Dinamica structural

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  • Captulo 2

    Elementos de Dinmica Estructural

    2.1 Introduccin

    Ante acciones de tipo dinmico una estructura responde modicando su conguracin alrededorde una posicin de equilibrio estable. Estos cambios de conguracin pueden alcanzar grandesamplitudes incluso para valores pequeos de la accin excitadora, pudiendo conducir al colapsode la estructura.

    En este captulo se revisan algunos de los conceptos bsicos del anlisis dinmico de estruc-turas que son de aplicacin en las normativas sismorresistentes. As, en la seccin 2 se realizaun breve repaso de los sistemas lineales de un grado de libertad. Se estudian los casos de lasvibraciones tanto libres como forzadas y el caso de vibraciones producidas por una excitacinde base. A continuacin, en la seccin 3, se introduce uno de los conceptos clave del clculossmico: la denicin de la accin por medio de espectros ssmicos de respuesta. La seccin 4se dedica al estudio de sistemas elsticos lineales con varios grados de libertad. Se plantean lasecuaciones del movimiento y se presentan las propiedades de los modos y frecuencias propiasde la estructura. La respuesta mxima del sistema ante una solicitacin ssmica se obtiene uti-lizando el anlisis modal espectral, i.e., expresando dicha respuesta mediante superposicin demodos, obteniendo la respuesta mxima asociada a cada uno de estos modos en base a la accinssmica denida por su espectro de respuesta, y combinando las respuestas mximas modalesas calculadas. Finalmente, se hace un breve apunte de los mtodos de integracin directa delas ecuaciones del movimiento.

    cA. Sez. Estructuras III. E.T.S. Arquitectura de Sevilla.

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  • CAPTULO 2. ELEMENTOS DE DINMICA ESTRUCTURAL 10

    2.2 Sistemas de un grado de libertad

    2.2.1 Vibraciones libres

    Vibraciones libres de sistemas no amortiguados

    Se estudia la vibracin del sistema que se esquematiza en la gura 2.1, formado por una masay un muelle de comportamiento elstico y lineal.

    mk

    x(t)

    mk x

    m x

    Figura 2.1: Sistema de un g.d.l.. Equilibrio de fuerzas

    Si se desplaza la masa desde su posicin de equilibrio y a continuacin se deja vibrar libre-mente, la masa oscilar alrededor de dicha posicin. Aislando la masa y planteando el equilibriode fuerzas, se obtiene

    mx+ kx = 0 (2.1)

    La solucin a la ecuacin (2.1) es de la forma

    x(t) = A1 cos !nt+A2 sen !nt ; !n =

    sk

    m(2.2)

    donde !n es la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por segundo)y es la frecuencia a que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con sus caractersticas. A1 y A2son dos constantes arbitrarias que se calculan a partir de las condiciones iniciales.

    Amortiguamiento

    El amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya su am-plitud con el tiempo. Su origen puede ser diverso: por rozamiento de dos supercies, comoconsecuencia de la friccin interna o histresis del propio material, etc.

    Para aproximar las distintas formas de amortiguamiento es habitual en dinmica estructuralemplear un amortiguamiento viscoso. En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a lavelocidad

    Fa = c _x (2.3)

    donde la constante c de amortiguamiento equivalente es tal que origina la misma disipacin deenerga que la producida por el amortiguamiento real de la estructura.

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  • CAPTULO 2. ELEMENTOS DE DINMICA ESTRUCTURAL 11

    Vibraciones libres de sistemas amortiguados

    La gura 2.2 esquematiza un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso. Laecuacin del movimiento viene denida en este caso por

    mx+ c _x+ kx = 0 (2.4)

    La solucin a esta ecuacin tiene la forma

    x(t) = ec

    2mtnA1e

    r1t +A2er2t

    o; r1 =

    sc2

    4m2 k

    m= r2 (2.5)

    donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales.

    m

    kx(t)

    mk x

    m x

    c c x

    Figura 2.2: Sistema de un g.d.l. con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas.

    La respuesta del sistema depende del valor de r1 y r2 en la ecuacin (2.5). Se puedendistinguir dos casos:

    Si c24m2 km las races r1 y r2 son reales. El sistema est sobreamortiguado y tiendeexponencialmente a su posicin de equilibrio sin oscilar (gura 2.3). En el caso particularen que r1 = r2 = 0 se dice que el sistema est crticamente amortiguado, ya que tiende ala posicin de equilibrio en el menor tiempo posible. Esto sucede para un valor crtico dela constante de amortiguamiento, ccr, dado por

    c2cr4m2

    =k

    m) ccr =

    p4km = 2m!n (2.6)

    La relacin entre la constante de amortiguamiento de un sistema y la constante de amor-tiguamiento crtico se denomina factor de amortiguamiento :

    =c

    ccr=

    c

    2m!n(2.7)

    Si c24m2 < km , i.e., si c < ccr, como sucede habitualmente en estructuras de edicacin, lasraces r1 y r2 son complejas y el sistema vibra con amplitud decreciente hacia su posicinde equilibrio (gura 2.4). La respuesta del sistema adopta entonces la forma

    x(t) = ec

    2mt fA1 cos !dt+A2 sen !dtg ; !d =

    sk

    m c

    2

    4m2= !n

    q1 2 (2.8)

    donde !d es la frecuencia de vibracin amortiguada. Dado que en edicacin el factor deamortiguamiento de las estructuras suele ser inferior a 0.1, se verica que !d ' !n, i.e., lafrecuencia de oscilacin libre del sistema no va a depender de su amortiguamiento.

