Numeros complexos

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    06-Jun-2015

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  • 1. Nmeros ComplexosQuantas vezes, ao calcularmos o valor de (b2 - 4ac) na resoluo da equao do 2 grau, nosdeparamos com um valor negativo ( < 0). Nesse caso,sempre dizemos ser impossvel a raiz no universoconsiderado (R). A partir da, vrios matemticosestudaram este problema, sendo Gauss e Argand osque realmente conseguiram expor uma interpretaogeomtrica num outro conjunto de nmeros, chamadode nmeros complexos, que representamos por C.Esquematicamente,temos:RC

2. NmerosComplexos Chama-se conjunto dos nmeros complexos, e representa-se por C , o conjunto de pares ordenados, ou seja:z= (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R. z= x + y.i (forma algbrica) , em que i = -1e z = (x,y) Afixo 3. y Exemplos:AA (5,3) = 5+3i3 (2,1) = 2+i (-1,3) = -1+3i ... 5 x Dessa forma, todo o nmeros complexo z = (x,y) pode ser escrito na forma z = x + y.i, conhecido como forma algbrica, onde temos:x = Re(z), parte real de z y.i = Im(z), parte imaginria de z 4. Igualdade entre nmeros complexos Dois nmeros complexos so iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginria. Assim, se z1 = a+bi e z2 = c+di, temos que: z1 = z2 a = c e b = dprofessor Dejahyr Lopes Junior 5. Adio de nmeros complexosPara somarmos dois nmeros complexosbasta somarmos, separadamente, as partesreais e imaginrias desses nmeros. Assim,se z1 = a+bi e z2 = c+di, temos que: z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i professor Dejahyr Lopes Junior 6. Subtrao de nmeros complexosPara subtrairmos dois nmeros complexosbasta subtrairmos, separadamente, aspartes reais e imaginrias desses nmeros.Assim, se z1 = a+bi e z2 = c+di, temosque: z1 z2 = (a-c) + (b-d)i professor Dejahyr Lopes Junior 7. Multiplicao de nmeros complexos Paramultiplicarmos dois nmeros complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binmios, observando os valores das potncia de i. Assim, se z1 = a+bi e z2= c+di, temos que: z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2 z1 .z2 = a.c + bdi 2 = adi + bci z1 .z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i 2= -1professor Dejahyr Lopes Junior 8. z1= 2 w1 = i.z1 = 2iz2 = 5 w2 = i.z2 = 5iz3 = 6 + 2i w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i 4 12 b.h 3.4 5A632 2 2-4professor Dejahyr Lopes Junior 9. Conjugado de um nmero complexo Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) z = a - bi Exemplo: z= 3 - 5i z = 3 + 5i z = 7i z = - 7i z=3 z=3professor Dejahyr Lopes Junior 10. Divisode nmeros complexos Para dividirmos dois nmeros complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que: z1 / z2 = [z1 .z2 ] / [z2 .z2 ] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ] professor Dejahyr Lopes Junior 11. 04. 7 4i 1 2i 7 14i 4i 8z . 1 2i 1 2i1 4 15 10iz 3 2i5 Gabarito: B professor Dejahyr Lopes Junior 12. 05. FUVEST2 2i2 i 2i 2 4i i 2i . 2 2 2i 2i 2i 4i( 2 2) ( 4)i 2 2 42 2 2i 4 4 4 Se a parte imaginria zero, ento - 4=0 =4 professor Dejahyr Lopes Junior 13. Potncias de iSe, por definio, temos que i = -1, ento: i0 = 1 i1 = i Soma = 0 i2 = -1 i3 = i2 .i = -1.i = -i i4 = i2 .i2 = -1.-1=1 i5 = i4 .1= 1.i = i i6 = i5 .i = i.i = i2 = -1 i7 = i6 .i = (-1).i = -i ...... professor Dejahyr Lopes Junior 14. Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, de modo que os valoresse repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos i n bastacalcularmos ir onde r o resto da divisode n por 4.Exemplo: i 63 63 / 4 d resto 3, logo i 63 = i3= -iprofessor Dejahyr Lopes Junior 15. 02. Obtenhaa) i 2007 + i2009 + i1006 + i1008 = i 3 + i 1+ i 2 + i 0 = -i+i1+1 =0b)18 i n i 5 i 6 i 7 ...i 18 i 5 i 6 i ( 1) 1 in 512 parcelas tm soma zeroprofessor Dejahyr Lopes Junior 16. Mdulo de um nmero complexo Dado z = a+bi, chama-se mdulo de z | z | = (a2 + b2 ), conhecido como Interpretao geomtrica Como dissemos anteriormente, a interpretao geomtrica dos nmeros complexos que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneiraprofessor Dejahyr Lopes Junior 17. Forma Geomtrica professor Dejahyr Lopes Junior 18. professor Dejahyr Lopes Junior 19. Da interpretao geomtrica, temosque: z = .(cos + i. sen )que conhecida como forma polar ou trigonomtrica de umnmero complexo.professor Dejahyr Lopes Junior 20. Possibilidades de se trabalhar com nmeros complexos: Forma Afixo algbricaForma Formageomtricatrigonomtrica professor Dejahyr Lopes Junior 21. Operaes na forma trigonomtricaa) Multiplicaob) Diviso professor Dejahyr Lopes Junior 22. PotenciaoRadiciao professor Dejahyr Lopes Junior 23. Exerccios Resolvidos1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2iDetermine x e y de modo que z1 + z2 = 0Temos que:z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0logo, preciso que:2x+1 - y =0 e y+2 = 0Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2 24. 2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginrio puroEfetuando a multiplicao, temos que:z = x + (x+2)i + 2i2z= (x-2) + (x+2)iPara z ser imaginrio puro necessrio que (x-2)=0, logo x=2 professor Dejahyr Lopes Junior 25. 3 - Qual o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?Efetuando a diviso, temos que:z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58O conjugado de Z seria, ento z- = 11/58 - 13i/58 professor Dejahyr Lopes Junior 26. 4 - Os mdulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i so iguais, qual o valor de x?Ento, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2Em decorrncia,x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 3620 = -4x + 404x = 20, logo x=5 professor Dejahyr Lopes Junior 27. 5 - Escreva na forma trigonomtrica o complexo z = (1+i) / iEfetuando-se a diviso, temos:z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - iPara a forma trigonomtrica, temos que:r = (1 + 1)1/2 = 21/2sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315Lembrando que a forma trigonomtrica dada por:z = r(cos t + i sen t), temos que:z = 21/2 ( cos 315 + i sen 315 ) professor Dejahyr Lopes Junior

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