dt+ iR=E(t)

    donde:

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  • L: es el inductorR: es la resistenciaE(t): es la fuente de alimentacin de corrienteSi observas la corriente i, es la varaible dependiente, que es la que se desco-noce.Esta corriente ser al calcularla muy diferente si la fuente de alimentacinse desconecta, es decir si su valor es cero (0), o si la fuente de alimentacintiene un valor constante (k) o si la fuiente de alimentacin vara con el tiempo(E(t)).

    Para el primer caso habr que resolver la ecuacin: Ldi

    dt+ iR=0

    Para el segundo caso habra que resolver la ecuacin Ldi

    dt+ iR=K

    Para el tercer caso habr que resolver la ecuacin: Ldi

    dt+ iR=E(t)

    Podra parecer ilgico que exista un valor para la corriente i(t) en un circuitosi una fuente de alimentacin, pero no lo es. Los indutores (y no se digan loscapacitores) son elemnetos que almacenan corriente y en un circuito comoel del ejemplo las corrientes circulantes no solo dependen de la alimentacinde corriente sino de lo almacenado en sus elementos.

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  • Por esa razon cuando recien se cierra un interruptor de un circuito ocurreuna variacin de corriente antes de que se estabilice.

    De acuerdo a esto es necesario para conocer la corriente total de un circuitoelctrico, calcular su corriente en el instante en que se cierra el interruptor ysumarla a la coriente que resulta despues de que pase un tiempo y se estabilicela misma en el circuito, si este tiene una fuente de alimentacin constante ovariable.

    Un ejemplo de el clculo de un circuito conectado en serie tipo RL lo puedenver en el artculo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a circuitos (da clickaqu).

    De esta forma, tal como en los circuitos elctricos, los sistemas dinamicos o cual-quiera sistema que se represente mediante una ED lineal tendr como solucingeneral a la suma de dos soluiciones.

    Una obtenida de la Ecuacin Diferencial igualada a cero, o mejor conocida comosolucin del sistema homogeneo asociado:

    dy

    dx+P (x)y=0 (11)

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  • que se escribe como: ycMas otra solucin obtenida del la ecuacin no homegnea (en este caso escritaigual que la forma estndar):

    dy

    dx+P (x)y= f(x) (12)

    que se escribe como: yp.

    Paso 3. yc=Ce

    P (x)dx

    El origen especfico de esta solucin se obtiene al resolver el sistema homogeneoasociado de la ecuacin (11).Su solucin es muy sencilla pues se trata de una Ecuacin Diferencial separable.Acontinuacin resolvemos la ecuacin (11):

    dy

    dx+P (x)y = 0

    dy

    dx= P (x)y

    dy

    y= P (x)dx

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  • dy

    y=

    P (x)dx+ k

    ln (y) =

    P (x)dx+ k

    eln (y) = eP (x)dx+k

    yc = e

    P (x)dxek

    yc = Ce

    P (x)dx

    Donde el subndice c se lo colocamos a la y para saber que esa solucin provienedel sistema homogeneo asociado.

    Paso 4. yp=1

    e

    P (x)dx

    eP (x)dx

    f(x)dx

    La solucin particular del sistema no homogneo:dy

    dx+P (x)y= f(x), se obtiene

    precisamente siguiendo la lgica de igualar sta forma de la Ecuacion Diferenciala resolver con alguna forma de integracin o derivacin conocida que podamosfcilmente integrar posteriormente.

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  • El desarrollo seguido en la justificacin del por que utilizar un Factor Integrante,que hemos hecho ms arriba, en realidad resuelve este sistema no homogeneo.

    Es decir, si encontramos un facor que multiplicado por la ecuacindy

    dx+P (x)y=

    f(x), nos d la forma de la Regla del Producto, podremos integrar facilmente laecuacin y encontrar el valor de la variable dependiente y (o yp).

    Por tanto, si seguimos los pasos hechos para la optencin de las ecuaciones

    (8),(9) y(10), utilizando el factor integrante (x)= eP (x)dx, tenemos:

    Sistema No Homogneo:

    dy

    dx+P (x)y= f(x)

    Multiplicandolo por el factor integrante: (x)= eP (x)dx.

    (x)y + (x)P (x)y = (x)f(x)

    Esto implica que la ecuacin tiene la forma de la derivada de un producto defunciones en su primer miembro, la cual se puede anotar como d((x)y) y solo

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  • restara integrar ambos miembros, del siguiente modo:

    d((x)y) = (x)f(x)dxd((x)y) =

    (x)f(x)dx+C

    (x)y =

    (x)f(x)dx+C

    y =1

    (x)

    ((x)f(x)dx+C

    )

    Y sustituyendo este resultado con el Factor Integrante encontrado, tenemos:

    yp =C

    eP (x)dx

    +

    eP (x)dxf(x)dx

    = CeP (x)dx+

    eP (x)dxf(x)dx

    La cual es la frmula utilizada para encontrar la solucin particular yp.

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