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  • CAPTULO 2. ELEMENTOS DE DINMICA ESTRUCTURAL 12

    t

    x(t)

    Figura 2.3: Respuesta de un sistema sobreamortiguado

    tx(t)

    Figura 2.4: Respuesta de un sistema amortiguado

    2.2.2 Vibraciones forzadas

    Se estudia el caso de un sistema amortiguado de un grado de libertad sometido a una fuerzaexcitadora de tipo armnico

    F (t) = Fo sen!t (2.9)

    segn se muestra en la gura 2.5. Planteando el equilibrio de fuerzas se obtiene la ecuacin delmovimiento

    mx+ c _x+ kx = Fo sen!t (2.10)

    cuya solucin es la suma de la solucin de la ecuacin homognea y una solucin particular dela completa, i.e.,

    x(t) = xh(t) + xp(t) (2.11)

    donde la solucin homognea viene dada por

    xh(t) = e

    c

    2mt fA1 cos !dt+A2 sen !dtg (2.12)

    y una solucin particular de la ecuacin completa por

    xp(t) =Fo=ks

    1

    !!n

    22+

    h2 !!n

    i2 sen (!t ') (2.13)

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  • CAPTULO 2. ELEMENTOS DE DINMICA ESTRUCTURAL 13

    m

    kx(t)

    mk x

    m x

    c c xF(t) F(t)

    Figura 2.5: Sistema de un g.d.l. sometido a carga armnica. Equilibrio de fuerzas.

    = Xsen (!t ')El comportamiento del trmino xh(t) ya se ha descrito al estudiar las vibraciones libres, ycorresponde a la respuesta transitoria del sistema. En sistemas amortiguados esta vibracindesaparece al cabo de un cierto tiempo y depende de las condiciones iniciales de velocidad ydesplazamiento.

    El trmino xp(t) dene la respuesta en rgimen permanente. En este caso la vibracinno desaparece hasta que cesa la excitacin exterior. Puesto que en la ecuacin (2.13) Fo=kcorresponde a la respuesta del sistema para una carga esttica de amplitud Fo, se dene elcoeciente de amplicacin dinmica o factor dinmico de carga como la relacin entre lasrespuestas dinmica y esttica del sistema (a una excitacin de la misma amplitud)

    X

    Fo=k=

    X

    Xest=

    1s1

    !!n

    22+

    h2 !!n

    i2 (2.14)

    En la gura 2.6 se muestra la evolucin con la frecuencia excitadora de este coeciente. Sedistinguen tres zonas:

    ! < !n : cuando ! ' 0 la fuerza aplicada es cuasi-esttica y por tanto la respuesta coincidecon la esttica. A medida que ! aumenta, el sistema comienza a vibrar en respuesta a lafuerza aplicada, aumentando la amplicacin segn la frecuencia excitadora se aproxima alvalor de la frecuencia natural del sistema. El papel que juega el amortiguamiento es doble:por un lado disminuye la amplicacin de la respuesta y por otro produce un incrementoen el desfase '.

    ! ' !n : en esta zona se produce la mxima amplicacin de la respuesta. Esto ocurrepara una frecuencia de excitacin

    ! = !n

    q1 22 (2.15)

    que prcticamente coincide con !n para los valores habituales del amortiguamiento ( >>>>>>>>>>:

    1i2i3...

    in

    9>>>>>>=>>>>>>;(2.40)

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  • CAPTULO 2. ELEMENTOS DE DINMICA ESTRUCTURAL 21

    o aplicando cualquier otro criterio para obtener los modos normalizados i.

    En general la estructura vibrar libremente o bien segn uno de los modos y su frecuenciapropia asociada, o bien segn una combinacin lineal de dichos modos.

    Propiedades de los modos de vibracin

    Se puede demostrar fcilmente que los modos de vibracin de una estructura satisfacen lassiguientes condiciones de ortogonalidad respecto a las matrices de masa y rigidez

    Ti Mi = Mi ; Ti Mj = 0 i 6= j (2.41)

    Ti Ki = !2iMi = Ki ;

    Ti Kj = 0 i 6= j (2.42)

    donde Mi y Ki son escalares. En caso de que la matriz de amortiguamiento sea de la forma(2.34), los modos tambin sern ortogonales respecto a ella

    Ti Ci = Ti (AM+BK)i = AMi +BKi = Ci ;

    Ti Cj = 0 i 6= j (2.43)

    Por tanto, ordenando todos los modos de vibracin en una matriz modal

    = [12::::::n] (2.44)

    las condiciones de ortogonalidad anteriores resultan en

    M = M (2.45)

    C = C (2.46)

    K = K (2.47)

    donde M , C y K son matrices diagonales cuyos trminos vienen denidos por las relaciones(2.41), (2.42) y (2.43).